Verbindung zwischen Momenterzeugungsfunktion und charakteristischer Funktion

Ich versuche den Zusammenhang zwischen der momenterzeugenden Funktion und der charakteristischen Funktion zu verstehen. Die Momenterzeugungsfunktion ist definiert als:

M_{X} (t) = E (\exp (t X)) = 1 + \frac{t E (X)}{1} + \frac{t^{2} E (X^{2})}{2!} + \dots + \frac{t^{n} E (X^{n})}{n!}

$M_X(t) = E(\exp(tX)) = 1 + \frac{t E(X)}{1} + \frac{t^2 E(X^2)}{2!} + \dots + \frac{t^n E(X^n)}{n!}$

Unter Verwendung der von Kann ich alle Momente der Verteilung für die Zufallsvariable finden X. $\exp(tX) = \sum_0^{\infty} \frac{(t)^n \cdot X^n}{n!}$

Die charakteristische Funktion ist definiert als:

φ_{X} (t) = E (\exp (i t X)) = 1 + \frac{i t E (X)}{1} - \frac{t^{2} E (X^{2})}{2!} + \dots + \frac{(i t)^{n} E (X^{n})}{n!}

$\varphi_X(t) = E(\exp(itX)) = 1 + \frac{it E(X)}{1} - \frac{t^2 E(X^2)}{2!} + \ldots + \frac{(it)^n E(X^n)}{n!}$

Ich verstehe nicht ganz , welche Informationen die imaginäre Zahl $i$ gibt mir mehr. Ich sehe, dass $i^2 = -1$ und wir daher nicht nur $+$ in der charakteristischen Funktion haben, sondern warum müssen wir Momente in der charakteristischen Funktion subtrahieren? Was ist die mathematische Idee?

— Giuseppe
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Ein wichtiger Punkt ist, dass die momenterzeugende Funktion nicht immer endlich ist! (Siehe diese Frage zum Beispiel.) Wenn Sie eine allgemeine Theorie über die Konvergenz in der Verteilung erstellen möchten, möchten Sie, dass sie mit so vielen Objekten wie möglich funktioniert. Die charakteristische Funktion ist natürlich für jede Zufallsvariable endlich, da

| \exp (i t X) | \leq 1

$|\exp(itX)| \leq 1$ .

— Kardinal

Die Ähnlichkeiten in den Taylor-Erweiterungen ermöglichen es immer noch, die Momente abzulesen, in denen sie existieren. Beachten Sie jedoch, dass nicht alle Verteilungen Momente haben. Das Interesse an diesen Funktionen geht also weit darüber hinaus! :)

— Kardinal

Ein weiterer zu beachtender Punkt ist, dass MGF die Laplace-Transformation einer Zufallsvariablen und CF die Fourier-Transformation ist. Es gibt grundlegende Beziehungen zwischen diesen integralen Transformationen, siehe hier .

— Tschakravarty

Ich dachte, CF ist die inverse Fouriertransformation (und nicht die Fouriertransformation) einer Propabilitätsverteilung?

— Giuseppe

Die Unterscheidung ist nur eine Frage des Zeichens im Exponenten und möglicherweise eine multiplikative Konstante.

— Glen_b

Wie in den Kommentaren erwähnt, existieren immer charakteristische Funktionen, da sie die Integration einer Funktion des Moduls erfordern . Die Momenterzeugungsfunktion muss jedoch nicht existieren, da sie insbesondere die Existenz von Momenten beliebiger Ordnung erfordert. $1$

Wenn wir wissen, dass für alle integrierbar ist , können wir für jede komplexe Zahl . Dann bemerken wir, dass und . $E[e^{tX}]$ $t$ $g(z):=E[e^{zX}]$ $z$ $M_X(t)=g(t)$ $\varphi_X(t)=g(it)$

— Davide Giraudo
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