Trigonometrische Operationen an Standardabweichungen

Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division normaler Zufallsvariablen sind gut definiert, aber was ist mit trigonometrischen Operationen?

Nehmen wir zum Beispiel an, ich versuche, den Winkel eines dreieckigen Keils (modelliert als rechtwinkliges Dreieck) mit den beiden Katheten mit den Dimensionen $d_1$ und $d_2$ , die beide als Normalverteilungen beschrieben werden.

Sowohl Intuition als auch Simulation sagen mir, dass die resultierende Verteilung normal ist, mit mittlerem $\arctan\left(\frac{\text{mean}(d_1)}{\text{mean}(d_2)}\right)$ . Aber gibt es eine Möglichkeit, die Verteilung des resultierenden Winkels zu berechnen? Referenzen, wo ich die Antwort finden würde?

(Für ein bisschen Kontext arbeite ich an der statistischen Toleranz von mechanischen Teilen. Mein erster Impuls wäre, einfach den gesamten Prozess zu simulieren, zu überprüfen, ob das Endergebnis einigermaßen normal ist, und die Standardabweichung zu berechnen. Aber ich frage mich wenn es einen ordentlicheren analytischen Ansatz geben könnte.)

— Bossykena
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Können Sie bestätigen, dass (a) d1 und d2 die Seitenlängen (und nicht die Winkel) sind? (b) Sie nehmen an, dass der Winkel zwischen ihnen ein rechter Winkel ist (andernfalls ist die atan-Formel verdächtig); und (c) dass Sie an der Verteilung eines der anderen Winkel dieses rechtwinkligen Dreiecks interessiert sind? Vermutlich ist auch die SD jeder Längenverteilung viel kleiner als erwartet, da das Dreieck keine nennenswerte Wahrscheinlichkeit für eine negative Seitenlänge haben sollte :-).

— whuber

Genau. Ich habe das Problem umformuliert, um es ein bisschen klarer zu machen. Und ja, die SD wird im Verhältnis zu den Abmessungen klein sein.

— Bossykena

Mithilfe von Formeln zur Multiplikation und Addition können Sie die Taylor-Erweiterung ausprobieren.

Vielen Dank für Ihre beiden hervorragenden Antworten, die (soweit ich mit meiner eingeschränkten Statistikkenntnis einschätzen kann) sowohl intuitiv als auch fundiert sind.

— Bossykena

Antworten:

In dieser Interpretation ist das Dreieck ein rechtwinkliges Dreieck mit den Seitenlängen und die binormal verteilt sind, mit den Erwartungen und , den Standardabweichungen und und der Korrelation . Wir suchen die Verteilung von . Zu diesem Zweck standardisieren Sie und so, dass $X$ $Y$ $\mu_x$ $\mu_y$ $\sigma_x$ $\sigma_y$ $\rho$ $\arctan(Y/X)$ $X$ $Y$

und

X = σ_{x} ξ + μ_{x}

$X = \sigma_x \xi + \mu_x$

Y = σ_{y} η + μ_{y}

$Y = \sigma_y \eta + \mu_y$

mit und ändert sich die Normale mit der Korrelation . Sei ein Winkel und schreibe der . Dann $\xi$ $\eta$ $\rho$ $\theta$ $q = \tan(\theta)$

P [\arctan (Y / X) \leq θ] = P [Y \leq q X]

$\mathbb{P}[\arctan(Y/X) \le \theta] = \mathbb{P}[Y \le q X]$

= P [σ_{y} η + μ_{y} \leq q (σ_{x} ξ + μ_{x})

$=\mathbb{P}[\sigma_y \eta + \mu_y \le q \left( \sigma_x \xi + \mu_x \right)$

= P [σ_{y} η - q σ_{x} ξ \leq q μ_{x} - μ_{y}]

$=\mathbb{P}[\sigma_y \eta - q \sigma_x \xi \le q \mu_x - \mu_y]$

Die linke Seite ist eine lineare Kombination von Normals ist, normal ist , mit einem Mittelwert und die Varianz . $\mu_y \sigma_y - q \mu_x \sigma_x$ $\sigma_y^2 + q^2 \sigma_x^2 - 2 q \rho \sigma_x \sigma_y$

Die Differenzierung der Normalen cdf dieser Parameter in Bezug auf ergibt die pdf des Winkels. Der Ausdruck ist ziemlich grausam, aber ein wesentlicher Teil davon ist das Exponential $\theta$

\exp (- \frac{(μ_{y} (σ_{y} + 1) - μ_{x} (σ_{x} + 1) \tan (θ))^{2}}{2 (- 2 ρ σ_{x} σ_{y} \tan (θ) + σ_{x}^{2} + σ_{y}^{2} + \tan^{2} (θ))}),

$\exp \left(-\frac{\left(\mu _y \left(\sigma _y+1\right)-\mu _x \left(\sigma _x+1\right) \tan (\theta )\right){}^2}{2 \left(-2 \rho \sigma _x \sigma _y \tan (\theta )+\sigma _x^2+\sigma _y^2+\tan ^2(\theta )\right)}\right),$

sofort zeigen, dass der Winkel nicht normal verteilt ist. Wie Ihre Simulationen und Ihre Intuition zeigen, sollte dies jedoch annähernd normal sein, vorausgesetzt, die Abweichungen der Seitenlängen sind im Vergleich zu den Längen selbst gering. In diesem Fall sollte eine Sattelpunktnäherung gute Ergebnisse für bestimmte Werte von , , , und liefern , obwohl eine geschlossene allgemeine Lösung nicht verfügbar ist. Die ungefähre Standardabweichung fällt sofort ab, wenn die zweite Ableitung (in Bezug auf $\mu_x$ $\mu_y$ $\sigma_x$ $\sigma_y$ $\rho$ $\theta$ ) des Logarithmus des pdf (wie in den Gleichungen (2.6) und (3.1) der Referenz gezeigt). Ich empfehle dazu ein Computeralgebrasystem (wie MatLab oder Mathematica)!

— whuber
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Es gab nie eine Chance, dass es normal verteilt wurde. Es ist ein Winkel! Es werden nur Werte für

[- π, π)

$[-\pi, \pi)$

— Robby McKilliam

P (Y / X

q) = P (Y

qX) ist nicht korrekt, wenn X ein normales rv ist - X kann auch negativ sein.

\leq

$\le$

\leq

$\le$

— Ronaf

@ronaf: Da

und

die Seitenlängen eines physischen Dreiecks sind, sollten wir kein negatives

X

$X$

Y

$Y$

X

$X$

— Shabbychef

@ronaf: Das ist die richtige Idee. Verwendet man vorzeichenbehaftete Seitenlängen und betrachtet den Winkel auch als reellen Wert (statt dessen Wert modulo

), so gibt es in beiden Fällen keine Inkonsistenz mit der Normalität. Ihr Standpunkt, dass die Ungleichung möglicherweise falsch ist, ist ausgezeichnet. Alles, was ich als Antwort tun kann, ist zu behaupten, dass die Gleichung eine ausgezeichnete Annäherung unter den getroffenen Annahmen ist, da die Wahrscheinlichkeit, dass X oder Y negativ sind, vernachlässigbar ist.

2 π

$2\pi$

— Whuber

@YBE Ich stimme zu, dass das letzte "+" in meinem Ausdruck nicht dazu gehört - es ist möglicherweise eingedrungen, als ich das TeX-Markup bereinigt habe. Ich habe keine Referenz, weil ich das Derivat selbst berechnet habe.

— whuber

Es handelt sich um Zirkelstatistiken und insbesondere um eine Zirkelverteilung, die als projizierte Normalverteilung bezeichnet wird .

Aus irgendeinem Grund ist dieses Thema etwas schwer zu googeln, aber die beiden Haupttexte zur Kreisstatistik sind Die statistische Analyse von Kreisdaten nach Fisher und Richtungsstatistik nach Mardia und Jupp.

Eine gründliche Analyse der projizierten Normalverteilung finden Sie auf Seite 46 von Mardia und Jupp. Es gibt geschlossene Ausdrücke (bis auf das Fehlerfunktionsintegral) für die Verteilung, und wie wir bereits vermutet haben, sieht sie ähnlich aus wie normal, wenn ihre "Varianz" (Vorsicht hier, was bedeutet Varianz für eine Zufallsvariable auf einem Kreis? !) ist klein, dh wenn die Verteilung auf einen Punkt (oder Richtung oder Winkel) konzentriert ist.

— Robby McKilliam
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