In welcher Beziehung steht die Bayes'sche Suffizienz zur häufig auftretenden Suffizienz?

9

Die einfachste Definition einer ausreichenden Statistik in der frequentistischen Perspektive findet sich hier in Wikipedia . Ich bin jedoch kürzlich in einem Bayes'schen Buch mit der Definition . In dem Link steht, dass beide gleichwertig sind, aber ich sehe nicht wie. Auf derselben Seite wird im Abschnitt «Andere Arten der Suffizienz» angegeben, dass beide Definitionen in unendlich dimensionalen Räumen nicht gleichwertig sind ... $P(\theta|x,t)=P(\theta|t)$

Wie hängt die prädiktive Suffizienz mit der klassischen Suffizienz zusammen?

bayesian mathematical-statistics sufficient-statistics

— Ein alter Mann im Meer.
quelle

4

Wenn eine Statistik ist ausreichend , um in der Art und Weise frequentistischen, dann , also $T$ $p(\mathbf{x} \mid \theta, t) = p(\mathbf{x} \mid t)$

\begin{aligned} p (θ ∣ x, t) & = \frac{p (x ∣ t, θ) p (t ∣ θ) p (θ)}{p (x ∣ t) p (t)} \\ (freq. suff.) & = \frac{p (t ∣ θ) p (θ)}{p (t)} \\ = p (θ ∣ t) . \end{aligned}

$\begin{align*} p(\theta \mid \mathbf{x}, t) &= \frac{p(\mathbf{x}\mid t,\theta)p(t \mid \theta) p(\theta)}{p(\mathbf{x}\mid t)p(t)} \\ &= \frac{p(t \mid \theta) p(\theta)}{p(t)} \tag{freq. suff.}\\ &= p(\theta \mid t). \end{align*}$

$T$

\begin{aligned} p (x ∣ θ, t) & = \frac{p (x, θ, t)}{p (θ, t)} \\ = \frac{p (θ ∣ x, t) p (x, t)}{p (θ ∣ t) p (t)} \\ (Bayesian suff.) & = \frac{p (x, t)}{p (t)} \\ = p (x ∣ t) . \end{aligned}

$\begin{align*} p(\mathbf{x} \mid \theta, t) &= \frac{p(\mathbf{x}, \theta,t)}{p(\theta,t)}\\ &= \frac{p(\theta \mid \mathbf{x},t) p(\mathbf{x},t)}{p(\theta\mid t)p(t)}\\ &= \frac{p(\mathbf{x},t)}{p(t)} \tag{Bayesian suff.}\\ &= p(\mathbf{x} \mid t). \end{align*}$

Was ist das in Bezug auf "prädiktive Suffizienz"?

\begin{aligned} p (x^{'} ∣ x) & = \int p (x^{'} ∣ θ) p (θ ∣ x) d θ \\ (Bayesian suff.) & = \int p (x^{'} ∣ θ) p (θ ∣ t) d θ \\ = p (x^{'} ∣ t) . \end{aligned}

$\begin{align*} p(\mathbf{x}' \mid \mathbf{x}) &= \int p(\mathbf{x}' \mid \theta)p(\theta \mid \mathbf{x}) d\theta\\ &= \int p(\mathbf{x}' \mid \theta) p(\theta \mid t)d\theta \tag{Bayesian suff.}\\ &= p(\mathbf{x}' \mid t). \end{align*}$

— Taylor
quelle

1

Taylor, es ist im selben Link definiert, direkt unten im Abschnitt über Bayesianische Suffizienz.

— Ein alter Mann im Meer.

3

Wir sind vor einigen Jahren auf ein interessantes Phänomen gestoßen , als wir die Wahl des Bayes'schen Modells mit ABC untersuchten. Was meiner Meinung nach mit dieser Frage zusammenhängt. Es gibt in der Tat einen Begriff der Hinlänglichkeit für die Wahl des Bayes'schen Modells, der außerhalb des Bayes'schen Ansatzes nicht besonders aussagekräftig erscheint.

M_{1} = {f_{θ} (\cdot); θ \in Θ}

$\mathfrak{M}_1=\{f_\theta(\cdot); \theta\in\Theta\}$

M_{2} = {g_{ξ} (\cdot); ξ \in Ξ}

$\mathfrak{M}_2=\{g_\xi(\cdot); \xi\in\Xi\}$

x = (x_{1}, \dots, x_{n})

$\mathbf{x}=(x_1,\ldots,x_n)$

S

$S$

X

$\mathbf{X}$

S (X)

$S(\mathbf{X})$

$\mathbf{X}$ $S(\mathbf{X})$

— Xi'an
quelle