Was ist falsch an meinem Beweis des Gesetzes der totalen Varianz?

Nach dem Gesetz der Gesamtvarianz ist

$$\operatorname{Var}(X)=\operatorname{E}(\operatorname{Var}(X\mid Y)) + \operatorname{Var}(\operatorname{E}(X\mid Y))$$

Wenn ich es beweisen will, schreibe ich

$$\begin{equation} \begin{aligned} \operatorname{Var}(X) &= \operatorname{E}(X - \operatorname{E}X)^2 \\ &= \operatorname{E}\left\{\operatorname{E}\left[(X - \operatorname{E}X)^2\mid Y\right]\right\} \\ &= \operatorname{E}(\operatorname{Var}(X\mid Y)) \end{aligned} \end{equation}$$

Was stimmt damit nicht?

Die dritte Zeile ist falsch, da Sie in der zweiten Zeile nicht . Wenn zum Beispiel Bernoulli (1/2) und 1 ist, wenn 1 ist, und -1, wenn 0 ist, dann (das ist, was Sie wollen), weil vollständig informativ über , aber was Sie haben, gibt Ihnen .$\text{E}[X|Y]$$Y$$X$$Y$$Y$$\text{E}[(X-\text{E}[X|Y])^2|Y] = 0$Y X E [ ( X - E [ X ] ) 2 | Y ] = E [ ( X - 0 ) 2 | Y ] = E [ X 2| Y ] = 1 ≠ 0$Y$$X$$\text{E}[(X-\text{E}[X])^2|Y] = \text{E}[(X-0)^2|Y] = \text{E}[X^2|Y] = 1 \ne 0$

Ich werde nicht lügen, du hattest mich befragt und ich musste ein bisschen darauf starren, bevor es mich traf, obwohl ich mir LOTV milliardenfach beweisen musste: P.

Der Übergang von der zweiten zur dritten Zeile folgt nicht. Seit Sie:$\mathbb{E}(X) \neq \mathbb{E}(X|Y)$

$$\mathbb{E}[ (X - \mathbb{E}(X))^2 | Y ] \neq \mathbb{E}[ (X - \mathbb{E}(X|Y))^2 | Y ] = \mathbb{E}[ \mathbb{V}(X|Y) ].$$

In dem Sonderfall, in dem für alle gilt, würde Ihre Arbeit und Ihr Ergebnis gelten und wäre ein Sonderfall von das allgemeinere Ergebnis.$\mathbb{E}(X) = \mathbb{E}(X|Y=y)$$y \in \mathbb{R}$

$$\require{cancel} \begin{aligned} \operatorname{Var}(X) &= \operatorname{E}(X - \operatorname{E}X)^2 \\ &= \operatorname{E}\left(\operatorname{E}\left[(X - \operatorname{E}X)^2\mid Y\right]\right) \\ &\ne \operatorname E\left( \operatorname E\left[ (X-\operatorname E(X\mid Y))^2 \right] \mid Y \right) \\ &= \operatorname{E}(\operatorname{Var}(X\mid Y)) \end{aligned}$$