Warum brauchen wir die Beta-Verteilung, da die Beta-Verteilung in ihrer Form dem Binomial ähnelt?

Es scheint, dass die Binomialverteilung in ihrer Form der Beta-Verteilung sehr ähnlich ist und dass ich Konstanten in beiden PDFs neu parametrisieren kann, damit sie gleich aussehen. Warum brauchen wir die Beta-Distribution? Ist es für einen bestimmten Zweck? Vielen Dank!

— user123276
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"Ich kann Konstanten in beiden PDF-Dateien neu parametrisieren, damit sie gleich aussehen" - haben Sie es versucht? Das kannst du nicht. Die Binomialverteilung hat nicht einmal ein PDF; es hat eine pmf.

— Neil G

Wie alle anderen betont haben, gehören Beta und Binomial nicht zur selben Verteilungsfamilie (dh eine ist keine Verallgemeinerung der anderen). Es gibt jedoch mehrere andere Verteilungen, die Verallgemeinerungen anderer sind, wie zum Beispiel, dass das Exponential (\ beta) nur ein Gamma ist (\ alpha = 1, \ beta). Manchmal ist es bequem, mit einer bestimmten Form einer Verteilung zu arbeiten und Ergebnisse zu erzielen, anstatt immer die komplexen verallgemeinerten Formen verwenden zu müssen.

— Bdeonovic

Um die Beta-Verteilung besser zu verstehen, kann es hilfreich sein, diesen Lebenslauf-Thread zu lesen: Welche Intuition steckt hinter der Beta-Verteilung?

— Gung - Reinstate Monica

Beachten Sie, dass das Binomial kein PDF enthält. Da es diskret ist, hat es eine Wahrscheinlichkeitsfunktion.

— Glen_b -State Monica

Sie sind verwandt, aber in ihrer Form nicht so ähnlich.

In der Beta wird die Variable (und sein Komplement) bis zu einem gewissen potenzieren, aber in den binomischen die Variable ist die Leistung (und es scheint auch in einem Binomialkoeffizienten).

Während die funktionalen Formen etwas ähnlich aussehen (es gibt Begriffe in einem, die den Begriffen im anderen entsprechen), sind die Variablen, die die Parameter darstellen, und die Zufallsvariablen in jedem unterschiedlich. Das ist ziemlich wichtig; Deshalb sind sie eigentlich gar nicht dasselbe.

Die Binomialverteilung wird normalerweise für Zählungen oder in skalierter Form für zählbasierte Proportionen verwendet (obwohl Sie sie auf rein pragmatischer Basis für andere begrenzte diskrete Zufallsvariablen verwenden könnten). Es ist diskret.

Die Beta-Verteilung ist kontinuierlich und wird daher normalerweise nicht für Zählungen verwendet.

Vergleichen Sie beispielsweise diese beiden Funktionen:

$y = b^x,\, x=0,1,2,3,...$ $y = x^a,\, 0<x<1$

$c^d$

- Zusammenfassend: unterschiedliche Form und unterschiedliche Domäne

$\text{beta}(1,1)$

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

$\text{beta}(2,1)$

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Das gesamte Beta-PDF befindet sich zwischen den ersten beiden grünen Spitzen im Binomialpf, obwohl sie nicht wirklich auf demselben Plot angezeigt werden können, da die y-Achsen verschiedene Dinge messen.

Während die Formen in dem Sinne vage ähnlich sind, dass sie beide schief stehen, sind sie wirklich sehr unterschiedlich und werden für verschiedene Dinge verwendet.

- -

Hier ist eine Herausforderung:

$X_1\sim\text{beta}(1,1)$ $X_2\sim\text{beta(3,2)}$ $c=(0.95, 1.05)$ $(1/\pi,1/e)$ $(\exp(-\frac{1}{2}),2/\pi)$ $(\exp(-3),1/\pi^2)$

$p$ $p$

— Glen_b - Monica neu starten
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Für Beta (1,1) verstehe ich, dass es eine gleichmäßige Verteilung auf [0,1] ist. Aber für das Binomial ist es der Fall, dass wir überhaupt keine Versuche haben?

— user123276

Die Anzahl der Erfolge in Nullversuchen ist immer Null, daher ist die Wahrscheinlichkeitsfunktion eine Spitze bei Null, und das cdf ist eine Schrittfunktion, die bei x = 0 von 0 auf 1 springt. Also ... nichts wie eine Uniform auf (0,1).

— Glen_b -State Monica