Die Summe zweier unabhängiger Gamma-Zufallsvariablen

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Laut Wikipedia-Artikel über die Gamma-Verteilung :

Wenn $X\sim\mathrm{Gamma}(a,\theta)$ und $Y\sim\mathrm{Gamma}(b,\theta)$ , wobei $X$ und $Y$ unabhängige Zufallsvariablen, dann $X+Y\sim \mathrm{Gamma}(a+b, \theta)$ .

Aber ich sehe keinen Beweis. Kann mich bitte jemand auf seinen Beweis hinweisen?

Edit: Vielen Dank an Zen, und auch ich fand die Antwort als Beispiel auf der Wikipedia-Seite über charakteristische Funktionen .

probability pdf gamma-distribution

— Dexter12
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Intuition: Gamma

-Verteilungen ergeben sich als Summe von

unabhängigen Exponentialverteilungen, aus denen in diesem Zusammenhang unmittelbar hervorgeht, dass

eine Gamma

-Verteilung hat, vorausgesetzt,

und

sind beide positive ganze Zahlen.

(n)

$(n)$

n

$n$

X + Y

$X+Y$

(a + b, θ)

$(a+b,\theta)$

a

$a$

b

$b$

— Whuber

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Der Beweis lautet wie folgt: (1) Denken Sie daran, dass die charakteristische Funktion der Summe unabhängiger Zufallsvariablen das Produkt ihrer individuellen charakteristischen Funktionen ist; (2) Erhalten der charakteristischen Funktion eines gamma Zufallsvariable hier ; (3) Machen Sie die einfache Algebra.

Um mehr über dieses algebraische Argument zu erfahren, lesen Sie Whubers Kommentar.

Hinweis: Das OP fragte, wie die charakteristische Funktion einer Gamma-Zufallsvariablen berechnet werden soll. Wenn , dann ( in diesem Fall können Sie als gewöhnliche Konstante behandeln ) $X\sim\mathrm{Exp}(\lambda)$ $i$

ψ_{X} (t) = E [e^{i t X}] = \int_{0}^{\infty} e^{i t x} λ e^{- λ x} d x = \frac{1}{1 - i t / λ} .

$\psi_X(t)=\mathrm{E}\left[e^{itX}\right]=\int_0^\infty e^{itx} \lambda\,e^{-\lambda x}\,dx = \frac{1}{1-it/\lambda}\, .$

Verwenden Sie nun Hubers Tipp: Wenn , dann ist , wobei die unabhängig sind . Unter Verwendung der Eigenschaft (1) haben wir daher $Y\sim\mathrm{Gamma}(k,\theta)$ $Y=X_1+\dots+X_k$ $X_i$ $\mathrm{Exp}(\lambda = 1/\theta)$

ψ_{Y} (t) = {(\frac{1}{1 - i t θ})}^{k} .

$\psi_Y(t) = \left( \frac{1}{1-it\theta}\right)^k \, .$

Tipp: Sie werden diese Dinge nicht lernen, wenn Sie auf die Ergebnisse und Beweise schauen: Bleiben Sie hungrig, berechnen Sie alles, versuchen Sie, Ihre eigenen Beweise zu finden. Selbst wenn Sie scheitern, wird Ihre Wertschätzung für die Antwort eines anderen viel höher sein. Und ja, scheitern ist in Ordnung: niemand schaut! Die einzige Möglichkeit, Mathematik zu lernen, besteht darin, zunächst um jedes Konzept und Ergebnis zu kämpfen.

— Zen
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In der genannten Erklärung heißt es ausdrücklich: "Vorausgesetzt, alle Xi sind unabhängig."

— Whuber

Eine Sache, die ich jedoch nicht verstehe, ist, wie wir zu den charakteristischen Funktionen gekommen sind.

— Dexter12

Ich werde es der Antwort hinzufügen. Schau mal.

— Zen

Vielleicht können Sie eine Referenz für die charakteristische Funktion von a

für nicht ganzzahlige Werte von

?

Γ (a, θ)

$\Gamma(a,\theta)$

a

$a$

— Dilip Sarwate

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Hier ist eine Antwort, bei der keine charakteristischen Funktionen verwendet werden müssen, sondern einige Ideen verstärkt werden, die für andere Zwecke in der Statistik verwendet werden. Die Dichte der Summe unabhängiger Zufallsvariablen ist die Faltung der Dichten. So unter für eine einfache exposition, haben wir für , $\theta = 1$ $z > 0$

\begin{aligned} f_{X + Y} (z) & = \int_{0}^{z} f_{X} (x) f_{Y} (z - x) d x \\ = \int_{0}^{z} \frac{x^{a - 1} e^{- x}}{Γ (a)} \frac{(z - x)^{b - 1} e^{- (z - x)}}{Γ (b)} d x \\ = e^{- z} \int_{0}^{z} \frac{x^{a - 1} (z - x)^{b - 1}}{Γ (a) Γ (b)} d x & now substitute x = z t and think \\ = e^{- z} z^{a + b - 1} \int_{0}^{1} \frac{t^{a - 1} (1 - t)^{b - 1}}{Γ (a) Γ (b)} d t & of Beta (a, b) random variables \\ = \frac{e^{- z} z^{a + b - 1}}{Γ (a + b)} \end{aligned}

$\begin{align} f_{X+Y}(z) &= \int_0^z f_X(x)f_Y(z-x)\,\mathrm dx\\ &=\int_0^z \frac{x^{a-1}e^{-x}}{\Gamma(a)}\frac{(z-x)^{b-1}e^{-(z-x)}}{\Gamma(b)}\,\mathrm dx\\ &= e^{-z}\int_0^z \frac{x^{a-1}(z-x)^{b-1}}{\Gamma(a)\Gamma(b)}\,\mathrm dx &\scriptstyle{\text{now substitute}}~ x = zt~ \text{and think}\\ &= e^{-z}z^{a+b-1}\int_0^1 \frac{t^{a-1}(1-t)^{b-1}}{\Gamma(a)\Gamma(b)}\,\mathrm dt & \scriptstyle{\text{of Beta}}(a,b)~\text{random variables}\\ &= \frac{e^{-z}z^{a+b-1}}{\Gamma(a+b)} \end{align}$

— Dilip Sarwate
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(X, Y) \mapsto (U, V) = (X + Y, X)

$(X,Y)\mapsto(U,V)=(X+Y,X)$ .

— Zen

Can we similarly find the density of

X - Y

$X-Y$ in a closed form expression? I'm unable to simplify the integrals in that case.

— pikachuchameleon

@pikachuchameleon See this answer of mine.

— Dilip Sarwate

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On a more heuristic level: If $a$ and $b$ are integers, the Gamma distribution is an Erlang distribution, and so $X$ and $Y$ describe the waiting times for respectively $a$ and $b$ occurrences in a Poisson process with rate $\theta$ . The two waiting times $X$ and $Y$ are

independent
sum up to a waiting time for $a+b$ occurrences

and the waiting time for $a+b$ occurrences is distributed Gamma( $a+b,\theta$ ).

None of this is a mathematical proof, but it puts some flesh on the bones of the connection, and can be used if you want to flesh it out in a mathematical proof.

— Svein Olav Nyberg
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