Wenn 'B eher mit A gegeben ist', dann ist 'A eher mit B gegeben'

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Ich versuche , eine klarere Intuition zu bekommen hinter: „Wenn macht wahrscheinlicher , dann macht eher“ , dh $A$ $B$ $B$ $A$

Lassen $n(S)$ die Größe des Raumes bezeichnet , in der $A$ und $B$ sind, dann

Anspruch: $P(B|A)>P(B)$ also $n(AB)/n(A) > n(B)/n(S)$

also $n(AB)/n(B) > n(A)/n(S)$

welches $P(A|B)>P(A)$

Ich verstehe die Mathematik, aber warum macht das intuitiv Sinn?

— Rahul Deora
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Ich habe die Frage bearbeitet, um das Wort 'make' zu entfernen. Diese Frage klang ein bisschen wie diese zweideutigen Fragen auf Facebook, bei denen man eine algebraische Summe mit Bildern lösen muss und die Menschen aufgrund unterschiedlicher Interpretationen der Frage sehr unterschiedliche Antworten erhalten. Das wollen wir hier nicht. (Eine Alternative besteht darin, die Frage wegen Unklarheit zu schließen und vom OP ändern zu lassen).

— Sextus Empiricus

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Aus intuitiver Sicht sind Beispiele aus der Praxis wie Peter Flom für manche Menschen am hilfreichsten. Die andere Sache, die Menschen normalerweise hilft, sind Bilder. Um die meisten Grundlagen abzudecken, lassen Sie uns einige Bilder machen.

Was wir hier haben, sind zwei sehr grundlegende Diagramme, die Wahrscheinlichkeiten zeigen. Das erste zeigt zwei unabhängige Prädikate, die ich Rot und Ebene nennen werde. Es ist klar, dass sie unabhängig sind, weil die Linien ausgerichtet sind. Der Anteil der roten Fläche ist gleich dem Anteil der roten Streifenfläche und entspricht auch dem Gesamtanteil der roten Fläche.

Im zweiten Bild haben wir nicht unabhängige Verteilungen. Insbesondere haben wir einen Teil des einfachen roten Bereichs in den gestreiften Bereich erweitert, ohne die Tatsache zu ändern, dass er rot ist. Rot zu sein macht es also wahrscheinlicher, einfach zu sein.

Schauen Sie sich in der Zwischenzeit die einfache Seite dieses Bildes an. Offensichtlich ist der Anteil des einfachen Bereichs, der rot ist, größer als der Anteil des gesamten Bildes, das rot ist. Das liegt daran, dass die Ebene mehr Fläche hat und alles rot ist.

Rot macht also die Wahrscheinlichkeit wahrscheinlicher, und Rot macht Rot wahrscheinlicher.

Was passiert hier eigentlich? A ist ein Beweis für B (dh A macht B wahrscheinlicher), wenn der Bereich, der sowohl A als auch B enthält, größer ist als vorhergesagt, wenn sie unabhängig wären. Da der Schnittpunkt zwischen A und B der gleiche ist wie der Schnittpunkt zwischen B und A, bedeutet dies auch, dass B ein Beweis für A ist.

Ein Hinweis zur Vorsicht: Obwohl das obige Argument sehr symmetrisch erscheint, kann es sein, dass die Beweiskraft in beiden Richtungen nicht gleich ist. Betrachten Sie zum Beispiel dieses dritte Bild. Hier ist dasselbe passiert: Normales Rot hat Gebiete aufgefressen, die zuvor zu gestreiftem Rot gehörten. In der Tat hat es den Job vollständig beendet!

Beachten Sie, dass der Punkt, der direkt rot ist, die Klarheit garantiert, da keine gestreiften roten Bereiche mehr vorhanden sind. Ein klarer Punkt hat jedoch keine Rötung garantiert, da noch grüne Bereiche übrig sind. Trotzdem erhöht ein Punkt in der Box, der einfach ist, die Wahrscheinlichkeit, dass er rot ist, und ein Punkt, der rot ist, erhöht die Wahrscheinlichkeit, dass er einfach ist. Beide Richtungen implizieren eher, nur nicht um den gleichen Betrag.

— Josiah
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Ich mag die Bilder :) Es sieht jedoch so aus, als ob entweder die Bilder oder die Erklärung umgedreht sind:

In the second image, we have non-independent distributions. Specifically, we have moved some of the stripy red area into the plain area without changing the fact that it is red. Clearly then, being red makes being plain more likely.

- Ihr zweites Bild hat einen einfachen Bereich als das erste gewonnen, sodass wir von Bild 1 zu 2 einen einfachen Bereich in den gestreiften Bereich verschoben haben.

— Pod

Wenn ich also ein Venn-Diagramm mit einem gemeinsamen A-, B-Schnittbereich habe und nur diesen Schnittbereich vergrößere, füge ich automatisch mehr A, B für den gesamten Raum hinzu (ohne den Raum größer zu machen) und ändere / erhöhe n (A. ) / n (S) und n (B) / n (S) als Folge. Richtig? Mehr Kommentare?

— Rahul Deora

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Rot gegen Grün ist eine problematische Kombination für farbenblinde Menschen.

— Richard Hardy

@Pod Ich denke, es ist eine natürliche Mehrdeutigkeit, die Sie beschreiben. Lesen Sie "Wir haben einen Teil des gestreiften roten Bereichs in den ebenen Bereich verschoben" als "Wir haben einen Teil des früher als gestreiftes Rot bekannten Bereichs verschoben und in den ebenen Bereich geändert ". Ich glaube , du [Fehl-] es lesen , wie „wir haben erweitert einige der gestreiften roten Bereich in den Bereich früher als Ebene bekannt“ .

— Peter - Reinstate Monica

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Ich denke, eine andere mathematische Art, es auszudrücken, könnte helfen. Betrachten Sie die Behauptung im Kontext der Bayes-Regel:

Behauptung: Wenn dann ist $P(B|A)>P(B)$ $P(A|B) > P(A)$

Bayes-Regel:

P (A ∣ B) = \frac{P (B ∣ A) P (A)}{P (B)}

$P(A \mid B) = \frac{P(B \mid A) \, P(A)}{P(B)}$

unter der Annahme, dass ungleich Null ist. Somit $P(B)$

\frac{P (A | B)}{P (A)} = \frac{P (B | A)}{P (B)}

$\frac{P(A|B)}{P(A)} = \frac{P(B|A)}{P(B)}$

Wenn , dann ist . $P(B|A)>P(B)$ $\frac{P(B|A)}{P(B)} > 1$

Dann ist und damit . $\frac{P(A|B)}{P(A)} > 1$ $P(A|B) > P(A)$

Dies beweist die Behauptung und eine noch stärkere Schlussfolgerung - dass die jeweiligen Anteile der Wahrscheinlichkeiten gleich sein müssen.

— Aaron Hall
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Ich mochte dies, weil es den stärkeren Zusammenhang zeigt "Wenn A B x Prozent wahrscheinlicher macht, dann macht B A x Prozent wahrscheinlicher"

— Wahrscheinlichkeitslogik

@probabilityislogic Eine solche Formulierung führt zu Mehrdeutigkeiten. Wenn die vorherige Wahrscheinlichkeit 10% und die hintere 15% beträgt, hat sich die Wahrscheinlichkeit um 5% (15% minus 10%) oder 50% (15% geteilt durch 10%) erhöht?

— Akkumulation

Ein einfacher Beweis: Wenn , dann haben wir nach dieser und der Bayes-Regel

P (B | A) > P (B)

$P(B|A) > P(B)$

P (A | B) = P (B | A) P (A) / P (B) > P (B) P (A) / P (B) = P (A)

$P(A|B) = P(B|A)P(A)/P(B) > P(B)P(A)/P(B) = P(A)$

— Ray

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Nun, ich mag das Wort "macht" in der Frage nicht. Das impliziert eine Art von Kausalität und Kausalität kehrt sich normalerweise nicht um.

Aber Sie haben um Intuition gebeten. Ich würde also über einige Beispiele nachdenken, denn das scheint die Intuition zu entfachen. Wählen Sie eine aus, die Ihnen gefällt:

Wenn eine Person eine Frau ist, ist es wahrscheinlicher, dass die Person für einen Demokraten gestimmt hat.
Wenn eine Person für einen Demokraten gestimmt hat, ist es wahrscheinlicher, dass es sich bei der Person um eine Frau handelt.

Wenn ein Mann ein professionelles Basketballzentrum ist, ist es wahrscheinlicher, dass er über 2 Meter groß ist.
Wenn ein Mann über 2 Meter groß ist, ist es wahrscheinlicher, dass er ein Basketballzentrum ist.

Wenn es über 40 Grad Celsius ist, ist es wahrscheinlicher, dass es zu einem Stromausfall kommt.
Wenn es einen Stromausfall gegeben hat, ist es wahrscheinlicher, dass er über 40 Grad liegt.

Und so weiter.

— Peter Flom - Monica wieder einsetzen
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Hier geht es nicht um Wahrscheinlichkeit. Das sind ungefähr 1 zu 1 Beziehungen.

— Peter Flom - Reinstate Monica

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@jww Stellen Sie sich die Aussage "Wenn es regnet, ist die Straße nass" vor (und nehmen Sie an, dass dies im Moment eine gültige Implikation ist, während das Gegenteil nicht der Fall ist). Nehmen Sie nun eine große Anzahl von "Proben" zu verschiedenen Zeiten und an verschiedenen Orten, an denen Sie aufzeichnen, ob es regnet und ob die Straße nass ist. Die Straße wird in mehr Proben, in denen es regnet, nass sein als in Proben, in denen es nicht regnet. Es regnet aber auch in mehr Proben, in denen die Straße nass ist, als in Proben, in denen die Straße trocken ist. Das ist Wahrscheinlichkeit.

— Hobbs

3

Beide Phänomene werden durch dieselbe Implikation verursacht; Die Implikation funktioniert nur in eine Richtung. Wenn Sie jedoch die Konsequenz beobachten, ist es wahrscheinlicher, dass Sie sich eine Stichprobe ansehen, bei der der Vorgänger wahr ist.

— Hobbs

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@Barmar Sorry, aber das zeigt teilweise die Richtigkeit meiner Logik. Denn sagen wir, 36 / 25.000 ist viel höher als 1 / 150.000.000.

— Peter Flom - Monica wieder einsetzen

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Wahrscheinlicher als jemand, der weniger als 2 Meter groß ist.

— Peter Flom - Monica wieder einsetzen

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Um die Antwort von @Dasherman hinzuzufügen: Was kann es bedeuten zu sagen, dass zwei Ereignisse miteinander verbunden oder möglicherweise verbunden oder korreliert sind ? Vielleicht könnten wir für eine Definition die gemeinsame Wahrscheinlichkeit vergleichen (Angenommen ): Wenn also größer als eins ist, treten und häufiger zusammen auf als unter Unabhängigkeit. Dann können wir sagen, dass und positiv miteinander verbunden sind. $\DeclareMathOperator{\P}{\mathbb{P}} \P(A)>0, \P(B)>0$

η (EIN, B.) = \frac{P. (EIN \cap B.)}{P. (EIN) P. (B.)}

$\eta(A,B)=\frac{\P(A \cap B)}{\P(A) \P(B)}$

η

$\eta$

A

$A$

B

$B$

A

$A$

B

$B$

Unter Verwendung der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit ist nun eine einfache Folge von . Aber ist in und vollständig symmetrisch (das Vertauschen aller Vorkommen des Symbols mit und umgekehrt) lässt die gleichen Formeln ist also auch äquivalent zu . Das ergibt das Ergebnis. Die Intuition, nach der Sie fragen, ist also, dass in und symmetrisch ist . $\frac{\P(A \cap B)}{\P(A) \P(B)}>1$ $\P(B \mid A) > \P(B)$ $\frac{\P(A \cap B)}{\P(A) \P(B)}$ $A$ $B$ $A$ $B$ $\P(A \mid B) > \P(A)$ $\eta(A,B)$ $A$ $B$

Die Antwort von @gunes gab ein praktisches Beispiel, und es ist einfach, andere auf die gleiche Weise zu machen.

— kjetil b halvorsen
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Wenn A B wahrscheinlicher macht, bedeutet dies, dass die Ereignisse irgendwie zusammenhängen. Diese Beziehung funktioniert in beide Richtungen.

Wenn A B wahrscheinlicher macht, bedeutet dies, dass A und B dazu neigen, zusammen zu passieren. Dies bedeutet dann, dass B auch A wahrscheinlicher macht.

— Dasherman
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Dies könnte vielleicht eine Erweiterung gebrauchen? Ohne eine Definition von verwandt ist es ein bisschen leer.

— Mdewey

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Ich habe versucht, mich von strengen Dingen fernzuhalten, da OP um eine intuitive Erklärung gebeten hat. Sie haben Recht, dass es so wie es jetzt ziemlich leer ist, aber ich bin mir nicht sicher, wie ich es auf intuitive Weise erweitern kann. Ich habe einen Versuch hinzugefügt.

— Dasherman

2

Wenn A B wahrscheinlicher macht, hat A entscheidende Informationen, die B über sich selbst ableiten kann. Trotz der Tatsache, dass es möglicherweise nicht den gleichen Betrag beisteuert, gehen diese Informationen nicht umgekehrt verloren. Schließlich haben wir zwei Ereignisse, deren Auftreten sich gegenseitig unterstützen. Ich kann mir kein Szenario vorstellen, in dem das Auftreten von A die Wahrscheinlichkeit von B erhöht und das Auftreten von B die Wahrscheinlichkeit von A verringert. Wenn es beispielsweise regnet, ist der Boden mit hoher Wahrscheinlichkeit nass, und wenn der Boden ist nass bedeutet es nicht, dass es geregnet hat, aber es verringert nicht die Chancen.

— Waffen
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Sie können die Mathematik intuitiver gestalten, indem Sie sich eine Kontingenztabelle vorstellen.

$\begin{array}{cc} \begin{array}{cc|cc} && A & \lnot A & \\ &a+b+c+d & a+c & b+d \\\hline B& a+b& a & b \\ \lnot B & c+d& c & d \\ \end{array} \end{array}$

Wenn und unabhängig sind, sind die gemeinsamen Wahrscheinlichkeiten Produkte der Grenzwahrscheinlichkeiten $A$ $B$
$\begin{array}{cc} \begin{array}{cccc} EIN & \neg EIN \\ 1 & x & 1 - - x \\ B. & y & ein = x y & b = (1 - - x) y \\ \neg B. & 1 - - y & c = x (1 - - y) & d = (1 - - x) (1 - - y) \end{array} \end{array}$ $\begin{array}{cc} \begin{array}{cc|cc} && A & \lnot A & \\ &1 & x & 1-x \\\hline B& y& a=xy & b=(1-x)y \\ \lnot B & 1-y& c=x (1-y) & d=(1-x)(1-y)\\ \end{array} \end{array}$ $P (A) = P (A|B)$ $P (B)=P (B|A)$
$a,b,c,d$ $\pm z$
$\begin{array}{cc} \begin{array}{cccc} EIN & \neg EIN \\ 1 & x & 1 - - x \\ B. & y & ein + z & b - - z \\ \neg B. & 1 - - y & c - - z & d + z \end{array} \end{array}$ $\begin{array}{cc} \begin{array}{cc|cc} && A & \lnot A & \\ &1 & x & 1-x \\\hline B& y& a+z & b-z \\ \lnot B & 1-y& c-z & d+z\\ \end{array} \end{array}$

$z$

$P(A|B) \neq P(A)$ $P(B|A) \neq P(B)$ $>$ $z$ $<$ $z$

$P(A|B) > P(A)$ $P(B|A) > P(B)$ $P(B,A) > P (A) P (B)$

Wenn A und B häufig zusammen auftreten (die gemeinsame Wahrscheinlichkeit ist höher als das Produkt der Grenzwahrscheinlichkeiten), erhöht die Beobachtung der einen die (bedingte) Wahrscheinlichkeit der anderen.

— Sextus Empiricus
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2

Angenommen, wir bezeichnen das Verhältnis von posteriorer zu vorheriger Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses als:

Δ (EIN | B.) \equiv \frac{P. (EIN | B.)}{P. (EIN)}

$\Delta(A|B) \equiv \frac{\mathbb{P}(A|B)}{\mathbb{P}(A)}$

Dann ist ein alternativer Ausdruck des Bayes-Theorems (siehe diesen verwandten Beitrag ):

Δ (EIN | B.) = \frac{P. (EIN | B.)}{P. (EIN)} = \frac{P. (EIN \cap B.)}{P. (EIN) P. (B.)} = \frac{P. (B. | EIN)}{P. (B.)} = Δ (B. | EIN) .

$\Delta(A|B) = \frac{\mathbb{P}(A|B)}{\mathbb{P}(A)} = \frac{\mathbb{P}(A \cap B)}{\mathbb{P}(A) \mathbb{P}(B)} = \frac{\mathbb{P}(B|A)}{\mathbb{P}(B)} = \Delta(B|A).$

$^\dagger$ $B$ $A$ $A$ $B$

$^\dagger$ $A$ $B$ $\text{do}$

— Ben - Monica wieder einsetzen
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Ihnen wird gesagt, dass Sam eine Frau und Kim ein Mann ist und einer der beiden Make-up trägt und der andere nicht. Wer von ihnen trägt wohl Make-up?

Man sagt dir, dass Sam geschminkt ist und Kim nicht, und einer der beiden ist ein Mann und einer eine Frau. Wen würdest du vermuten, ist die Frau?

— Hagen von Eitzen
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Es ist nicht so einfach, dies mit dem ursprünglichen Problem zu verbinden. Was genau ist Ereignis A und was ist Ereignis B? Hier scheint es eher ein Vergleich der Wahrscheinlichkeiten zu sein. Ereignis A ist 'x ist eine Frau' (nicht A ist das Ereignis 'x ist ein Mann'). Und Ereignis B ist "x trägt Make-up". Aber jetzt haben wir plötzlich einen Sam und einen Kim, woher kommt das und sollten wir irgendwelche Informationen über die subjektive Männlichkeit oder Weiblichkeit ihrer Namen verwenden?

— Sextus Empiricus

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Es scheint eine gewisse Verwechslung zwischen Kausalität und Korrelation zu geben. In der Tat ist die Fragestellung für die Kausalität falsch, wie ein Beispiel wie das folgende zeigt:

Wenn ein Hund einen Schal trägt, handelt es sich um ein domestiziertes Tier.

Folgendes ist nicht wahr:

Ein domestiziertes Tier mit einem Schal zu sehen, bedeutet, dass es ein Hund ist.
Wenn man einen domestizierten Hund sieht, trägt er einen Schal.

Wenn Sie jedoch an Wahrscheinlichkeiten (Korrelation) denken, dann ist es wahr:

Hunde, die Schals tragen, sind mit größerer Wahrscheinlichkeit ein domestiziertes Tier als Hunde, die keine Schals tragen (oder Tiere im Allgemeinen).

Folgendes ist wahr:

Ein domestiziertes Tier, das einen Schal trägt, ist eher ein Hund als ein anderes Tier.
Ein domestizierter Hund trägt eher einen Schal als ein nicht domestizierter Hund.

Wenn dies nicht intuitiv ist, denken Sie an einen Pool von Tieren, einschließlich Ameisen, Hunden und Katzen. Hunde und Katzen können beide domestiziert sein und Schals tragen, Ameisen auch nicht.

Wenn Sie die Wahrscheinlichkeit von domestizierten Tieren in Ihrem Pool erhöhen, bedeutet dies auch, dass Sie die Wahrscheinlichkeit erhöhen, ein Tier mit einem Schal zu sehen.
Wenn Sie die Wahrscheinlichkeit von Katzen oder Hunden erhöhen, erhöht sich auch die Wahrscheinlichkeit, dass ein Tier einen Schal trägt.

Domestiziert zu sein ist die "geheime" Verbindung zwischen dem Tier und dem Tragen eines Schals, und diese "geheime" Verbindung wird ihren Einfluss in beide Richtungen ausüben.

Bearbeiten: Geben Sie ein Beispiel für Ihre Frage in den Kommentaren:

Stellen Sie sich eine Welt vor, in der Tiere entweder Katzen oder Hunde sind. Sie können entweder domestiziert sein oder nicht. Sie können einen Schal tragen oder nicht. Stellen Sie sich vor, es gibt insgesamt 100 Tiere, 50 Hunde und 50 Katzen.

Betrachten Sie nun die Aussage A als: " Hunde, die Schals tragen, sind dreimal so häufig ein domestiziertes Tier wie Hunde, die keine Schals tragen. "

Wenn A nicht wahr ist, können Sie sich vorstellen, dass die Welt aus 50 Hunden bestehen könnte, von denen 25 domestiziert sind (von denen 10 Schals tragen), von denen 25 wild sind (von denen 10 Schals tragen). Gleiche Statistiken für Katzen.

Wenn Sie dann ein domestiziertes Tier auf dieser Welt sehen würden, hätte es eine 50% ige Chance, ein Hund zu sein (25/50, 25 Hunde von 50 domestizierten Tieren) und eine 40% ige Chance, einen Schal zu haben (20/50, 10 Hunde) und 10 Katzen von 50 domestizierten Tieren).

Wenn A jedoch wahr ist, dann haben Sie eine Welt, in der es 50 Hunde gibt, von denen 25 domestiziert sind (von denen 15 Schals tragen ), 25 wild (von denen 5 Schals tragen ). Katzen behalten die alten Statistiken bei: 50 Katzen, von denen 25 domestiziert sind (von denen 10 Schals tragen), 25 wild (von denen 10 Schals tragen).

Wenn Sie dann ein domestiziertes Tier auf dieser Welt sehen würden, hätte es die gleiche 50% ige Chance, ein Hund zu sein (25/50, 25 Hunde von 50 domestizierten Tieren), aber 50% (25/50, 15 Hunde und 10 Katzen von 50 domestizierten Tieren).

Wie Sie sehen können, wenn Sie sagen, dass A wahr ist, dann wäre es, wenn Sie ein domestiziertes Tier mit einem Schal auf der Welt sehen würden, wahrscheinlicher ein Hund (60% oder 15/25) als jedes andere Tier (in diesem Fall) Katze, 40% oder 10/25).

— H4uZ
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Dies ist die Zeile, mit der ich ein Problem habe: "Ein domestiziertes Tier, das einen Schal trägt, ist eher ein Hund als ein anderes Tier." Als wir unsere erste Erklärung abgaben, machten wir keinen Anspruch auf die anderen Tiere, die Schals tragen könnten. Es könnten 100er sein. Wir haben nur eine Aussage über Hunde gemacht.

— Rahul Deora

Überprüfen Sie, ob meine Bearbeitung bei Ihrem speziellen Problem hilft.

— H4uZ

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Hier besteht eine Verwechslung zwischen Kausalität und Korrelation. Also gebe ich Ihnen ein Beispiel, wo genau das Gegenteil passiert.

Manche Menschen sind reich, manche arm. Einige arme Menschen erhalten Leistungen, was sie weniger arm macht. Aber Menschen, die Leistungen erhalten, sind immer noch eher arm, selbst wenn sie Leistungen erhalten.

Wenn Sie Vorteile erhalten, ist es wahrscheinlicher, dass Sie sich Kinokarten leisten können. ("Macht es wahrscheinlicher" bedeutet Kausalität). Wenn Sie sich jedoch Kinokarten leisten können, ist es weniger wahrscheinlich, dass Sie zu den Menschen gehören, die arm genug sind, um Vorteile zu erhalten. Wenn Sie sich also Kinokarten leisten können, ist es weniger wahrscheinlich, dass Sie Vorteile erhalten.

— gnasher729
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Dies ist keine Antwort auf die Frage. Interessant, aber keine Antwort. Tatsächlich handelt es sich um ein anderes Szenario. Der Grund für das Gegenteil ist, dass zwei verschiedene Metriken verwendet werden, die ähnlich benannt sind (schlecht ohne Vorteile gegenüber schlecht mit Vorteilen) und als solches ein völlig anderes Szenario darstellt.

— wizzwizz4

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Die Intuition wird klar, wenn Sie sich die stärkere Aussage ansehen:

Wenn A B impliziert, macht B A wahrscheinlicher.

Implication:
  A true  -> B true
  A false -> B true or false
Reverse implication:
  B true  -> A true or false
  B false -> A false

Offensichtlich ist A eher wahr, wenn bekannt ist, dass B auch wahr ist, denn wenn B falsch wäre, wäre dies auch A. Die gleiche Logik gilt für die schwächere Aussage:

Wenn A B wahrscheinlicher macht, dann macht B A wahrscheinlicher.

Weak implication:
  A true  -> B true or (unlikely) false
  A false -> B true or false
Reverse weak implication:
  B true  -> A true or false
  B false -> A false or (unlikely) true

— Rainer P.
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Ich denke, was Sie in der ersten Aussage sagen, ist, dass in einem Venn-Diagramm, wenn A in B enthalten ist, wenn B wahr ist, n (A) / n (B) höher sein muss als n (A) / n (S) da B ein kleinerer Raum als S ist, sagst du auch im zweiten ebenfalls?

— Rahul Deora

@ RahulDeora - Ja, so funktioniert es. Die schwache Version ist viel weniger offensichtlich, aber Sie haben trotzdem schon gerechnet. Was Sie gefragt haben, ist die Intuition hinter dem Ergebnis, die am besten in der stärkeren Aussage beobachtet werden kann.

— Rainer P.

Ein kleines Problem bei der Verwendung dieser Aussage, um mehr Intuition zu erlangen, ist, dass sie nicht ganz wahr ist. 'A impliziert B' ist keine ausreichende Bedingung für 'wenn B dann ist A wahrscheinlicher'. Der wichtige Unterschied besteht darin, dass mit 'A impliziert B' B nicht wahrscheinlicher werden muss. Die wichtigsten Beispiele sind, wenn B immer wahr ist.

— Sextus Empiricus

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$P(successful|Alice)>P(successful)$ $P(Alice|successful)>P(Alice)$

Oder nehmen wir an, es gibt eine Schule, die 10% der Schüler in ihrem Schulbezirk hat, aber 15% der Straight-A-Schüler. Dann ist der Prozentsatz der Schüler an dieser Schule, die Straight-A-Schüler sind, eindeutig höher als der bezirksweite Prozentsatz.

$P(A\&B)>P(A)P(B)$ $A$ $B$

— Akkumulation
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