Anpassung der t-Verteilung in R: Skalierungsparameter

Wie passe ich die Parameter einer t-Verteilung an, dh die Parameter, die dem Mittelwert und der Standardabweichung einer Normalverteilung entsprechen? Ich nehme an, sie heißen 'Mittelwert' und 'Skalierung / Freiheitsgrade' für eine t-Verteilung.

Der folgende Code führt häufig zu Fehlern bei der Optimierung.

library(MASS)
fitdistr(x, "t")

Muss ich x zuerst skalieren oder in Wahrscheinlichkeiten konvertieren? Wie geht das am besten?

fitdistrVerwendet Maximum-Likelihood- und Optimierungstechniken, um Parameter einer bestimmten Verteilung zu finden. Manchmal, besonders für T-Distribution, wie @ user12719 bemerkte, die Optimierung in der Form:

fitdistr(x, "t")

schlägt mit einem Fehler fehl.

In diesem Fall sollten Sie dem Optimierer eine Hand geben, indem Sie den Startpunkt und die Untergrenze angeben, um mit der Suche nach optimalen Parametern zu beginnen:

fitdistr(x, "t", start = list(m=mean(x),s=sd(x), df=3), lower=c(-1, 0.001,1))

Beachten Sie, df=3ist Ihre beste Vermutung, was ein "Optimum" sein dfkönnte. Nachdem Sie diese zusätzlichen Informationen eingegeben haben, ist Ihr Fehler behoben.

Einige Auszüge zum besseren Verständnis der inneren Mechanik von fitdistr:

Für die Normal-, Log-Normal-, Geometrie-, Exponential- und Poisson-Verteilungen werden MLEs in geschlossener Form (und genaue Standardfehler) verwendet und startsollten nicht angegeben werden.

...

Für die folgenden benannten Verteilungen werden sinnvolle Startwerte berechnet, wenn sie startweggelassen oder nur teilweise angegeben werden: "cauchy", "gamma", "logistic", "negative binomial" (parametrisiert durch mu und size), "t" und "weibull" ". Beachten Sie, dass diese Ausgangswerte bei schlechter Passform möglicherweise nicht gut genug sind. Insbesondere sind sie nur dann gegen Ausreißer beständig, wenn die angepasste Verteilung einen langen Schwanz aufweist.

$\nu$$t$

$\nu$$t$

set.seed(1234)
n <- 10
x <- rt(n,  df=2.5)

make_loglik  <-  function(x)
    Vectorize( function(nu) sum(dt(x, df=nu,  log=TRUE)) )

loglik  <-  make_loglik(x)
plot(loglik,  from=1,  to=100,  main="loglikelihood function for df     parameter", xlab="degrees of freedom")
abline(v=2.5,  col="red2")

$n$

Lassen Sie uns einige Simulationen versuchen:

t_nu_mle  <-  function(x) {
    loglik  <-  make_loglik(x)
    res  <-  optimize(loglik, interval=c(0.01, 200), maximum=TRUE)$maximum
    res   
}

nus  <-  replicate(1000, {x <- rt(10, df=2.5)
    t_nu_mle(x) }, simplify=TRUE)

> mean(nus)
[1] 45.20767
> sd(nus)
[1] 78.77813

Das Anzeigen der Schätzung ist sehr instabil (im Histogramm befindet sich ein beträchtlicher Teil der geschätzten Werte an der Obergrenze für die Optimierung von 200).

Wiederholen mit einer größeren Stichprobe:

nus  <-  replicate(1000, {x <- rt(50, df=2.5)
    t_nu_mle(x) }, simplify=TRUE)
> mean(nus)
[1] 4.342724
> sd(nus)
[1] 14.40137

Das ist viel besser, aber der Mittelwert liegt immer noch weit über dem wahren Wert von 2,5.

Denken Sie dann daran, dass dies eine vereinfachte Version des eigentlichen Problems ist, bei dem auch Standort- und Skalenparameter geschätzt werden müssen.

$t$$\nu$

In der Hilfe für fitdistr ist dieses Beispiel:

fitdistr(x2, "t", df = 9)

Zeigt an, dass Sie nur einen Wert für df benötigen. Das setzt aber eine Standardisierung voraus.

Für mehr Kontrolle zeigen sie auch

mydt <- function(x, m, s, df) dt((x-m)/s, df)/s
fitdistr(x2, mydt, list(m = 0, s = 1), df = 9, lower = c(-Inf, 0))

wobei die Parameter m = Mittelwert sein würden, s = Standardabweichung, df = Freiheitsgrade