Zentraler Grenzwertsatz und das Gesetz der großen Zahlen

Ich habe eine Anfängerfrage zum Central Limit Theorem (CLT):

Mir ist bekannt, dass die CLT angibt, dass ein Mittelwert von iid Zufallsvariablen ungefähr normalverteilt ist (für , wobei der Index der Summanden ist), oder dass die standardisierte Zufallsvariable eine Standardnormalverteilung aufweisen würde. $n \to \infty$ $n$

Das Gesetz der großen Zahl besagt nun grob gesagt, dass der Mittelwert der Zufallsvariablen (wahrscheinlich oder fast sicher) gegen ihren erwarteten Wert konvergiert.

Was ich nicht verstehe ist: Wenn, wie in der CLT angegeben, der Mittelwert ungefähr normalverteilt ist, wie kann er dann gleichzeitig auch auf den erwarteten Wert konvergieren?

Konvergenz würde für mich bedeuten, dass mit der Zeit die Wahrscheinlichkeit, dass der Mittelwert einen Wert annimmt, der nicht dem erwarteten Wert entspricht, fast Null ist, daher wäre die Verteilung nicht wirklich normal, sondern fast überall Null, außer beim erwarteten Wert.

Jede Erklärung ist willkommen.

— Pegah
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Der Schlüssel zur Antwort liegt darin, wo in Ihrer Frage das Wort "standardisiert" vorkommt.

— Whuber

Es tut mir leid, aber ich bin mir nicht sicher, ob ich es verstehe.

— Pegah

Hinweis: Ein Satz handelt von mit Varianz , der andere von mit Varianz .

\frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i} X_{i}

$\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_i X_i$

σ^{2}

$\sigma^2$

\frac{1}{n} \sum_{i} X_{i}

$\frac{1}{n}\sum_i X_i$

\frac{σ^{2}}{n}

$\frac{\sigma^2}{n}$

— Dilip Sarwate

Im zentralen Grenzwertsatz geht es um die Reise, und im starken Gesetz der großen Zahlen geht es um das Ziel.

— Kardinal

Diese Abbildung zeigt die Verteilungen der Mittelwerte von (blau), (rot) und (gold) unabhängig und identisch verteilt ( iid ) Normalverteilungen (von Einheitsvarianz und Mittelwert ): $n=1$ $10$ $100$ $\mu$

Drei überlappende PDFs

Wenn zunimmt, wird die Verteilung des Mittelwerts auf "fokussierter" . (Der Sinn des "Fokussierens" ist leicht zu quantifizieren: Wenn ein festes offenes Intervall das umgibt , nimmt der Betrag der Verteilung innerhalb von mit und hat einen Grenzwert von ) $n$ $\mu$ $(a,b)$ $\mu$ $[a,b]$ $n$ $1$

Doch wenn wir standardisieren diese Verteilungen, rescale wir jede von ihnen einen Mittelwert von haben und eine Varianz: sie sind alle gleich dann. Auf diese Weise sehen wir, dass die PDF-Dateien der Mittelwerte zwar ansteigen und sich um , jede dieser Verteilungen jedoch eine normale Form aufweist, auch wenn sie sich einzeln unterscheiden. $0$ $\mu$

Der zentrale Grenzwertsatz besagt, dass Sie, wenn Sie mit einer Verteilung beginnen - nicht nur mit einer Normalverteilung -, die eine endliche Varianz aufweist, und dasselbe Spiel mit Mitteln aus iid-Werten spielen, wenn zunimmt, dasselbe sehen: das Mittel Verteilungen konzentrieren sich auf den ursprünglichen Mittelwert (das schwache Gesetz der großen Zahlen), aber die standardisierten Mittelwertverteilungen konvergieren zu einer Standardnormalverteilung (dem zentralen Grenzwertsatz). $n$ $n$

— whuber
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@whuber ganz gute Antwort, ich werde eine Erklärung dessen zu schätzen wissen, was wir unter dem schwachen Gesetz der großen Zahl verstehen.

— Subhash C. Davar

@subhash Siehe en.wikipedia.org/wiki/Law_of_large_numbers#Weak_law .

— Whuber