Wie heißt die Verteilungsfamilie mit PDF proportional zu ?

Betrachten Sie eine Familie von Verteilungen mit PDF (bis zu einer Proportionalitätskonstante), die durch Wie heißt es? Wenn es keinen Namen hat, wie würden Sie es nennen?

p (x) \sim \frac{1}{(1 + α x^{2})^{1 / α}} .

$p(x)\sim \frac{1}{(1+\alpha x^2)^{1/\alpha}}.$

Es sieht der Familie der Verteilungen mit PDF, das proportional zu ziemlich ähnlich $t$

p (x) \sim \frac{1}{(1 + \frac{1}{ν} x^{2})^{(ν + 1) / 2}} .

$p(x)\sim \frac{1}{(1+\frac{1}{\nu} x^2)^{(\nu+1)/2}}.$

Wenn , haben wir eine Verteilung mit 1 df, auch bekannt als Cauchy-Verteilung. Wenn oder , erhalten wir die Gaußsche Verteilung. $\alpha=\nu=1$ $t$ $\alpha\to 0$ $\nu\to\infty$

Diese Familie von Verteilungen erscheint in Yang et al., Heavy-Tailed Symmetric Stochastic Neighbor Embedding, NIPS 2009 , aber sie verwenden keinen Namen, um darauf zu verweisen.

— Amöbe
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mathworks.com/help/stats/t-location-scale-distribution.html . Ich würde sagen, es ist eine Form der skalierten t-Verteilung, indem entsprechende Werte auf v und scale gesetzt werden.

— Cagdas Ozgenc

Danke @CagdasOzgenc (+1). Du hast recht. Glen_b hat dies in einer Antwort ausgeführt.

— Amöbe

Falls Sie sich dessen nicht bewusst sind, mgcv::gamkönnen Sie bei Verwendung ein skaliertes T als Antwort angeben gam( family= "scat", ... ).

— usεr11852

Es ist einfach eine bestimmte skalierte Verteilung - eine Verteilung mit einer anderen Varianz als die Standard- Verteilung. $t$ $t$ $t$

Sei . Sei . $\nu = \frac{2}{\alpha}-1$ $\sigma= \frac{\sqrt{2-\alpha}}{\alpha}$

Dann (wenn ich es richtig gemacht habe) ist ein Standard mit df $Y=X/\sigma$ $t$ $\nu$

So ging meine Argumentation:

f_{Y} (y) = c \cdot \frac{1}{(1 + \frac{y^{2}}{ν})^{(ν + 1) / 2}}

$f_Y(y)= c\cdot \frac{1}{(1+\frac{y^2}{\nu})^{(\nu+1)/2}}$ ist eine Standard- Dichte.

t

$t$

Wir erhalten die Skalenfamilie, indem wir . In diesem Fall ist ist ein skaliertes -Dichte. $X/\sigma=Y$

f_{X} (x) = \frac{1}{σ} f_{Y} (\frac{x}{σ}) = \frac{c}{σ} \cdot \frac{1}{(1 + \frac{x^{2}}{σ^{2} ν})^{(ν + 1) / 2}}

$f_X(x) = \frac{1}{\sigma}f_Y\Big(\frac{x}{\sigma}\Big) = \frac{c}{\sigma}\cdot \frac{1}{(1+\frac{x^2}{\sigma^2\nu})^{(\nu+1)/2}}$

t

$t$

Setzen Sie einfach die Koeffizienten in Ihrer Dichte damit gleich und lösen Sie nach und . $\nu$ $\sigma$

Das Erkennen, dass ein Skalierungsparameter alles aufnimmt, was in nicht "richtig" ist (vorausgesetzt, ist bereits durch Gleichsetzen von Potenzen definiert), war alles, was benötigt wurde, um zu sehen, dass es skaliert ; Algebra war nicht erforderlich, bis es Zeit wurde, die Parameter des tatsächlich zu finden . $\alpha x^2$ $\nu$ $t$ $t$

[Schlussbemerkung: Falls es nicht offensichtlich ist, dass eine Skalenfamilie die Form , nehmen Sie die Wahrscheinlichkeit Anweisung (unter Hinweis darauf, dass das Ereignis mit dem Ereignis identisch ist ) und differenzieren.] $f_X(x) = \frac{1}{\sigma}f_Y\Big(\frac{x}{\sigma}\Big)$ $F_X(x) = F_Y\Big(\frac{x}{\sigma}\Big)$ $X/\sigma\leq t$ $Y\leq t$

— Glen_b -Reinstate Monica
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Es ist interessant festzustellen, dass diese Konvertierung bei . Ich gehe davon aus, dass das skalierte PDF bei der Integration über die reale Linie divergiert, oder?

α \geq 2

$\alpha\ge 2$

— Amöbe

Ja. Zum Beispiel haben Sie bei etwas, das sich nähert in den Schwänzen, und so divergieren beide Hälften des Integrals. Nun, dieses Argument ist etwas locker, aber Sie können es leicht genug verschärfen.

α = 2

$\alpha=2$

k / | x |

$k/|x|$

— Glen_b -State Monica

@amoeba Beachten Sie, dass . Ich verwende diese Verteilung häufig für die Volatilitätsschätzung in Finanzzeitreihen.

v a r = σ^{2} \frac{v}{v - 2}

$var=\sigma^2 \frac{v}{v-2}$

— Cagdas Ozgenc