Summe nichtzentraler Chi-Quadrat-Zufallsvariablen

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Ich muss die Verteilung der Zufallsvariablen wobei und alle s sind unabhängig. Ich weiß, dass es möglich ist, zuerst das Produkt aller augenblicklichen Funktionen für finden und dann zurück zu transformieren, um die Verteilung von zu erhalten . Ich frage mich jedoch, ob es eine allgemeine Form für wie den Gaußschen Fall gibt: Wir wissen, dass die Summe der unabhängigen Gaußschen immer noch ein Gaußschen ist, und wir müssen daher nur den summierten Mittelwert und die summierte Varianz kennen.

Y = \sum_{i = 1}^{n} (X_{i})^{2}

$Y=\sum_{i=1}^{n}(X_i)^2$

X_{i} \sim N (μ_{i}, σ_{i}^{2})

$X_i\sim{\cal{N}}(\mu_i,\sigma^2_i)$

X_{i}

$X_i$

X_{i}

$X_i$

Y

$Y$

Y

$Y$

Wie wäre es mit all ? Wird diese Bedingung eine allgemeine Lösung sein? $\sigma^2_i=\sigma^2$

— Falle
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Mit Blick auf dem ersten Absatz unter hier eindeutig die letzte Bedingung ergibt eine skalierte nichtzentrale Chi-Quadrat (Division durch durch (der Skalierungsfaktor Sie die Front herausnehmen) und make in ). Die allgemeinere Form, mit der Sie begonnen haben, sieht aus wie eine lineare Kombination oder ein skalierter gewichteter Durchschnitt mit Koeffizienten statt einer einfachen Summe skalierter Quadrate ... und ich glaube, dass diese im Allgemeinen nicht die erforderliche Verteilung haben.

σ^{2}

$\sigma^2$

σ_{i} = 1

$\sigma_i=1$

\sum_{i = 1}^{k} (X_{i} / σ_{i})^{2}

$\sum_{i=1}^k (X_i/\sigma_i)^2$

σ_{i}^{2}

$\sigma^2_i$

— Glen_b

Je nachdem, wofür Sie es benötigen, können Sie in bestimmten Fällen eine numerische Faltung oder Simulation durchführen.

— Glen_b -Reinstate Monica

Dies wird verallgemeinert durch die Verteilung der gewichteten Summe der logarithmischen Chi-Quadrate zur Leistung. Mein R-Paket sadistsbietet ungefähre 'dpqr'-Funktionen für ; cf github.com/shabbychef/sadists

Y

$Y$

— shabbychef

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Wie Glen_b in den Kommentaren feststellte, erhält man bei gleichen Varianzen ein skaliertes nichtzentrales Chi-Quadrat.

Wenn nicht, gibt es ein Konzept einer verallgemeinerten Chi-Quadrat-Verteilung , dh für und fest. In diesem Fall müssen Sie den Sonderfall diagonal ( ) und . $x^T A x$ $x \sim N(\mu, \Sigma)$ $A$ $\Sigma$ $\Sigma_{ii} = \sigma_i^2$ $A = I$

Mit dieser Distribution wurde einiges am Rechnen gemacht:

Imhof (1961) und Davies (1980) kehren die charakteristische Funktion numerisch um.
Sheil und O'Muircheartaigh (1977) schreiben die Verteilung als unendliche Summe zentraler Chi-Quadrat-Variablen.
Kuonen (1999) gibt eine Sattelpunktnäherung an das pdf / cdf.
Liu, Tang und Zhang (2009) schätzen es mit einer nichtzentralen Chi-Quadrat-Verteilung auf der Basis des Kumulanten-Matchings ein.

Sie können auch als eine lineare Kombination von unabhängigen nichtzentrale Chi-Quadrat - Variablen schreiben , in welchem Fall: $Y = \sum_{i=1}^n \sigma_i^2 \left( \frac{X_i^2}{\sigma_i^2} \right)$

Castaño-Martínez und López-Blázquez (2005) geben eine Laguerre-Erweiterung für das pdf / cdf.

Bausch (2013) gibt einen effizienteren Algorithmus für die lineare Kombination zentraler Chi-Quadrate an. Seine Arbeit ist möglicherweise auf nicht-zentrale Chi-Quadrate erweiterbar, und Sie finden möglicherweise einige interessante Hinweise in der entsprechenden Arbeitssektion.

— Dougal
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2

Ein Vergleich der Approximationsmethoden findet sich bei Duchesne et al. 2010. Computational Statistics and Data Analysis, 54, 858–862. Die Autoren pflegen das R-Paket CompQuadForm mit Implementierungen.

— Karakal

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Dies wird ein Chi-Quadrat mit n Freiheitsgraden sein.

— Ahmed
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6

Ich glaube, Sie haben übersehen, dass ungleich Null sein kann. Die Kommentare zu der Frage sowie die vorhandene Antwort sind informativ.

μ_{i}

$\mu_i$

— whuber