Ist es möglich, einen Schätzer zu haben, der unvoreingenommen und begrenzt ist?

Ich habe einen Parameter der zwischen . Nehmen wir an, ich kann ein Experiment durchführen und , wobei ein Standard-Gaußscher ist. Was ich brauche, ist eine Schätzung von die 1) unvoreingenommen 2) fast sicher begrenzt ist. Voraussetzung (2) ist für mich entscheidend. $\theta$ $[0,1]$ $\hat{\theta} = \theta + w$ $w$ $\theta$

Die natürliche denken zu tun , ist eine neue Schätzer Einstellung zu konstruieren auf , wenn es oben ist und , wenn es unten ist . Aber dann wird der Schätzer nicht unvoreingenommen sein. Also was soll ich tun? $\hat{\theta}$ $1$ $1$ $0$ $0$

Formal ist die Frage , ob es eine Funktion existiert $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ , so daß $f(\hat \theta)$ erfüllt , (1) und (2) oben. Wäre die Situation anders, wenn ich mehr als eine Stichprobe ziehen würde?

— yves
quelle

Können Sie mehr über Ihre Situation sagen? Ich bin kein mathematischer Statistiker, aber das scheint mir sehr abstrakt zu sein. Es tut erinnert mich an den logistischen Regression, wobei die Parameter

π

$\pi$ in liegen muss

(0, 1)

$(0,1)$ und

E [\hat{π}] = π

$E[\hat\pi]=\pi$ , aber die Stichprobenverteilung von

ist nicht Gaußsche. (Natürlich

ist, aber dann ist das nicht begrenzt durch

\hat{π}

$\hat\pi$

logit (\hat{π})

$\text{logit}(\hat\pi)$

(0, 1)

$(0,1)$ .) Hat irgendetwas davon mit Ihrer Situation zu tun? FWIW, ich vermute, Sie werden keine Funktion finden können, wie Sie wollen (dh die begrenzt ist), b / c

ist nicht begrenzt. (Mit Entschuldigung, ich kann diesen Kommentar bei Bedarf löschen.)

R

$\mathbb R$

— gung - Reinstate Monica

Ich stimme zu, dass es höchstwahrscheinlich keine solche Funktion

gibt, selbst wenn wir die Bedingung auf das Sammeln mehrerer Proben erweitern. Wenn dies jedoch der Fall ist, wäre ich immer noch daran interessiert, einen Beweis dafür zu sehen, dass keine solche Funktion existiert.

f

$f$

— Yves

Der Ausdruck

ein theoretischer Ausdruck ist , der mindestens ein kommt in der Regel bei dem Versuch , die Eigenschaften des Schätzers, unbiasedness in diesem Fall zu bestimmen. Dies ist jedoch nicht die eigentliche Funktionsform des Schätzers, da er den unbekannten Parameter

. Um Ihre Frage zu Bedeutung zu erforschen, müssen wir die Expression von

als Funktion der Daten. Dies kann im Allgemeinen nicht beantwortet werden.

\hat{θ} = θ + w

$\hat{\theta} = \theta + w$

θ

$\theta$

\hat{θ}

$\hat \theta$

— Alecos Papadopoulos

Ich habe die gleiche Frage! Genauer gesagt ist die Frage, ob es

und eine messbare Funktion

so dass

Ich glaube, die Antwort ist nein, aber ich suche nach einem Beweis, dass kein solches

- \infty < a < b < \infty

$-\infty< a < b < \infty$

f : R \to [a, b]

$f : \mathbb{R} \to [a,b]$

\forall μ \in [0, 1] \underset{X \leftarrow N (μ, 1)}{E} [f (X)] = μ .

$\forall \mu \in [0,1] ~~~~~ \underset{X \leftarrow \mathcal{N}(\mu,1)}{\mathbb{E}}[ f(X) ] = \mu.$

f

$f$ existiert.

— Thomas

Ich werde Bedingungen vorstellen, unter denen ein unvoreingenommener Schätzer auch nach seiner Begrenzung unvoreingenommen bleibt. Ich bin mir aber nicht sicher, ob es sich um etwas Interessantes oder Nützliches handelt.

Lassen Sie sich einen Schätzer der unbekannten Parameter eine kontinuierliche Verteilung und . $\hat \theta$ $\theta$ $E(\hat \theta) =\theta$

Nehmen wir an, dass der Schätzer aus bestimmten Gründen bei wiederholter Abtastung Schätzungen erstellen soll, die im Bereich von . Wir nehmen an, dass und können daher das Intervall nach Bedarf als mit positiven Zahlen schreiben aber natürlich unbekannt. $[\delta_l,\delta_u]$ $\theta \in [\delta_l,\delta_u]$ $[\theta-a,\theta+b]$ $\{a,b\}$

Dann ist der eingeschränkte Schätzer

{\hat{θ}}_{c} = {\begin{matrix} δ_{l} & \hat{θ} < δ_{l} \\ \hat{θ} & δ_{l} \leq \hat{θ} \leq δ_{u} \\ δ_{u} & δ_{u} < \hat{θ} \end{matrix}}

$\hat \theta_c = \left\{\begin{matrix} \delta_l & \hat \theta <\delta_l\\\hat \theta &\delta_l \leq \hat \theta \leq \delta_u \\\delta_u & \delta_u < \hat \theta \end{matrix} \right\}$

und sein erwarteter Wert ist

\begin{aligned} E ({\hat{θ}}_{c}) & = δ_{l} \cdot P [\hat{θ} \leq δ_{l}] \\ + E (\hat{θ} ∣ δ_{l} \leq \hat{θ} \leq δ_{u}) \cdot P [δ_{l} \leq \hat{θ} \leq δ_{u}] \\ + δ_{u} \cdot P [\hat{θ} > δ_{u}] \end{aligned}

$\begin{align} E(\hat \theta_c) &= \delta_l\cdot P[\hat \theta \leq \delta_l] \\&+ E(\hat \theta \mid \delta_l \leq\hat \theta \leq\delta_u )\cdot P[\delta_l \leq\hat \theta \leq \delta_u] \\ &+\delta_u\cdot P[\hat \theta > \delta_u]\end{align}$

Definieren Sie nun die Anzeigefunktionen

I_{l} = I (\hat{θ} \leq δ_{l}), I_{m} = I (δ_{l} \leq \hat{θ} \leq δ_{l}), I_{u} = I (\hat{θ} > δ_{u})

$I_l = I(\hat \theta \leq \delta_l),\;\; I_m = I(\delta_l\leq \hat \theta \leq \delta_l),\;\; I_u = I(\hat \theta > \delta_u)$

und beachte das

\begin{matrix} (1) & I_{l} + I_{u} = 1 - I_{m} \end{matrix}

$I_l + I_u = 1- I_m \tag{1}$

$f(\hat \theta)$ $\hat \theta$

E ({\hat{θ}}_{c}) = \int_{- \infty}^{\infty} δ_{l} f (\hat{θ}) I_{l} d \hat{θ} + \int_{- \infty}^{\infty} \hat{θ} f (\hat{θ}) I_{m} d \hat{θ} + \int_{- \infty}^{\infty} δ_{u} f (\hat{θ}) I_{u} d \hat{θ}

$E(\hat \theta_c) = \int_{-\infty}^{\infty}\delta_lf(\hat \theta)I_ld\hat \theta + \int_{-\infty}^{\infty}\hat \theta f(\hat \theta)I_md\hat \theta + \int_{-\infty}^{\infty} \delta_uf(\hat \theta)I_ud\hat \theta$

= \int_{- \infty}^{\infty} f (\hat{θ}) [δ_{l} I_{l} + \hat{θ} I_{m} + δ_{u} I_{u}] d \hat{θ}

$=\int_{-\infty}^{\infty}f(\hat \theta)\Big[\delta_lI_l + \hat \theta I_m + \delta_uI_u\Big]d\hat \theta$

\begin{matrix} (2) & = E [δ_{l} I_{l} + \hat{θ} I_{m} + δ_{u} I_{u}] \end{matrix}

$=E\Big[\delta_lI_l + \hat \theta I_m + \delta_uI_u\Big] \tag{2}$

Wir haben die Ober- und Untergrenze zerlegt

E ({\hat{θ}}_{c}) = E [(θ - a) I_{l} + \hat{θ} I_{m} + (θ + b) I_{u}]

$E(\hat \theta_c) = E\Big[(\theta-a)I_l + \hat \theta I_m + (\theta+b)I_u\Big]$

= E [θ \cdot (I_{l} + I_{u}) + \hat{θ} I_{m}] - a E (I_{l}) + b E (I_{u})

$=E\Big[\theta\cdot(I_l+I_u) + \hat \theta I_m\Big] -aE(I_l)+bE(I_u)$

$(1)$

= E [θ \cdot (1 - I_{m}) + \hat{θ} I_{m}] - a E (I_{l}) + b E (I_{u})

$= E\Big[\theta\cdot(1-I_m) + \hat \theta I_m\Big] -aE(I_l)+bE(I_u)$

\begin{matrix} (3) & \Rightarrow E ({\hat{θ}}_{c}) = θ + E [(\hat{θ} - θ) I_{m}] - a E (I_{l}) + b E (I_{u}) \end{matrix}

$\Rightarrow E(\hat \theta_c) = \theta +E\big[(\hat \theta -\theta)I_m\big]-aE(I_l)+bE(I_u) \tag {3}$

$E(\hat \theta) = \theta$

E [(\hat{θ} - θ) I_{m}] = E (\hat{θ} I_{m}) - E (\hat{θ}) E (I_{m})

$E\big[(\hat \theta -\theta)I_m\big] = E\big(\hat \theta I_m\big) - E(\hat \theta)E(I_m)$

Aber

E (\hat{θ} I_{m}) = E (\hat{θ} I_{m} ∣ I_{m} = 1) E (I_{m}) = E (\hat{θ}) E (I_{m})

$E\big(\hat \theta I_m\big) = E\big(\hat \theta I_m\mid I_m=1\big)E(I_m) = E\big(\hat \theta \big)E(I_m)$

$E\big[(\hat \theta -\theta)I_m\big] =0$

\begin{matrix} (4) & \begin{aligned} E ({\hat{θ}}_{c}) & = θ - a E (I_{l}) + b E (I_{u}) \\ = θ - a P (\hat{θ} \leq δ_{l}) + b P (\hat{θ} > δ_{u}) \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} E(\hat \theta_c) &= \theta -aE(I_l)+bE(I_u) \\ &= \theta -aP(\hat \theta \leq \delta_l)+bP(\hat \theta > \delta_u)\end{align}\tag {4}$

oder alternativ

\begin{matrix} (4a) & E ({\hat{θ}}_{c}) = θ - (θ - δ_{l}) P (\hat{θ} \leq δ_{l}) + (δ_{u} - θ) P (\hat{θ} > δ_{u}) \end{matrix}

$E(\hat \theta_c) = \theta -(\theta-\delta_l)P(\hat \theta \leq \delta_l)+(\delta_u-\theta)P(\hat \theta > \delta_u)\tag {4a}$

$(4)$

\begin{matrix} (5) & a P (\hat{θ} \leq δ_{l}) = b P (\hat{θ} > δ_{u}) \end{matrix}

$aP(\hat \theta \leq \delta_l) = bP(\hat \theta > \delta_u) \tag {5}$

$(5)$ $\{a,b\}$

$a$ $b$ $a=b$ $\theta$ $P(\hat \theta \leq \delta_l) = P(\hat \theta > \delta_u)$ $\theta$

... und so wir , dass (wie hinreichende Bedingungen) erfahren, wenn die Verteilung des unbeschränkten Schätzer um den wahren Wert symmetrisch ist, dann in einem Intervall symmetrisch begrenzt der Schätzer um den wahren Wert wird auch unvoreingenommener ... aber dies ist fast trivial offensichtlich oder intuitiv, nicht wahr?

Es wird etwas interessanter, wenn wir erkennen, dass die notwendige und ausreichende Bedingung (bei einem symmetrischen Intervall) a) keine symmetrische Verteilung erfordert, sondern nur die gleiche Wahrscheinlichkeitsmasse "in den Schwänzen" (und dies wiederum impliziert nicht, dass die Die Verteilung der Masse in jedem Schwanz muss identisch sein.) und b) ermöglicht, dass die Dichte des Schätzers innerhalb des Intervalls eine beliebige nicht symmetrische Form haben kann, die mit der Aufrechterhaltung der Unparteilichkeit vereinbar ist. Dadurch wird der eingeschränkte Schätzer weiterhin unvoreingenommen.

$\hat \theta = \theta + w,\;\; w \sim N(0,1)$ $\hat \theta \sim N(\theta,1)$ $(4)$ $a,b$ $\theta, \delta$ $[0,1]$

E [{\hat{θ}}_{c}] = θ - θ P (\hat{θ} \leq 0) + (1 - θ) P (\hat{θ} > 1)

$E[\hat \theta_c] = \theta -\theta P(\hat \theta \leq 0) +(1-\theta)P(\hat \theta > 1)$

$\theta$ $\Phi()$

E [{\hat{θ}}_{c}] = θ - θ P (\hat{θ} - θ \leq - θ) + (1 - θ) P (\hat{θ} - θ > 1 - θ)

$E[\hat \theta_c] = \theta -\theta P(\hat \theta-\theta \leq -\theta) +(1-\theta)P(\hat \theta -\theta > 1-\theta)$

= θ - θ Φ (- θ) + (1 - θ) [1 - Φ (1 - θ)]

$=\theta -\theta \Phi(-\theta) +(1-\theta)[1-\Phi(1-\theta)]$

$\theta =1/2$ $\theta$

— Alecos Papadopoulos
quelle

Ich denke nicht, dass dies die Frage beantwortet. Sie analysieren die Kürzung. Die Frage lautet nicht "Funktioniert das Abschneiden?", Sondern "Gibt es eine Alternative zum Abschneiden, das funktioniert?". OP scheint sich bewusst zu sein, dass das Abschneiden nicht funktioniert.

— Thomas

@Thomas Das OP fragt (letzter Satz des OP-Beitrags), ob wir einen begrenzten Schätzer haben können, der auch unvoreingenommen ist. Ich präsentiere zunächst eine allgemeine Behandlung der Angelegenheit und dann einen Antrag direkt in den Räumlichkeiten des OP. Ich verstehe nicht, warum dies "die Frage nicht beantwortet".

— Alecos Papadopoulos

f (\hat{θ}) = {\begin{matrix} δ_{l} & \hat{θ} < δ_{l} \\ \hat{θ} & δ_{l} \leq \hat{θ} \leq δ_{u} \\ δ_{u} & δ_{u} < \hat{θ} \end{matrix}}

$f(\hat \theta) = \left\{\begin{matrix} \delta_l & \hat \theta <\delta_l\\\hat \theta &\delta_l \leq \hat \theta \leq \delta_u \\\delta_u & \delta_u < \hat \theta \end{matrix} \right\}$

δ_{l}, δ_{u} \in R

$\delta_l,\delta_u \in \mathbb{R}$

f

$f$

f (\hat{θ}) = \sin (\hat{θ})

$f(\hat \theta) = \sin(\hat \theta)$

(Ich kommentiere diese jahrelange Frage, weil ich die gleiche Frage habe. Insbesondere ist die Frage, die mich interessiert, für willkürlich begrenzte Schätzer.)

— Thomas

@ Thomas Richtig, dass meine Erkundungen die Begrenztheit nicht in ihrer äußersten Allgemeinheit behandeln. Es stimmt auch, dass der Schätzer, sobald er mit einer nichtlinearen Funktion erstellt wurde, im Allgemeinen eigenständig voreingenommen sein muss, als notwendige Voraussetzung dafür, dass die Transformation unvoreingenommen ist.

— Alecos Papadopoulos