Folgen Zufallsvariablen denselben algebraischen Regeln wie gewöhnliche Zahlen?

In den Kommentaren zu meiner Antwort auf eine kürzlich gestellte Frage zur Summe der Zufallsvariablen stieß ich auf einen Link zum Wikipedia-Artikel über die Verhältnisverteilung und bemerkte dort die folgende besondere Behauptung:

Die mit gewöhnlichen Zahlen bekannten algebraischen Regeln gelten nicht für die Algebra von Zufallsvariablen. Wenn beispielsweise ein Produkt und ein Verhältnis , bedeutet dies nicht unbedingt, dass die Verteilungen von und sind. $C = AB$ $D=C/A$ $D$ $B$

Diese Behauptung ist seit 2007 im Artikel enthalten . Es wurde dort von demselben scheinbar seriösen Herausgeber hinzugefügt, der den Artikel ursprünglich erstellt und einen Großteil seines ursprünglichen und aktuellen Inhalts beigesteuert hat, und es wird anscheinend in dem 1979 veröffentlichten Buch Die Algebra zufälliger Variablen von Melvin D. Springer zitiert (obwohl dies der Fall ist) nicht 100% klar, ob der später im selben Absatz erscheinende Zitiermarker tatsächlich auch diesen Anspruch abdecken soll).

Offensichtlich scheint mir die Behauptung Unsinn zu sein. Ich könnte es einfach aus dem Wikipedia-Artikel heraus bearbeiten, aber da es dort seit über 10 Jahren unangefochten ist, dachte ich mir, ich sollte sicherstellen , dass ich nicht derjenige bin, der sich hier irrt. Da ich Springers Buch nicht zur Hand hatte, um das (mögliche) Zitat zu überprüfen, dachte ich, ich würde die Experten hier um Hilfe bitten. Insbesondere, da der angegebene Anspruch tatsächlich aus zwei Teilen besteht, gilt auch meine Frage:

Teil 1: Folgen Zufallsvariablen denselben algebraischen Regeln wie gewöhnliche Zahlen oder nicht (in gewissem Sinne)? Wenn nicht, wie unterscheiden sich die Regeln? Kommt es darauf an, welchen (allgemein akzeptierten) Formalismus man annimmt?

Teil 2: Es ist klar, dass auch für gewöhnliche Zahlen ist nicht immer gleich, danicht einmal definiert ist, wenn. Ist dieser triviale Unterschied dereinzigeWeg, auf demundnicht gleich sein können, selbst wenn es sich um Zufallsvariablen handelt? Insbesondere gilt die folgende Aussage immer für (reelle oder komplexwertige) Zufallsvariablen: $D = \frac{AB}{A}$ $B$ $D$ $A = 0$ $D$ $B$

A \neq 0 ⟹ \frac{A B}{A} = B .

$A \ne 0 \implies \frac{AB}{A} = B.$

Teil 3 (Bonus): Was sagt Springers Buch tatsächlich dazu, und gibt es irgendetwas darin, das in gewisser Weise zur Unterstützung der oben zitierten Behauptung herangezogen werden könnte? Wird es, wie ich annehmen würde, tatsächlich als verlässliche Quelle für Behauptungen über die gängige Mathematik und Statistik angesehen?

— Ilmari Karonen
quelle

a b / b = a

$ab/b = a$

B

$B$

B (ω) \neq 0

$B(\omega) \neq 0$

ω

$\omega$

A B / B

$AB/B$

B

$B$

Ω

$\Omega$ in welche Menge auch immer (die Reals, wenn Sie diese Art von Algebra in einer natürlichen Umgebung damit machen wollen) ... Auch: Was genau meinen Sie mit

? für alle

? Nur für einige? ...

A \neq 0

$A \neq 0$

ω

$\omega$

— Fabian Werner

(+1) Die Sprache in diesem Wikipedia-Artikel ist schlecht, aber ihre Absicht ist klar: Es bedeutet, die Algebra der Verteilungen zu diskutieren , nicht Zufallsvariablen an sich. Wenn Sie es bearbeiten möchten, sollten Sie die Sprache klären, ohne die Idee zu ändern, die vermittelt werden soll.

— whuber

(ω)

$(\omega)$

A (ω)

$A(\omega)$

A

$A$

B

$B$

Ω

$\Omega$

Die Algebra der Zufallsvariablen (ARV) ist eine Erweiterung der üblichen Zahlenalgebra "High School Algebra". Dies muss so sein, da Zahlen als rv gleich einer Konstanten mit Wahrscheinlichkeit 1 in den ARV eingebettet werden können. Es kann also keine Inkonsistenz geben, aber es können durchaus neue Eigenschaften sein, die nichts über Zahlen aussagen. In der ARV ist Gleichheit Gleichheit in der Verteilung , also ist es wirklich eine Algebra der Verteilungen. Für die Konstante von rv mit der Wahrscheinlichkeit 1 ist dies jedoch eine Erweiterung der Gleichheit der Zahlen im üblichen Sinne.

$X$ $X^{-1}$ $-1$ $X$ $X$ $1/X$

— kjetil b halvorsen
quelle