Bedeutung der partiellen Korrelation

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Formal ist die partielle Korrelation zwischen und einer Gruppe von gegebenen Steuern Variablen , geschrieben ρ_ {XY · Z} , ist die Korrelation zwischen den Residuen RX und RY von dem resultierenden lineare Regression von X mit Z und Y mit Z bezeichnet.$X$$Y$$n$$Z = \{Z_1, Z_2, …, Z_n\}$$ρ_{XY·Z}$$RX$$RY$$X$$Z$$Y$$Z$

1. Es sagt früher das

   Die partielle Korrelation misst den Grad der Assoziation zwischen zwei Zufallsvariablen, wobei der Effekt eines Satzes steuernder Zufallsvariablen entfernt wird.

   Ich habe mich gefragt, wie die partielle Korrelation $ρ_{XY·Z}$ mit der von Z abhängigen Korrelation zwischen $X$ und $Y$ .$Z$

2. Es gibt einen Sonderfall für $n=1$ .

   Tatsächlich ist die Teilkorrelation erster Ordnung (dh wenn $n=1$ ) nichts anderes als ein Unterschied zwischen einer Korrelation und dem Produkt der entfernbaren Korrelationen geteilt durch das Produkt der Entfremdungskoeffizienten der entfernbaren Korrelationen. Der Entfremdungskoeffizient und seine Beziehung zur gemeinsamen Varianz durch Korrelation sind in Guilford (1973, S. 344–345) verfügbar.

   Ich habe mich gefragt, wie ich das Obige mathematisch aufschreiben soll.

Beachten Sie, dass die von abhängige Korrelation eine Variable ist, die von abhängt , während die partielle Korrelation eine einzelne Zahl ist.$Z$$Z$

Darüber hinaus wird eine partielle Korrelation basierend auf den Residuen der linearen Regression definiert. Wenn also die tatsächliche Beziehung nichtlinear ist, kann die Teilkorrelation einen anderen Wert als die bedingte Korrelation erhalten, selbst wenn die von bedingte Korrelation eine von unabhängige Konstante ist . Andererseits sind multivariate Gaußsche, die partielle Korrelation entspricht der bedingten Korrelation.$Z$$Z$$X,Y,X$

Für ein Beispiel, in dem konstante bedingte Korrelation Teilkorrelation: Unabhängig davon, welchen Wert annimmt, ist die bedingte Korrelation -1. Die linearen Regressionen , sind jedoch Konstanten 0, und daher sind die Residuen die Werte , selbst. Somit ist die Teilkorrelation gleich der Korrelation zwischen , ; Dies ist nicht gleich -1, da die Variablen eindeutig nicht perfekt korreliert sind, wenn nicht bekannt ist.$\neq$

$$Z\sim U(-1,1),~X=Z^2+e,~Y=Z^2-e,~e\sim N(0,1),e\perp Z.$$ $Z$$X|Z$$Y|Z$$X$$Y$$X$$Y$$Z$

Anscheinend zeigen Baba und Sibuya (2005) die Äquivalenz von partieller Korrelation und bedingter Korrelation für einige andere Verteilungen neben dem multivariaten Gaußschen, aber ich habe dies nicht gelesen.

Die Antwort auf Ihre Frage 2 scheint im Wikipedia-Artikel zu existieren, der zweiten Gleichung unter Verwenden der rekursiven Formel .