Intuitives Verständnis von Kovarianz, Kreuzkovarianz, Auto- / Kreuzkorrelation und Leistungsspektrumsdichte

Ich studiere derzeit für mein Finale in Grundstatistik für meinen ECE-Bachelor.

Während ich denke, dass ich die Mathematik meistens nicht beherrsche, fehlt mir das intuitive Verständnis, was die Zahlen tatsächlich bedeuten (Präambel: Ich werde eine ziemlich schlampige Sprache verwenden).

Ich weiß, dass E [X] der "gewichtete Durchschnitt" aller Ergebnisse von X ist, gewichtet nach ihrer Wahrscheinlichkeit.

Var [X] gibt die erwartete Abweichung von diesem E [X] -Quadrat an, sagt also etwas über die "Unschärfe" der Verteilung aus.

Die anderen Eigenschaften Ich kenne die Formeln, aber es fehlt mir jede Art von Intuition. Hat jemand gute Erklärungen / Ressourcen, um dabei zu helfen?

$X$$Y$$X$$Y$$X$$Y$$X$$Y$

$\sigma_x \cdot \sigma_y$

$t$$(t-1)$$(t-2)$usw. Hohe Autokorrelationen können darauf hinweisen, dass sich die Reihe langsam ändert oder dass der aktuelle Wert aus früheren Werten vorhersehbar ist. Obwohl Varianz und Kovarianz Skalare sind (dh Einzelwerte), ist die Autokorrelation ein Vektor - Sie erhalten einen Autokorrelationswert für jede "Verzögerung" oder "Lücke". Weißes Rauschen hat eine sehr flache Autokorrelationsfunktion, da es zufällig ist. Natürliche Bilder weisen typischerweise breite räumliche Autokorrelationen auf, da benachbarte Pixel häufig eine ähnliche Farbe und Helligkeit aufweisen. Ein Echo kann einen Peak in der Nähe des Zentrums haben (da die Geräusche selbstähnlich sind), einen flachen Bereich während der Stille und dann einen weiteren Peak, der das Echo selbst ausmacht.

$X$$Y$$X$$X$$Y$$X$$Y$

Die Auto-Kovarianz und Kreuzkovarianz Funktionen sind wie ihre Äquivalente Korrelation, aber unskaliert; Es ist der gleiche Unterschied wie zwischen Kovarianz und Korrelation.

Eine spektrale Leistungsdichte gibt an, wie die Leistung eines Signals auf verschiedene Frequenzen verteilt ist. Die PSD des reinen Tons (dh einer Sinuswelle) ist flach, außer bei der Frequenz des Tons; Naturalistische Signale und Töne haben viel kompliziertere PSDs mit Harmonischen, Obertönen, Resonanz usw. Sie hängen mit den anderen Konzepten zusammen, da die Fourier-Transformation der Autokorrelationsfunktion die PSD ist.