Verteilung von

Ich arbeite an folgendem Problem:

Sei und unabhängige Zufallsvariablen mit gemeinsamer Dichte wobei . Sei und . Hier finden Sie die gemeinsame Dichte von und damit die pdf von finden . $X$ $Y$ $f(x)=\alpha\beta^{-\alpha}x^{\alpha-1}\mathbf1_{0<x<\beta}$ $\alpha\geqslant1$ $U=\min(X,Y)$ $V=\max(X,Y)$ $(U,V)$ $U+V$

Da $U+V=X+Y$ , kann ich einfach das PDF von $X+Y$ zu sehen, wie das PDF von $U+V$ sein sollte.

Ich erhalte das PDF von $T=X+Y$ als

\begin{matrix} (1) & f_{T} (t) = \int f (t - y) f (y) d y = α^{2} β^{- 2 α} \int_{max (t - β, 0)}^{min (t, β)} (y (t - y))^{α - 1} d y 1_{0 < t < 2 β} \end{matrix}

$f_T(t)=\int f(t-y)f(y)\,\mathrm{d}y=\alpha^2\beta^{-2\alpha}\int_{\max(t-\beta,0)}^{\min(t,\beta)}(y(t-y))^{\alpha-1}\,\mathrm{d}y\,\mathbf1_{0<t<2\beta}\tag{1}$

Ich bin mir nicht sicher, ob dieses Integral vereinfacht werden kann.

Zurück zur eigentlichen Frage: Das gemeinsame PDF von $(U,V)$ ist gegeben durch

f_{U, V} (u, v) = 2 f (u) f (v) 1_{0 < u < v < β} = 2 α^{2} β^{- 2 α} (u v)^{α - 1} 1_{0 < u < v < β}

$f_{U,V}(u,v)=2f(u)f(v)\mathbf1_{0<u<v<\beta}=2\alpha^2\beta^{-2\alpha}(uv)^{\alpha-1}\mathbf1_{0<u<v<\beta}$

Ich habe eine Variablenänderung $(U,V)\to(W,Z)$ , wo $W=U+V$ und $Z=U$ . Der absolute Wert von Jacobian ist die Einheit. Außerdem $0<u<v<\beta\implies 0<z<\frac{w}{2}<\beta$ . Das marginale PDF von $W$ ist also

\begin{matrix} (2) & f_{W} (w) = 2 α^{2} β^{- 2 α} \int_{0}^{w / 2} (z (w - z))^{α - 1} d z 1_{0 < w < 2 β} \end{matrix}

$f_W(w)=2\alpha^2\beta^{-2\alpha}\int_0^{w/2}(z(w-z))^{\alpha-1}\,\mathrm{dz}\,\mathbf1_{0<w<2\beta}\tag{2}$

Es ist möglich, dass ich einen Fehler bei der richtigen Unterstützung der Zufallsvariablen gemacht habe. Es ist auch möglich, dass das Integral keine Lösung in Bezug auf Elementarfunktionen hat. Auf jeden Fall konnte ich mit dem Integral nicht fortfahren. Ich konnte also nicht einmal überprüfen, ob das gleiche PDF wie . Es scheint, dass ich unterschiedliche Verteilungen von und . Und hat die Verteilung von aus Neugier einen Namen (in diesem Fall hätte ich nach der Faltung zweier solcher Zufallsvariablen gesucht)? $W=U+V$ $T=X+Y$ $W$ $T$ $X$

Bearbeiten.

Fahren Sie mit dem letzten Integral fort, das ich von Hand bekomme

\int_{0}^{w / 2} (z (w - z))^{α - 1} d z = w^{2 α - 1} \int_{0}^{1 / 2} t^{α - 1} (1 - t)^{α - 1} d t = w^{2 α - 1} I_{1 / 2} (α, α) B (α, α)

$\int_0^{w/2}(z(w-z))^{\alpha-1}\,\mathrm{dz}=w^{2\alpha-1}\int_0^{1/2}t^{\alpha-1}(1-t)^{\alpha-1}\,\mathrm{dt}=w^{2\alpha-1}I_{1/2}(\alpha,\alpha)B(\alpha,\alpha)$ wobei die regulierte unvollständige Beta-Funktion ist. Unter Verwendung der Eigenschaft wir . Schließlich haben wir also

I_{x}

$I_{x}$

I_{x} (a, b) = 1 - I_{1 - x} (b, a)

$I_x(a,b)=1-I_{1-x}(b,a)$

I_{1 / 2} (α, α) = \frac{1}{2}

$I_{1/2}(\alpha,\alpha)=\frac{1}{2}$

\int_{0}^{w / 2} (z (w - z))^{α - 1} d z = \frac{1}{2} w^{2 α - 1} B (α, α)

$\int_0^{w/2}(z(w-z))^{\alpha-1}\,\mathrm{dz}=\frac{1}{2}w^{2\alpha-1}B(\alpha,\alpha)$

Dies impliziert das

f_{W} (w) = α^{2} β^{- 2 α} B (α, α) w^{2 α - 1} 1_{0 < w < 2 β}

$f_W(w)=\alpha^2\beta^{-2\alpha}B(\alpha,\alpha)w^{2\alpha-1}\mathbf1_{0<w<2\beta}$

Dass dies keine Dichte im gegebenen Bereich von ist, ist leicht zu erkennen. Ich habe das Gefühl, irgendwo einen großen Fehler gemacht zu haben. Ich habe meine Berechnungen mit Mathematica überprüft und sie scheinen zuzustimmen. $w$

— HartnäckigAtom
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@ Xi'an Und die Summe der unabhängigen Beta-Variablen hat vielleicht keine geschlossene PDF-Form?

— HartnäckigAtom

@ Xi'an Ich habe also das Gefühl, dass nichts falsch ist, wenn ich meine Antwort mit diesem Integral beende, unabhängig davon, ob es eine geschlossene Form in Bezug auf eine spezielle Funktion hat oder nicht?

— HartnäckigAtom

Als Verallgemeinerung von stats.stackexchange.com/questions/41467 (der Fall mit ) kann diese Frage wahrscheinlich mit einer oder mehreren der verschiedenen in diesem Thread erläuterten Techniken gelöst werden.

α = 1

$\alpha=1$

— whuber

Ich habe fälschlicherweise gesagt, dass , obwohl tatsächlich ausreicht, damit eine gültige Dichte ist. Dies wird manchmal als Potenzfunktionsverteilung bezeichnet . Für es eine Beta-Dichte und für es eine einheitliche Dichte.

α > 1

$\alpha>1$

α > 0

$\alpha>0$

f

$f$

β = 1

$\beta=1$

α = 1

$\alpha=1$

— Hartnäckig

Da wir haben ( ) und durch eine Änderung der Variablen im zweiten Integral der rhs Ähnlich, wenn

\begin{aligned} \int_{max (t - β, 0)}^{min (t, β)} (y (t - y))^{α - 1} d y 1_{0 < t < 2 β} & = {\begin{cases} \int_{0}^{t} (y (t - y))^{α - 1} d y & when 0 \leq t \leq β \\ \int_{t - β}^{β} (y (t - y))^{α - 1} d y & when β \leq t \leq 2 β \end{cases} \end{aligned}

$\begin{align} \int_{\max(t-\beta,0)}^{\min(t,\beta)}(y(t-y))^{\alpha-1}\,\mathrm{d}y\,\mathbf1_{0<t<2\beta}&=\begin{cases} \int_{0}^{t}(y(t-y))^{\alpha-1}\,\mathrm{d}y&\text{when }0\le t\le \beta\\ \int_{t-\beta}^{\beta}(y(t-y))^{\alpha-1}\,\mathrm{d}y&\text{when }\beta\le t\le 2\beta\\ \end{cases}\\ \end{align}$

t < β

$t<\beta$

\int_{max (t - β, 0)}^{min (t, β)} (y (t - y))^{α - 1} d y = \int_{0}^{t / 2} (y (t - y))^{α - 1} d y + \int_{t / 2}^{t} (y (t - y))^{α - 1} d y

$\int_{\max(t-\beta,0)}^{\min(t,\beta)}(y(t-y))^{\alpha-1}\,\mathrm{d}y= \int_{0}^{t/2}(y(t-y))^{\alpha-1}\,\mathrm{d}y+\int_{t/2}^{t}(y(t-y))^{\alpha-1}\,\mathrm{d}y$

z = t - y

$z=t-y$

\int_{max (t - β, 0)}^{min (t, β)} (y (t - y))^{α - 1} d y = 2 \int_{0}^{t / 2} (y (t - y))^{α - 1} d y

$\int_{\max(t-\beta,0)}^{\min(t,\beta)}(y(t-y))^{\alpha-1}\,\mathrm{d}y= 2\int_{0}^{t/2}(y(t-y))^{\alpha-1}\,\mathrm{d}y$

t > β

$t>\beta$ , erneut durch eine Änderung der Variablen im zweiten Integral der rhs. Ich kann jedoch in diesem zweiten Fall nicht denselben funktionalen Ausdruck für die Dichte wiederherstellen , nämlich

\begin{aligned} \int_{t - β}^{β} (y (t - y))^{α - 1} d y & = \int_{t - β}^{t / 2} (y (t - y))^{α - 1} d y + \int_{t / 2}^{β} (y (t - y))^{α - 1} d y \\ = 2 \int_{t / 2}^{β} (y (t - y))^{α - 1} d y \end{aligned}

$\begin{align*} \int_{t-\beta}^{\beta}(y(t-y))^{\alpha-1}\,\mathrm{d}y&= \int_{t-\beta}^{t/2}(y(t-y))^{\alpha-1}\,\mathrm{d}y+\int_{t/2}^{\beta}(y(t-y))^{\alpha-1}\,\mathrm{d}y\\ &=2\int_{t/2}^{\beta}(y(t-y))^{\alpha-1}\,\mathrm{d}y \end{align*}$

z = t - y

$z=t-y$

2 \int_{0}^{w / 2} (z (w - z))^{α - 1} d z

$2\int_{0}^{w/2}(z(w-z))^{\alpha-1}\,\mathrm{d}z$

Nun, wie in der Frage ausgeführt, durch eine Änderung des Maßstabs, was bedeuten würde, dass die interessierende Verteilung die Dichte wodurch daraus eine Beta -Verteilung wird, die auf skaliert wird , daher mit der Dichte

2 \int_{0}^{w / 2} (z (w - z))^{α - 1} d z \propto w^{2 (α - 1) + 1} = w^{2 α - 1}

$2\int_{0}^{w/2}(z(w-z))^{\alpha-1}\,\mathrm{d}z \propto w^{2(\alpha-1)+1}=w^{2\alpha-1}$

f (w) \propto w^{2 α - 1} 1_{0 < w < 2 β}

$f(w)\propto w^{2\alpha-1} \mathbf1_{0<w<2\beta}$

B (2 α, 1)

${\cal B}(2\alpha,1)$

(0, 2 β)

$(0,2\beta)$

f (w) = {2 β}^{- 2 α} \frac{Γ (2 α + 1)}{Γ (2 α)} w^{2 α - 1} 1_{0 < w < 2 β} = 2 α {2 β}^{- 2 α} w^{2 α - 1} 1_{0 < w < 2 β}

$f(w) = \{2\beta\}^{-2\alpha}\dfrac{\Gamma(2\alpha+1)}{\Gamma(2\alpha)}w^{2\alpha-1} \mathbf1_{0<w<2\beta}=2\alpha\{2\beta\}^{-2\alpha}w^{2\alpha-1} \mathbf1_{0<w<2\beta}$

Dies ist ein Widerspruch, wenn man die unglaublich detaillierte Antwort von W. Huber betrachtet , da Uniformen Beta . Und da die Summe zweier Uniformen keine Beta Zufallsvariable ist, sondern ein rv mit "Zelt" -Dichte. ${\cal B}(1,1)$ ${\cal B}(2,1)$

Nebenbei: Im Allgemeinen ist eine Summe von Beta-Variablen keine andere Beta-Variable, wobei die "Erklärung" einfach ist, wenn Betas als zwei durch ihre Summe normalisierte Gammas betrachtet werden. Durch Hinzufügen von zwei Betas werden unterschiedliche Summen im Nenner angezeigt.

Das Problem ist also die Ableitung der Dichte von : da eine Änderung der Variablen führt zu und die Indikatorbeschränkungen sind Daher ist abschließend nämlich (1) und nicht der vorgeschlagene Ausdruck (2). $W=U+V$

(U, V) \sim 2 α β^{- 2} [u v]^{α - 1} I_{0 < u < v < β}

$(U,V) \sim 2\alpha \beta^{-2}[uv]^{\alpha-1}\,\mathbb{I}_{0<u<v<\beta}$

(Z, W) = (U, U + V)

$(Z,W)=(U,U+V)$

(Z, W) \sim 2 α β^{- 2} [z (w - z)]^{α - 1} I_{0 < z < w - z < β}

$(Z,W) \sim 2\alpha \beta^{-2}[z(w-z)]^{\alpha-1}\,\mathbb{I}_{0<z<w-z<\beta}$

0 < z 2 z < w z < β z > w - β 0 < w and w < 2 β

$0<z \quad 2z<w \quad z<\beta \quad z>w-\beta \quad 0<w \quad\text{and}\quad w<2\beta$

W \sim 2 α^{2} β^{- 2 α} \int_{max {0, w - β}}^{min {β, w / 2}} [z (w - z)]^{α - 1} d z I_{0 < w < 2 β}

$W\sim 2\alpha^2 \beta^{-2\alpha}\int_{\max\{0,w-\beta\}}^{\min\{\beta,w/2\}}[z(w-z)]^{\alpha-1}\,\text{d}z\,\mathbb{I}_{0<w<2\beta}$

— Xi'an
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Das war es, was ich gefragt habe, ob es mit (1) übereinstimmt oder nicht. Sie müssen wahrscheinlich auch die fehlenden Konstanten in und hinzufügen . Danke, kein Wunder, dass ich all diese seltsamen Ergebnisse erzielt habe.

(Z, W)

$(Z,W)$

(U, V)

$(U,V)$

— Hartnäckig