Summe zweier normaler Produkte ist Laplace?

Es ist anscheinend der Fall, dass wenn $X_i \sim N(0,1)$ , dann

$X_1 X_2 + X_3 X_4 \sim \mathrm{Laplace(0,1)}$

Ich habe Artikel über beliebige quadratische Formen gesehen, die immer zu schrecklichen nicht-zentralen Chi-Quadrat-Ausdrücken führen.

Die obige einfache Beziehung scheint mir überhaupt nicht offensichtlich zu sein, hat also (wenn es wahr ist!) Jemand einen einfachen Beweis für die obige?

— Corone
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Eine elementare Abfolge von Schritten unter Verwendung bekannter Beziehungen zwischen Verteilungen und einer einfachen algebraischen Polarisationsidentität liefert eine elementare und intuitive Demonstration.

Ich habe festgestellt, dass diese Polarisationsidentität im Allgemeinen nützlich ist, um über Produkte von Zufallsvariablen zu denken und mit diesen zu rechnen, da sie diese zu linearen Kombinationen von Quadraten reduziert. Es ist ein bisschen so, als würde man mit Matrizen arbeiten, indem man sie zuerst diagonalisiert. (Es gibt hier mehr als eine oberflächliche Verbindung.)

Eine Laplace-Verteilung ist ein Unterschied zwischen zwei Exponentialen (was intuitiv sinnvoll ist, da ein Exponential eine "Half-Laplace" -Verteilung ist). (Die Verknüpfung demonstriert dies durch Manipulation charakteristischer Funktionen. Die Beziehung kann jedoch durch eine elementare Integration nachgewiesen werden, die sich aus der Definition eines Unterschieds als Faltung ergibt.)

Eine Exponentialverteilung (die selbst eine -Verteilung ist) ist auch eine (skalierte Version von a) -Verteilung. Der Skalierungsfaktor ist . Dies lässt sich leicht durch einen Vergleich der PDF-Dateien der beiden Distributionen erkennen. $\Gamma(1)$ $\chi^2(2)$ $1/2$

Verteilungen $\chi^2$ werden natürlich als Quadratsummen von iid Normalverteilungen erhalten (mit einem Mittelwert von Null). Die Freiheitsgradezählen die Anzahl der Normalverteilungen in der Summe. $2$

Die algebraische Beziehung

X_{1} X_{2} + X_{3} X_{4} = [{(\frac{X_{1} + X_{2}}{2})}^{2} + {(\frac{X_{3} + X_{4}}{2})}^{2}] - [{(\frac{X_{1} - X_{2}}{2})}^{2} + {(\frac{X_{3} - X_{4}}{2})}^{2}]

$X_1X_2 + X_3X_4 = \left[\left(\frac{X_1+X_2}{2}\right)^2 + \left(\frac{X_3+X_4}{2}\right)^2\right] - \left[\left(\frac{X_1-X_2}{2}\right)^2 + \left(\frac{X_3-X_4}{2}\right)^2\right]$

zeigt in Form von Quadraten mit vier Verteilungen, von denen jede eine lineare Kombination von Standardnormalen ist. Es ist leicht zu überprüfen, ob alle vier Linearkombinationen linear unabhängig sind (und jeweils einer Normalen folgen $X_1X_2 + X_3X_4$ Verteilung). Somit bilden die ersten beiden Terme, die die Quadrate zweier gleichverteilter Normalverteilungen des Mittelwerts Null summieren, eineskalierte-Verteilung (und ihren Skalierungsfaktor von $(0,\sqrt{1/2})$ $\chi^2(2)$ ist genauwas es eine exponentielle Verteilung zu machen ist erforderlich) und die zweiten beiden Begriffe unabhängig voneinander eine Exponentialverteilung haben auch aus dem gleichen Grunde. $\sqrt{1/2}\ ^2=1/2$

Daher hat als Differenz zweier unabhängiger Exponentialverteilungen eine (Standard-) Laplace-Verteilung. $X_1X_2+X_3X_4$

— whuber
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Das ist absolut herrlich!

— Corone

Mir ist gerade aufgefallen, dass unter stats.stackexchange.com/a/51717/919 eine andere Antwort auf der Grundlage von Momentgenerierungsfunktionen angezeigt wird : siehe den Absatz in der Mitte am Anfang "zufällig" (ein anderer Name für die Laplace-Distribution ist "bi-exponentiell"). ). Dieser Thread betrifft die MGF einer Verallgemeinerung der vorliegenden Frage.

— whuber

Gute Herleitung, aber woher wissen Sie, dass der Unterschied zweier unabhängiger exponentiell verteilter Variablen eine Laplace-Verteilung hat?

— HelloGoodbye

@ Hallo Bitte folgen Sie dem Link: Es geht zu einem Wikipedia-Artikel, der eine kurze Demonstration enthält.

— Whuber

$X\sim \mathrm{Laplace}(0,1)$ hat charakteristische Funktion

ϕ_{X} (t) = \frac{1}{1 + t^{2}}

$\phi_X(t) = \frac{1}{1+t^2}$ Dies ist das Quadrat der charakteristischen Funktion einer Produktnormalen (siehe /math/74013/characteristic-function-of-product-of-normal-random-variables ). Die Behauptung folgt daraus, dass sich Summen unabhängiger Zufallsvariablen auf Produkte charakteristischer Funktionen beziehen.

— Michael M
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