Die Grenze der Beta-Binomialverteilung ist Binomial

Ich versuche die Beziehung zwischen dem Beta-Binomial und der Binomialverteilung zu verstehen. Insbesondere versuche ich zu zeigen, dass die Grenze der Beta-Binomialverteilung mit binomial ist, wenn gegen unendlich geht. Ich habe Probleme, es zu zeigen. Alle nützlichen Hinweise wären sehr hilfreich. $p=a/(a+b)$ $a+b$

Aus diesem Grund glaube ich, dass ich die Grenze der Funktion , wenn ins Unendliche geht. Existiert das? Nach einer Antwort unten existiert dies nicht. Ich zögere auch, die MGF zu verwenden, da sie böse erscheint. $\text{beta}(a,b)$ $a+b$

distributions beta-distribution beta-binomial

— DanRoDuq
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Der MGF (oder besser der CF) ist nicht so böse, wie es scheinen mag: Es ist eine hypergeometrische Funktion, was bedeutet, dass seine Potenzreihen eine schöne Form haben. Sie können jedoch einfach Stirlings Näherung auf die Gamma-Funktion anwenden, um direkt zu zeigen, dass die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion gegen die Binomialverteilung konvergiert.

— whuber

Ich versuche es mit der Formel von Sterling. Für B (a, b) scheine ich etwas Vernünftiges zu bekommen. Für B (k + a, n-k + b) sehe ich jedoch nicht, wie dies hilft.

— DanRoDuq

Es gibt mindestens zwei Möglichkeiten, dies zu sehen.

Die Urneninterpretation der Verteilung kann gezeigt werden

Die Beta-Binomialverteilung kann auch über ein Urnenmodell für positive ganzzahlige Werte von und motiviert werden , das als Polya-Urnenmodell bekannt ist. Stellen Sie sich insbesondere eine Urne mit roten und schwarzen Kugeln vor, in der zufällige Ziehungen vorgenommen werden. Wenn eine rote Kugel beobachtet wird, werden zwei rote Kugeln in die Urne zurückgebracht. Wenn eine schwarze Kugel gezogen wird, werden ebenfalls zwei schwarze Kugeln in die Urne zurückgebracht. Wenn dies mal wiederholt wird, folgt die Wahrscheinlichkeit, k rote Kugeln zu beobachten, einer Beta-Binomialverteilung mit den Parametern , und . $\alpha$ $\beta$ $\alpha$ $\beta$ $n$ $n$ $\alpha$ $\beta$

Wenn jedoch im Vergleich zur Anzahl der Bälle in der Urne vernachlässigbar ist, macht das Hinzufügen einiger Bälle zu den Urnen für die nächste Ziehung einen vernachlässigbaren Unterschied. Daraus folgt, dass die Verteilung einfach die des Zeichnens mit Ersetzung ist, was binomisch ist. $n$

Aus algebraischer Sicht ist die Verteilung

(\binom{n}{k}) \frac{B (k + α, n - k + β)}{B (α, β)} .

${n \choose k} \frac{B(k + \alpha, n - k + \beta)}{B(\alpha, \beta)} .$

Durch die Eigenschaften der Beta-Funktion

B (x + 1, y) = B (x, y) \frac{x}{x + y}, B (x, y + 1) = B (x, y) \frac{y}{x + y}

$B(x + 1, y) = B(x, y) \frac{x}{x + y}, \\ B(x, y + 1) = B(x, y) \frac{y}{x + y}$

Speziell,

B (i + α, n - k + β) = B (i - 1 + α, n - k + β) \frac{i - 1 + α}{i - 1 + n - k + α + β},

$B(i + \alpha, n - k + \beta) = B(i - 1 + \alpha, n - k + \beta) \frac{i - 1 + \alpha}{i - 1 + n - k + \alpha + \beta},$

und für großes unter Berücksichtigung der Taylor-Reihe von : $\alpha, \beta$ $\frac{1}{1 + x}$

\frac{i - 1 + α}{i - 1 + n - k + α + β} = \frac{i - 1 + α}{α} \frac{α}{(α + β) (1 + \frac{i - 1 + n - k}{α + β})} \sim \frac{i - 1 + α}{α} \frac{α}{(α + β)} (1 - \frac{i - 1 + n - k}{α + β}) \sim \frac{α}{(α + β)} .

$\frac{i - 1 + \alpha}{i - 1 + n - k + \alpha + \beta} = \frac{i - 1 + \alpha}{\alpha} \frac{\alpha}{(\alpha + \beta) \left(1 + \frac{i - 1 + n - k}{\alpha + \beta}\right)} \sim \frac{i - 1 + \alpha}{\alpha} \frac{\alpha}{(\alpha + \beta)} \left(1 - \frac{i - 1 + n - k}{\alpha + \beta}\right) \sim \frac{\alpha}{(\alpha + \beta)} .$

Fortsetzung dieser,

\frac{B (k + α, n - k + β)}{B (α, β)} \sim \frac{B (α, β)}{B (α, β)} {(\frac{α}{α + β})}^{k} {(\frac{β}{α + β})}^{n - k},

$\frac{B(k + \alpha, n - k + \beta)}{B(\alpha, \beta)} \sim \frac{B(\alpha, \beta)}{B(\alpha, \beta)} \left( \frac{\alpha}{\alpha + \beta}\right)^k \left( \frac{\beta}{\alpha + \beta} \right)^{n - k} ,$ und Die Verteilung ist ungefähr binomisch.

— Ami Tavory
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Ich glaube, ich habe ein Problem damit. Obwohl für große er große die obige Annäherung intuitiv sinnvoll ist, sollten wir für die Konvergenzgrenze die Bedingung haben, dass . In diesem Sinne habe ich Probleme, die letzte Annäherung formal zu rechtfertigen. Wie kann ich zum Beispiel zeigen, dass zu p tendiert?

α

$\alpha$

β

$\beta$

p = α / (α + β)

$p=\alpha/(\alpha+\beta)$

(α + k) / (α + k + β)

$(\alpha+k)/(\alpha+k+\beta)$

— DanRoDuq

@DanRoDuq Ich habe dies in der Antwort etwas erweitert.

— Ami Tavory