Identität der Moment erzeugenden Funktionen

Gibt es nicht identische Verteilungen, die zufällig die gleiche momenterzeugende Funktion haben?

Ja.

In einer Übung zitieren Stuart & Ord ( Kendalls Advanced Theory of Statistics , 5. Aufl., Bsp. 3.12) ein Ergebnis von TJ Stieltjes aus dem Jahr 1918 (das offenbar in seinen Oeuvres Completes enthalten ist ):

Wenn eine ungerade Funktion von Punkt , zeige das$f$$\frac{1}{2}$

$$\int_0^\infty x^r x^{-\log x} f(\log x) dx = 0$$

für alle Integralwerte von . Zeigen Sie daher, dass die Verteilungen$r$

$$dF = x^{-\log x}(1 - \lambda \sin(4\pi \log x))\ dx, \quad 0 \le x \lt \infty;\quad 0 \le |\lambda| \le 1,$$

habe die gleichen Momente, egal welchen Wert .$\lambda$

(Im Original erscheint nur als ; die Beschränkung der Größe von ergibt sich aus dem Erfordernis, alle Werte der Dichtefunktion nicht negativ zu halten.) Die Aufgabe ist durch die Substitution leicht zu lösen und Vervollständigung des Quadrats. Der Fall ist die bekannte logarithmische Normalverteilung .$|\lambda|$$\lambda$$\lambda$$dF$$x = \exp(y)$$\lambda=0$

Die blaue Kurve entspricht , einer Lognormalverteilung. Für die rote Kurve ist und für die goldene Kurve .$\lambda=0$$\lambda = -1/4$$\lambda = 1/2$