Erwarteter Wert und Varianz von log (a)

Ich habe eine Zufallsvariable wobei a normalverteilt . Was kann ich über und sagen ? Eine Annäherung wäre auch hilfreich. $X(a) = \log(a)$ $\mathcal N(\mu,\sigma^2)$ $E(X)$ $Var(X)$

— Rocksportrocker
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Ich denke, die Frage betraf die "Umkehrung" der log-Normalen, dh wo ein normales rv A zu log-Normal X = exp (A) führt, fragte der Fragesteller nach der Verteilung von X = log (A), die ist undefiniert (da manchmal das Protokoll einer negativen Zahl erforderlich ist). Es kann einige Ergebnisse für eine verkürzte Norm geben, aber sie sind wahrscheinlich chaotisch.

— Martin O'Leary

rocksportrocker, wie @Martin O'Leary betont, ist es mathematisch nicht möglich, eine solche Variable , da für negative Werte undefiniert ist. Zumindest müssen Sie nicht negativen Wert abschneiden . Können Sie uns sagen, warum Sie glauben, dass normal sein könnte?

X

$X$

\log (a)

$\log(a)$

a

$a$

a

$a$

— whuber

Wenn wir "Annäherung" in einem ziemlich allgemeinen Sinne betrachten, können wir irgendwohin gelangen.

Wir müssen nicht davon ausgehen, dass wir eine tatsächliche Normalverteilung haben, sondern etwas, das ungefähr normal ist, außer dass die Dichte in einer Nachbarschaft von 0 nicht ungleich Null sein kann.

Nehmen wir also an, dass "annähernd normal" ist (und sich in der Nähe des Mittelwerts * konzentriert), in dem Sinne, dass wir die Bedenken über Kommen in der Nähe von 0 (und dessen anschließende Auswirkung auf die Momente von abwenden können , weil kommt nicht in die Nähe von 0), aber mit den Momenten niedriger Ordnung als die angegebene Normalverteilung, könnten wir Taylor-Reihen verwenden, um die Momente der transformierten Zufallsvariablen zu approximieren . $a$ $a$ $\log(a)$ $a$

Für einige Transformationen beinhaltet das Erweitern von als Taylor-Reihe (denken Sie an wobei die Rolle von ' ' und übernimmt die Rolle von ' ') und dann Erwartungen nehmen und dann entweder die Varianz oder die Erwartung des Quadrats der Expansion berechnen (aus der die Varianz erhalten werden kann). $g(X)$ $g(\mu_X + X-\mu_X)$ $g(x+h)$ $\mu_X$ $x$ $X-\mu_X$ $h$

Die resultierende ungefähre Erwartung und Varianz sind:

$\text{E}\left[g(X)\right]\approx g(\mu_X) +\frac{g''(\mu_X)}{2}\sigma_X^2$ und

$\text{Var}\left[g(X)\right]\approx \left(g'(\mu_X)\right)^2\sigma^2_X$

und so (wenn ich keine Fehler gemacht habe), wenn : $g() = \log()$

E [\log (a)] \approx l o g (μ_{a}) - \frac{σ_{a}^{2}}{2 μ_{a}^{2}}

$\text{E}\left[\log(a)\right]\approx log(\mu_a) -\frac{\sigma_a^2}{2\mu_a^2}$

Var [\log (a)] \approx σ_{a}^{2} / μ_{a}^{2}

$\text{Var}\left[\log(a)\right]\approx \sigma^2_a/\mu_a^2$

* Damit dies eine gute Näherung ist, möchten Sie im Allgemeinen, dass die Standardabweichung von im Vergleich zum Mittelwert (niedriger Variationskoeffizient) recht klein ist. $a$

— Glen_b - Setzen Sie Monica wieder ein
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Da die Taylor-Reihe für log einen relativ kleinen Konvergenzradius hat, ist bei der Anwendung dieser Näherungen Vorsicht geboten.

— whuber

@whuber für eine Erweiterung um den Mittelwert, ich denke, dies würde dem Hinweis entsprechen, dass die "Standardabweichung von im Vergleich zum Mittelwert ziemlich klein sein sollte", mit dem meine Antwort endet - wenn mir ein weiteres Problem fehlt, dass dieser Hinweis Ich sollte meine Antwort korrigieren.

a

$a$

— Glen_b

Die Approximation für den Mittelwert funktioniert ziemlich gut für und die für die Varianz funktioniert ziemlich gut für oder so.

μ / σ > 1.5

$\mu/\sigma \gt 1.5$

μ / σ > 2.5

$\mu/\sigma \gt 2.5$

— whuber

In jedem Fall ist es sicher wert, klar zu sein, dass wir uns indirekt auf die Konvergenz von (da ). Danke auch für die vorgeschlagenen expliziten Werte; wenn überhaupt, bin ich vielleicht etwas übervorsichtig, wenn ich es benutze. Zwei wertvolle Kommentare.

\ln (1 + x)

$\ln(1+x)$

\ln (μ + y - μ) = \ln [μ {1 + (y - μ) / μ}] = \ln (μ) + \ln [1 + (y - μ) / μ]

$\ln(\mu + y-\mu) = \ln[\mu\{1 + (y - \mu)/\mu\}] = \ln(\mu) + \ln[1 + (y - \mu)/\mu]$

— Glen_b