Hinweis: Dies ist ein Hausaufgabenproblem. Bitte geben Sie mir nicht die ganze Antwort!

Ich habe zwei Variablen, A und B, mit Normalverteilungen (Mittelwerte und Varianzen sind bekannt). Angenommen, C ist definiert als A mit 50% Chance und B mit 50% Chance. Wie würde ich nachweisen, ob C auch normal verteilt ist, und wenn ja, wie hoch sein Mittelwert und seine Varianz sind?

Ich bin nicht sicher, wie ich die PDFs von A und B auf diese Weise kombinieren soll, aber idealerweise besteht mein Angriffsplan darin, das PDF von C abzuleiten und zu zeigen, ob es ein a ist oder nicht, wenn jemand mich in die richtige Richtung weisen kann Variation des normalen PDF.

Hoffentlich ist Ihnen klar, dass C nicht garantiert normal ist. Ein Teil Ihrer Frage war jedoch, wie Sie das PDF aufschreiben. @BallpointBen gab Ihnen einen Hinweis. Wenn das nicht genug ist, hier noch ein paar Spoiler ...

Man beachte, dass C geschrieben werden kann als: für ein Bernoulli-Zufalls- mit mit unabhängig von . Dies ist mehr oder weniger die mathematische Standardübersetzung der englischen Aussage "C ist A mit 50% Chance und B mit 50% Chance".

$$C = T \cdot A + (1-T) \cdot B$$ $T$$P(T=0)=P(T=1)=1/2$$T$$(A,B)$

Nun scheint es schwierig zu sein, das PDF von C direkt daraus zu bestimmen, aber Sie können Fortschritte indem Sie die Verteilungsfunktion von C . Sie können das Ereignis in zwei Unterereignisse (abhängig vom Wert von ) aufteilen , um zu schreiben ::$F_C$$C \leq X$$T$

$$F_C(x) = P(C \leq x) = P(T = 0 \text{ and } C \leq x) + P(T = 1\text{ and C }\leq x)$$

und beachten Sie, dass Sie durch die Definition von C und die Unabhängigkeit von T und B:

$$P(T=0\text{ and }C \leq x) = P(T=0\text{ and }B\leq x) = \frac12P(B\leq x) = \frac12 F_B(x)$$

Sie sollten in der Lage sein, ein ähnliches Ergebnis im Fall zu verwenden, um in Bezug auf und zu schreiben . Um das PDF von C zu erhalten, differenzieren einfach in Bezug auf x.$T=1$$F_C$$F_A$$F_B$$F_C$

Die Simulation einer zufälligen 50-50-Mischung aus und ist unten dargestellt. Simulation in R.$\mathsf{Norm}(\mu=90, \sigma=2)$$\mathsf{Norm}(\mu=100, \sigma=2)$

set.seed(827);  m = 10^6
x1 = rnorm(m, 100, 2);  x2 = rnorm(m, 90, 2)
p = rbinom(m, 1, .5)
x = x1;  x[p==1] = x2[p==1]
hist(x, prob=T, col="skyblue2", main="Random 50-50 Mixture of NORM(90,2) and NORM(100,2)")
  curve(.5*(dnorm(x, 100, 2) + dnorm(x, 90, 2)), add=T, col="red", lwd=2)

Eine Möglichkeit, daran zu arbeiten, besteht darin, sie zu analysieren, da die Varianz gegen 0 tendiert. Auf diese Weise erhalten Sie eine Bernoulli-ähnliche Verteilung, die (eindeutig) keine Normalverteilung ist.

Dies ist die Art von Problem, bei dem es sehr hilfreich ist, das Konzept der CDF, der kumulativen Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion, von Zufallsvariablen zu verwenden, das völlig unnötige Konzept, das Professoren nur mit einbeziehen, um Studenten zu verwirren, die gerne nur PDFs verwenden.

Per Definition entspricht der Wert der CDF einer Zufallsvariablen der Wahrscheinlichkeit, dass nicht größer als die reelle Zahl ist, Das Gesetz der Gesamtwahrscheinlichkeit sagt uns nun, dass wenn gleich wahrscheinlich mit einer Zufallsvariablen oder einer Zufallsvariablen identisch ist , oder mit anderen Worten $F_X(\alpha)$$X$$X$$\alpha$

$$F_X(\alpha) = P\{X \leq \alpha\}, ~-\infty < \alpha < \infty.$$ $X$$A$$B$ $$P\{X \leq \alpha\} = \frac 12 P\{A \leq \alpha\} + \frac 12 P\{B \leq \alpha\},$$ $$F_X(\alpha\} = \frac 12 F_A(\alpha\} + \frac 12 F_B(\alpha\}.$$ wir uns daran erinnern, wie langweilig Ihr Professor darüber geredet hat, wie für kontinuierliche Zufallsvariablen das PDF die Ableitung der CDF ist, erhalten wir das eine Ihrer Fragen beantwortet. Können Sie für den Sonderfall der normalen Zufallsvariablen und herausfinden, ob eine normale Dichte für ergibt oder nicht? Wenn Sie mit Begriffen vertraut sind wie können Sie herausfinden, indem Sie die rechte Seite von für in $$f_X(\alpha\} = \frac 12 f_A(\alpha\} + \frac 12 f_B(\alpha\} \tag{1}$$ $A$$B$$(1)$$X$ $$E[X] = \int_{-\infty}^\infty \alpha f_X(\alpha\} \, \mathrm d\alpha, \tag{2}$$ $(1)$$f_X(\alpha)$$(2)$und wenn man über den Ausdruck nachdenkt, was ist in Bezug auf und ?$E[X]$$E[A]$$E[B]$

$C$ ist nicht normalverteilt, es sei denn, und sind identisch verteilt. Wenn und jedoch identisch verteilt sind, wird auch identisch verteilt.$A$$B$$A$$B$$C$

Beweis

Sei , und die kumulativen Verteilungsfunktionen (CDFs) von A, B bzw. C und , und ihre Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen (PDFs), dh$F_A$$F_B$$F_C$$f_A$$f_B$$f_C$

$$\begin{array}{l} F_A(x) = \Pr(A < x), \\ F_B(x) = \Pr(B < x), \\ F_C(x) = \Pr(C < x), \\ f_A(x) = \frac{d}{dx}F_A(x), \\ f_B(x) = \frac{d}{dx}F_B(x),\text{ and} \\ f_C(x) = \frac{d}{dx}F_C(x). \end{array}$$

Wir haben auch zwei Veranstaltungen:

• $\Gamma_1$ , wenn als definiert ist , was mit der Wahrscheinlichkeit auftritt$C$$A$$\gamma$
• $\Gamma_2$ , wenn als definiert ist , was mit der Wahrscheinlichkeit auftritt$C$$B$$1 - \gamma$

Nach dem Gesetz der Gesamtwahrscheinlichkeit ,

$$\begin{array}{rl} F_C(x) \!\!\!\! & = Pr(C < x)\\ & = \Pr(C < x\ |\ \Gamma_1 )\Pr(\Gamma_1) + \Pr(C < x\ |\ \Gamma_2 )\Pr(\Gamma_2) \\ & = \Pr(A < x)\Pr(\Gamma_1) + \Pr(B < x)\Pr(\Gamma_2)\\ & = \gamma F_A(x) + (1 - \gamma) F_B(x). \end{array}$$

Deshalb,

$$\begin{array}{rl} f_C(x) \!\!\!\! & = \frac{d}{dx} F_C(x)\\ & = \frac{d}{dx}(\gamma F_A(x) + (1 - \gamma) F_B(x)) \\ & = \gamma\left(\frac{d}{dx} F_A(x)\right) + (1 - \gamma) \left(\frac{d}{dx}F_B(x)\right) \\ & = \gamma f_A(x) + (1 - \gamma) f_B(x), \end{array}$$

und da$\gamma = 0.5,$

$$f_C(x) = 0.5 f_A(x) + 0.5 f_B(x).$$

Da das PDF einer Normalverteilung eine positive Gaußsche Funktion ist und die Summe zweier möglicher Gaußscher Funktionen genau dann eine positive Gaußsche Funktion ist, wenn und nur wenn die beiden Gaußschen Funktionen linear abhängig sind, wird genau dann normalverteilt, wenn und sind identisch verteilt.$C$$A$$B$

Wenn und identisch verteilt sind, ist , so dass auch identisch verteilt ist.$A$$B$$f_A(x) = f_B(x) = f_C(x)$$C$