Dichte von Robotern, die zufällige Schritte in einem unendlichen zufälligen geometrischen Diagramm ausführen

Betrachten Sie einen unendlichen zufälligen geometrischen Graphen, in dem die Knotenpositionen einem Poisson-Punkt-Prozess mit der Dichte folgen und Kanten zwischen den Knoten platziert werden, die näher als . Daher folgt die Länge der Kanten dem folgenden PDF: $\rho$ $d$

f (l) = {\begin{cases} \frac{2 l}{d^{2}} l \leq d \\ 0 l > d \end{cases}

$f(l)= \begin{cases} \frac{2 l}{d^2} \;\quad l \le d \\ 0 \qquad\; l > d \end{cases}$

Betrachten Sie im obigen Diagramm die Knoten innerhalb des Kreises mit dem Radius , der am Ursprung zentriert ist. Angenommen, zum Zeitpunkt wir einen winzigen Roboter in jedem der genannten Knoten. Das heißt, die Dichte der Roboter im Flugzeug ist gegeben durch: $r$ $t=0$

wobeider Abstand vom Ursprung ist. Die folgende Abbildung zeigt ein Beispiel für die Erstplatzierung der Roboter.

g (l) = {\begin{cases} ρ l \leq r \\ 0 l > d \end{cases}

$g(l)= \begin{cases} \rho \quad l \le r \\ 0 \quad\; l > d \end{cases}$

l

$l$

Beispiel

Bei jedem Zeitschritt gehen die Roboter zufällig zu einem der Nachbarn.

Meine Frage lautet nun: Was ist die Dichtefunktion der Roboter bei ? Ist es möglich, die Dichtefunktion zu berechnen, wenn ? $t>0$ $t \rightarrow \infty$

Sorry Leute, ich bin kein Mathematiker. Bitte lassen Sie mich wissen, wenn etwas unklar ist.

— Helium
quelle

Suchen Sie nach Büchern von Wolfgang Woess als Herausgeber oder Autor. Eine aktuelle Sammlung: Zufällige Spaziergänge, Grenzen und Spektren. Birkhauser, 2011. Ab 2000 (Cambridge Univ.Press): Zufällige Spaziergänge auf unendlichen Graphen und Gruppen.

— Deer Hunter

Vielen Dank, Hunter. Ich habe mir sein Buch von 2011 kurz angesehen, konnte aber nichts Ähnliches finden. Ich habe momentan keinen Zugriff auf das 2000, aber ich werde es nachschlagen, sobald ich es gefunden habe. Bitte lassen Sie mich wissen, wenn Sie sich an etwas Spezifischeres aus den Büchern erinnern.

— Helium

Hier ist ein Anfang.

$r = d/2$

$t$ $n = 1 + 4t + 2t(t-1)$ $t$ $A_t$ $n \times n$ $n$ $e_{i,t} \in \{0,1\}^n$ $0$ $1$ $i$ $A_t$ $i$ $t$ $e_{1,t}' A_t^t e_{i,t}$ $A^t = A \times A \cdots \times A$ $A$ $t$ $\cal L_1$

$t$ $r(t+1)$ $0$ $t$ $q$ $t$ $(x,y)$ $t$ $f_t(x,y)$ $f_t$ $r$ $X$

$U$ $M$ $MU + X$

$X$

— user1448319
quelle

t

$t$

t = 0

$t = 0$

t = 1

$t = 1$

t = 2

$t = 2$

t^{2}

$t^2$

n = 1 + 4 t + 2 (t - 1)^{2}

$n = 1 + 4t + 2(t-1)^2$

n = 1 + 4 t + 2 t (t - 1) = 1 + 2 t + 2 t^{2}

$n= 1 + 4t + 2t(t-1) = 1 + 2t + 2t^2$

1

$1$

+ 4 t

$+4t$

+ 2 t (t - 1)

$+2t(t-1)$

t = 2

$t=2$

(0, 0)

$(0,0)$

(1, 0), (2, 0)

$(1,0), (2, 0)$

(1, 1)

$(1,1)$

(1, 0)

$(1,0)$

Z^{2}

$\mathbb Z^2$

(1, 0)

$(1,0)$

(0, 0)

$(0,0)$

(1, 0)

$(1,0)$

A_{t}

$A_t$

$n=1+4t+2(t−1)^2$ $t$