Warum ist das Neyman-Pearson-Lemma ein Lemma und kein Theorem?

Dies ist eher eine Geschichtsfrage als eine technische Frage.

Warum ist das Neyman-Pearson-Lemma ein Lemma und kein Theorem?

Link zum Wiki: https://en.wikipedia.org/wiki/Neyman%E2%80%93Pearson_lemma

NB : Die Frage betrifft nicht, was ein Lemma ist und wie Lemmas verwendet werden, um einen Satz zu beweisen, sondern die Geschichte des Neyman-Pearson-Lemmas. Wurde es verwendet, um einen Satz zu beweisen, und dann war es nützlicher? Gibt es Beweise dafür, die nicht den Verdacht erwecken, dass dies der Fall war?

NB: Diese historisch erste Antwort auf die OP-Frage. In der Statistik wurde das Neyman-Pearson-Lemma 1933 von Jerzy Neyman und Egon Pearson in einem Artikel eingeführt . Außerdem wird es in der Praxis von Statistikern als Theorem und nicht als Lemma verwendet, und es wird hauptsächlich aufgrund des Papiers von 1936 als Lemma bezeichnet. IMHO beantwortet die historische Behandlung nicht die "Warum" -Frage, und dieser Beitrag versucht dies zu tun.

Was ein Lemma im Gegensatz zu einem Theorem oder einer Folgerung ist, wird an anderer Stelle und hier angesprochen . Genauer gesagt, was die Definition betrifft: Lemma, erste Bedeutung : Ein Neben- oder Zwischensatz in einem Argument oder Beweis. Ich stimme dem Oxford-Wörterbuch zu, hätte aber die Wortreihenfolge geändert und die genaue Sprache notiert: Zwischen- oder Nebensatz. Einige Autoren glauben fälschlicherweise, dass ein Lemma ein Vermittler für einen Beweis sein muss, und dies ist bei vielen unbenannten Lemmas der Fall. Zumindest für benannte Lemmas ist es jedoch üblich, dass das Lemma-Ergebnis eine Implikation ist, die sich aus einem bereits bewährten Theorem ergibt, so dass das Lemma ein zusätzlicher, dh subsidiärer Theorem ist. Aus der New World Encyclopedia Die Unterscheidung zwischen Theoremen und Lemmas ist eher willkürlich, da das Hauptergebnis eines Mathematikers der Nebenanspruch eines anderen ist. Gauß 'Lemma und Zorns Lemma zum Beispiel sind an sich interessant genug, dass einige Autoren das nominale Lemma präsentieren, ohne es im Beweis eines Theorems zu verwenden. Ein weiteres Beispiel hierfür ist Evans Lemma, das sich nicht aus dem Beweis eines einfachen Satzes der Differentialgeometrie ergibt, der ... zeigt, dass die erste Cartan-Strukturgleichung eine Gleichheit zweier Tetradenpostulate ist ... Das Tetradenpostulat [ Sic , selbst] ist die Quelle des Evans Lemma der Differentialgeometrie. Wikipedia erwähnt die zeitliche Entwicklung von Deckspelzen:In einigen Fällen, wenn die relative Bedeutung verschiedener Theoreme klarer wird, wird das, was früher als Lemma galt, jetzt als Theorem betrachtet, obwohl das Wort "Lemma" im Namen verbleibt.

Beachten Sie jedoch, dass es sich auch um Theoreme handelt, ob es sich um eigenständige Deckspelzen handelt oder nicht. Das heißt, ein Theorem, das ein Lemmas ist, kann manchmal eine Antwort auf die Frage sein: "Was impliziert der (obige) Theorem?" Manchmal sind Deckspelzen ein Sprungbrett, um einen Satz aufzustellen.

Aus der Lektüre des Papiers von 1933 geht hervor: IX. Zum Problem der effizientesten Tests statistischer Hypothesen. Jerzy Neyman, Egon Sharpe Pearson und Karl Pearson , dass der Satz, der untersucht wird, der Satz von Bayes ist . Einige Leser dieses Beitrags haben Schwierigkeiten, den Satz von Bayes mit dem Papier von 1933 in Verbindung zu bringen, obwohl eine diesbezügliche Einführung ziemlich explizit ist. Beachten Sie, dass das Papier von 1933 mit Venn-Diagrammen übersät ist. Venn-Diagramme veranschaulichen die bedingte Wahrscheinlichkeit , die der Satz von Bayes ist. Einige Leute bezeichnen dies als Bayes-Regel, da es übertrieben ist, diese Regel als "Theorem" zu bezeichnen. Wenn wir zum Beispiel "Addition" als Theorem bezeichnen würden, anstatt eine Regel zu sein, würden wir eher verwirren als erklären.

Daher ist das Neyman-Pearson- Lemma ein Theorem bezüglich der effizientesten Prüfung von Bayes'schen Hypothesen, wird aber derzeit nicht so genannt, weil es nicht von Anfang an war.

Die klassische Version erscheint 1933, aber der früheste Anlass, als "Lemma" bezeichnet zu werden, ist möglicherweise in Neymans und Pearsons Artikel von 1936 Beiträge zur Theorie der Prüfung statistischer Hypothesen (S. 1-37 von Statistical Research Memoirs Volume I). . Das Lemma und der Satz, mit dem es bewiesen wurde, wurden wie folgt angegeben:

Dies ist heute als verallgemeinertes Neyman-Pearson-Fundamental-Lemma bekannt (vgl. Kapitel 3.6 der statistischen Hypothesen von Lehman und Romano ) und reduziert sich auf Ihr tägliches Neyman-Pearson, wenn . Das Lemma selbst wurde dann von mehreren großen Namen aus dieser Zeit untersucht (z. B. PL Hsu, Dantzig, Wald, Chernoff, Scheffé), und der Name "Lemma von Neyman und Pearson" blieb somit erhalten.$m=1$

Hier ist eine Liste relevanter Artikel / Bücher, wenn Sie sich für die Geschichte des Neyman-Pearson-Lemmas interessieren:

• Die Neyman-Pearson-Geschichte: 1926-34 , ES Pearson, in Research Papers in Statistical: Festschrift für J. Neyman .
• Einführung in Neyman und Pearson (1933) Zum Problem der effizientesten Tests statistischer Hypothesen , EL Lehmann, in Durchbrüche in der Statistik: Grundlagen und Grundtheorie .
• Neyman-From Life , C. Reid.