Ist die Wahrscheinlichkeitstheorie das Studium nicht negativer Funktionen, die sich zu einer integrieren / summieren?

Dies ist wahrscheinlich eine dumme Frage, aber ist die Wahrscheinlichkeitstheorie das Studium von Funktionen, die sich zu einer integrieren / summieren?

BEARBEITEN. Ich habe die Nicht-Negativität vergessen. Ist die Wahrscheinlichkeitstheorie also das Studium nicht-negativer Funktionen, die sich zu einer integrieren / summieren?

Auf einer rein formalen Ebene könnte man die Wahrscheinlichkeitstheorie das Studium von Maßräumen mit dem Gesamtmaß eins nennen, aber das wäre wie das Studium von endenden Ziffernfolgen mit der Bezeichnung Zahlentheorie

- von Terry Taos Themen in der Zufallsmatrixtheorie .

Ich denke, das ist das wirklich Grundlegende. Wenn wir einen Wahrscheinlichkeitsraum und eine Zufallsvariable mit Pushforward-Maß , dann der Grund eine Dichte zu eins integriert, weil . Und das ist grundlegender als pdfs vs pmfs.X : Ω → R P X : = P ∘ X - 1 f = d P $(\Omega, \mathscr F, P)$$X : \Omega \to \mathbb R$$P_X := P \circ X^{-1}$ P(Ω)=$f = \frac{\text d P_X}{\text d\mu}$$P(\Omega) = 1$

Hier ist der Beweis:

Dies ist fast eine Umformulierung von AdamOs Antwort (+1), da alle CDFs càdlàg sind und eine Eins-zu-Eins-Beziehung zwischen der Menge der CDFs auf und der Menge aller Wahrscheinlichkeitsmaße auf , aber da die CDF eines Wohnmobils in Bezug auf seine Verteilung definiert ist, betrachte ich Wahrscheinlichkeitsräume als den Ort, um mit dieser Art von Bestrebungen "anzufangen". ( R , B$\mathbb R$$(\mathbb R, \mathbb B)$

Ich aktualisiere, um auf die Korrespondenz zwischen CDFs und Wahrscheinlichkeitsmaßen einzugehen und zu erläutern, wie beides sinnvolle Antworten auf diese Frage sind.

Wir beginnen mit zwei Wahrscheinlichkeitsmaßen und analysieren die entsprechenden CDFs. Wir schließen damit, dass wir stattdessen mit einem CDF beginnen und uns das dadurch induzierte Maß ansehen.

Sei und Wahrscheinlichkeitsmaße für und sei und ihre jeweilige CDF (dh und ähnlich für ). und würden beide Pushforward-Messungen von Zufallsvariablen (dh Verteilungen) darstellen, aber es ist eigentlich egal, woher sie kommen.R ( R , B ) , F Q F R F Q ( a ) = Q ( ( - ∞ , a ] ) R Q $Q$$R$$(\mathbb R, \mathbb B)$$F_Q$$F_R$$F_Q(a) = Q\left((-\infty, a]\right)$$R$$Q$$R$

Die Schlüsselidee ist folgende: Wenn und sich auf eine ausreichend große Menge von Mengen einigen, dann einigen sie sich auf die von diesen Mengen erzeugte Algebra. Wenn wir intuitiv eine gut erzogene Sammlung von Ereignissen haben, die durch eine zählbare Anzahl von Komplementen, Kreuzungen und Vereinigungen alle , dann lässt die Einigung auf all diese Mengen keinen Spielraum für Meinungsverschiedenheiten bei Borel einstellen.R σ $Q$$R$$\sigma$$\mathbb B$

Lassen Sie uns das formalisieren. Sei und sei , dh ist die Teilmenge von in der und übereinstimmen (und definiert sind). Beachten Sie, dass wir zulassen, dass sie sich auf Nicht-Borel-Mengen einigen, da wie definiert ist ‚t notwendigerweise eine Teilmenge von . Unser Ziel ist es zu zeigen , dass .L = { A ⊆ R : Q ( A ) = R ( A ) } L P ( R ) Q R L B B ⊆ $\mathscr S = \{(-\infty, a] : a \in \mathbb R\}$$\mathcal L = \{A \subseteq \mathbb R : Q(A) = R(A)\}$$\mathcal L$$\mathcal P(\mathbb R)$$Q$$R$$\mathcal L$$\mathbb B$$\mathbb B \subseteq \mathcal L$

Es stellt sich heraus, dass (die von erzeugte ) tatsächlich , daher hoffen wir, dass eine ausreichend große Sammlung von Ereignissen ist, wenn überall ist auf dann gezwungen, auf .σ S B S Q = R S $\sigma(\mathscr S)$$\sigma$$\mathscr S$$\mathbb B$$\mathscr S$$Q = R$$\mathscr S$$\mathbb B$

Beachten Sie, dass unter endlichen Schnittpunkten und unter komplementären und abzählbaren disjunkten Schnittpunkten geschlossen ist (dies folgt aus -additivity). Dies bedeutet, dass ein System und ein System ist . Durch die - Theorem haben wir daher , dass . Die Elemente vonL σ S π L & lgr; π & lgr; σ ( S ) = B ⊆ L S S Q R S B ∈ $\mathscr S$$\mathcal L$$\sigma$$\mathscr S$$\pi$$\mathcal L$$\lambda$$\pi$$\lambda$$\sigma(S) = \mathbb B \subseteq \mathcal L$$\mathscr S$sind bei weitem nicht so komplex wie eine beliebige Borel-Menge, aber weil jede Borel-Menge aus einer zählbaren Anzahl von Komplementen, Vereinigungen und Schnittpunkten von Elementen von , wenn es keine einzige Meinungsverschiedenheit zwischen und on gibt Elemente von dann befolgt, bis es zu keinen Meinungsverschiedenheiten bei .$\mathscr S$$Q$$R$$\mathscr S$$B \in \mathbb B$

Wir haben gerade gezeigt, dass, wenn dann (auf ), was bedeutet, dass die Karte von bis ist eine Injektion. Q = R B Q ↦ F Q P : = { P : P  ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß für  ( R , B ) } F : = { F : R → R : F  ist eine CDF $F_Q = F_R$$Q = R$$\mathbb B$$Q \mapsto F_Q$$\mathscr P := \{P : P \text { is a probability measure on } (\mathbb R, \mathbb B)\}$$\mathcal F := \{F : \mathbb R \to \mathbb R : F \text { is a CDF}\}$

Nun , wenn wir über das Gehen in die andere Richtung denken, wir wollen mit einem CDF starten und zeigen , dass es ein Wahrscheinlichkeitsmaß Q derart , daß F ( a ) = Q ( ( - ∞ , a ] ) . Dies wird etablieren dass unsere Abbildung Q ↦ F Q tatsächlich eine Bijektion ist. Für diese Richtung definieren wir F ohne Bezug auf Wahrscheinlichkeit oder Maße.$F$$Q$$F(a) = Q\left((-\infty, a]\right)$$Q \mapsto F_Q$$F$

Wir definieren zunächst eine Stieltjes-Messfunktion als eine Funktion so dass$G : \mathbb R \to \mathbb R$

1. nimmt nicht ab$G$
2. ist rechts stetig$G$

(und beachten Sie, wie aus dieser Definition folgt, dass càdlàg ist, aber wegen der zusätzlichen nicht abnehmenden Einschränkung sind "die meisten" càdlàg-Funktionen keine Stieltjes-Messfunktionen).

Es kann gezeigt werden , dass die jeweils Stieltjessche Funktion eine einzigartige Maßnahme induziert μ auf ( R , B ) definiert durch μ ( ( a , b ] ) = G ( b ) - G ( a ) (siehe zB Durrett die Wahrscheinlichkeit und Zufallsprozesse für Details dazu). Zum Beispiel wird das Lebesgue-Maß durch G ( x ) = x induziert .$G$$\mu$$(\mathbb R, \mathbb B)$

$F$lim x → ∞ F ( x ) : = F ( ∞ ) = 1 F Q ( R , B ) Q ( ( a , b ] ) = F ( b ) - F ( a ) $\lim_{x\to-\infty} F(x) := F(-\infty) = 0$$\lim_{x\to\infty} F(x) := F(\infty) = 1$$F$$Q$$(\mathbb R, \mathbb B)$

Man beachte, wie und , so ein Wahrscheinlichkeitsmaß ist , und ist genau das, was wir zu definieren verwendet würden , wenn man die andere Richtung ging.$Q\left((-\infty, a]\right) = F(a) - F(-\infty) = F(a)$$Q\left((-\infty, -\infty]\right) = F(\infty) - F(-\infty) = 1$$Q$$F$

Alle zusammen haben wir nun gesehen , dass die Abbildung 1-1 ist und auf , so dass wir wirklich eine Bijektion zwischen tun haben und . Wenn wir dies auf die eigentliche Frage zurückbringen, zeigt dies, dass wir entweder CDFs oder Wahrscheinlichkeitsmaße als unser Objekt, dessen Untersuchung wir für wahrscheinlich erklären (und gleichzeitig anerkennen, dass dies ein etwas scherzhaftes Unterfangen ist), gleichwertig hochhalten könnten. Ich persönlich bevorzuge immer noch Wahrscheinlichkeitsräume, weil ich der Meinung bin, dass die Theorie natürlicher in diese Richtung fließt, aber CDFs nicht "falsch" sind.$Q \mapsto F_Q$$\mathscr P$$\mathcal F$

Nein; Die Cantor-Distribution ist nur ein Gegenbeispiel. Es ist eine zufällige Variable, aber es hat keine Dichte. Es hat jedoch eine Verteilungsfunktion. Ich würde daher sagen, dass die Wahrscheinlichkeitstheorie die Untersuchung von càdlàg- Funktionen einschließlich des Cantor DF ist, die linke Grenzen von 0 und rechte Grenzen von 1 haben.

Ich bin mir sicher, dass Sie gute Antworten erhalten, aber wir werden Ihnen hier eine etwas andere Perspektive geben.

Sie haben vielleicht Mathematiker sagen hören, dass Physik so ziemlich Mathematik ist oder nur eine Anwendung der Mathematik auf die grundlegendsten Naturgesetze. Einige Mathematiker (viele?) Glauben tatsächlich, dass dies der Fall ist. Ich habe das immer und immer wieder in der Universität gehört. In dieser Hinsicht stellen Sie eine ähnliche Frage, wenn auch nicht so umfassend wie diese.

Der Physiker macht sich normalerweise nicht einmal die Mühe, auf diese Aussage zu antworten: Es ist ihnen zu offensichtlich, dass es nicht wahr ist. Wenn Sie jedoch versuchen zu antworten, wird deutlich, dass die Antwort nicht so trivial ist, wenn Sie sie überzeugen möchten.

Meine Antwort ist, dass die Physik nicht nur ein Bündel von Modellen, Gleichungen und Theorien ist. Es ist ein Bereich mit eigenen Ansätzen, Werkzeugen, Heuristiken und Denkweisen. Dies ist ein Grund, warum Poincare, obwohl er vor Einstein die Relativitätstheorie entwickelt hatte, nicht alle Implikationen erkannte und nicht versuchte, alle an Bord zu bringen. Einstein tat es, weil er Physiker war und sofort begriff, was es bedeutete. Ich bin kein Fan des Typen, aber seine Arbeit über Brownsche Bewegung ist ein weiteres Beispiel dafür, wie ein Physiker ein mathematisches Modell baut. Dieses Papier ist erstaunlich und voller Intuition und Denkspuren, die unverkennbar physikalisch sind.

Meine Antwort an Sie lautet also, dass selbst wenn es sich bei der Wahrscheinlichkeit um die Art von Funktionen handelt, die Sie beschrieben haben, es immer noch nicht die Untersuchung dieser Funktionen gewesen wäre. Es ist auch keine Maßtheorie, die auf eine Unterklasse von Maßeinheiten angewendet wird. Die Wahrscheinlichkeitstheorie ist das spezielle Gebiet, in dem Wahrscheinlichkeiten untersucht werden. Sie ist durch radioaktiven Zerfall, Quantenmechanik und Gase usw. mit einer natürlichen Welt verbunden. Wenn bestimmte Funktionen geeignet scheinen, Wahrscheinlichkeiten zu modellieren, werden sie verwendet und untersucht Eigenschaften auch, aber dabei werden wir den Hauptpreis im Auge behalten - die Wahrscheinlichkeiten.

Nun, teilweise wahr, es fehlt eine zweite Bedingung. Negative Wahrscheinlichkeiten machen keinen Sinn. Daher müssen diese Funktionen zwei Bedingungen erfüllen:

• Kontinuierliche Verteilungen:

  $$\int_{\mathcal{D}}f(x) dx = 1 \quad \text{and} \quad f(x)>0 \; \forall x \in \mathcal{D}$$

• Diskrete Verteilungen:

  $$\sum_{x \in \mathcal{D}}P(x) = 1 \quad \text{and} \quad 0<P(x) \leq 1 \; \forall x \in \mathcal{D}$$

Wobei die Domäne ist, in der die Wahrscheinlichkeitsverteilung definiert ist.$\mathcal{D}$

Ich würde nein sagen, das ist im Grunde nicht die Wahrscheinlichkeitstheorie, aber ich würde es aus anderen Gründen sagen als die anderen Antworten.

Grundsätzlich würde ich sagen, dass die Wahrscheinlichkeitstheorie das Studium zweier Dinge ist:

1. Stochastische Prozesse und

2. Bayesianische Folgerung.

Zu den stochastischen Prozessen gehören Dinge wie das Würfeln, das Ziehen von Bällen aus Urnen usw. sowie die komplexeren Modelle in Physik und Mathematik. Bayes'sche Inferenz argumentiert unter Unsicherheit und verwendet Wahrscheinlichkeiten, um den Wert unbekannter Größen darzustellen.

Diese beiden Dinge sind enger miteinander verbunden, als sie auf den ersten Blick erscheinen könnten. Ein Grund, warum wir sie unter einem Dach untersuchen können, ist, dass wichtige Aspekte von beiden als nicht negative Funktionen dargestellt werden können, die sich zu einer summieren / integrieren. Die Wahrscheinlichkeit ist jedoch nicht nur das Studium dieser Funktionen - ihre Interpretation in Bezug auf zufällige Prozesse und Folgerungen ist auch ein wichtiger Teil davon.

Die Wahrscheinlichkeitstheorie umfasst beispielsweise Konzepte wie bedingte Wahrscheinlichkeiten und Zufallsvariablen sowie Größen wie die Entropie, die gegenseitige Information und die Erwartung und Varianz von Zufallsvariablen. Während man könnte diese Dinge rein in Bezug auf die normalisierte nicht negative Funktionen definieren, scheint die Motivation für diese ziemlich komisch ohne die Interpretation im Hinblick auf die Zufallsprozesse und Inferenz.

Darüber hinaus stößt man manchmal auf wahrscheinlichkeitstheoretische Konzepte, insbesondere auf der Inferenzseite, die sich nicht mit einer auf eins normierenden nicht-negativen Funktion ausdrücken lassen. Hier kommen die sogenannten "unsachgemäßen Vorgesetzten" in den Sinn, und AdamO nannte die Cantor-Verteilung als ein weiteres Beispiel.

Es gibt sicherlich Bereiche der Wahrscheinlichkeitstheorie, in denen die mathematischen Eigenschaften normalisierter nicht negativer Funktionen im Vordergrund stehen und für die die beiden genannten Anwendungsbereiche keine Rolle spielen. Wenn dies der Fall ist, nennen wir es oft eher Maßtheorie als Wahrscheinlichkeitstheorie. Aber die Wahrscheinlichkeitstheorie ist auch - ich würde sagen meistens - ein angewandtes Feld, und die Anwendungen von Wahrscheinlichkeitsverteilungen sind an sich eine nicht triviale Komponente des Feldes.