Wahrscheinlichkeit von

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Angenommen, und sind unabhängige geometrische Zufallsvariablen mit dem Parameter . Wie ist die Wahrscheinlichkeit, dass ? $X_1$ $X_2$ $p$ $X_1 \geq X_2$

Ich bin verwirrt über diese Frage, weil uns nichts anderes über und gesagt wird, als dass sie geometrisch sind. Wäre das nicht weil und alles im Bereich sein können? $X_1$ $X_2$ $50\%$ $X_1$ $X_2$

EDIT: Neuer Versuch

$P(X1 ≥ X2) = P(X1 > X2) + P(X1 = X2)$

$P(X1 = X2)$ = = $\sum_{x}$ $(1-p)^{x-1}p(1-p)^{x-1}p$ $\frac{p}{2-p}$

$P(X1 > X2)$ = und $P(X1 < X2)$ $P(X1 < X2) + P(X1 > X2) + P(X1 = X2) = 1$

Daher ist = = Hinzufügen von dazu bekomme ich = $P(X1 > X2)$ $\frac{1-P(X1 = X2)}{2}$ $\frac{1-p}{2-p}$
$P(X1 = X2)=\frac{p}{2-p}$ $P(X1 ≥ X2)$ $\frac{1}{2-p}$

Ist das richtig?

self-study random-variable geometric-distribution

— IrCa
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3

Bitte fügen Sie das Tag "Selbststudium" hinzu.

— Hartnäckig

1

Weil X1und X2diskrete Variablen sind, macht die Gleichheit die Dinge etwas weniger offensichtlich.

— usεr11852

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Es kann nicht weil $50\%$ $P(X_1=X_2)>0$

Ein Konzept:

Betrachten Sie die drei Ereignisse und , die den Probenraum aufteilen. $P(X_1>X_2), P(X_2>X_1)$ $P(X_1=X_2)$

Es gibt eine offensichtliche Verbindung zwischen den ersten beiden. Schreiben Sie einen Ausdruck für den dritten und vereinfachen Sie. Lösen Sie daher die Frage.

— Glen_b - Monica neu starten
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Ich habe meinen Beitrag mit meiner neuen Antwort bearbeitet. Könnten Sie einen Blick darauf werfen und sehen, ob es richtig ist?

— IrCa

1

Ja, Ihre Antworten sehen richtig aus. Eine alternative Methode (unter Verwendung einer ähnlichen Idee) wäre zu beachten, dass (wiederum unter Ausnutzung der Symmetrie / Austauschbarkeit von und ).

P (X_{1} \geq X_{2}) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} P (X_{1} = X_{2})

$P(X_1\geq X_2)=\frac12 + \frac12 P(X_1=X_2)$

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

— Glen_b -State Monica

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Ihre Antwort auf Glen's Vorschlag ist richtig. Ein anderer, weniger eleganter Weg ist nur zu konditionieren:

\begin{aligned} Pr {X_{1} \geq X_{2}} & = \sum_{k = 0}^{\infty} Pr {X_{1} \geq X_{2} ∣ X_{2} = k} Pr {X_{2} = k} \\ = \sum_{k = 0}^{\infty} \sum_{ℓ = k}^{\infty} Pr {X_{1} = ℓ} Pr {X_{2} = k} . \end{aligned}

$\begin{align} \Pr\{X_1\geq X_2\} &= \sum_{k=0}^\infty \Pr\{X_1\geq X_2\mid X_2=k\} \Pr\{X_2=k\} \\ &= \sum_{k=0}^\infty \sum_{\ell=k}^\infty \Pr\{X_1=\ell\}\Pr\{X_2=k\}. \end{align}$

Dies ergibt das gleiche , nachdem die beiden geometrischen Reihen behandelt wurden. Glen's Weg ist besser. $1/(2-p)$

— Zen
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Hinweis - Ihr Weg ist besser, um sich auf neue Probleme zu bewerben, denke ich. Weil es auf ersten Prinzipien basiert. Der Trick / Intuiton aus der Antwort von glen_b kommt normalerweise, nachdem das Problem auf Ihre Weise gelöst wurde

— Wahrscheinlichkeitslogik

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@probabilityislogic Ich teile Ihre Begeisterung für Ableitungen von "ersten Prinzipien". Für einen modernen Mathematiker ist das Suchen und Ausnutzen von Symmetrie jedoch noch grundlegender als die ersten Prinzipien (Definitionen), auf die Sie sich beziehen: Wir könnten es ein Metaprinzip der Mathematik nennen. Es ist viel mehr als nur ein "Trick".

— whuber