Die Summe der linearen Kombination des Produkts der Exponentiale ist exponentiell

Dieses Problem ist in meiner Forschung aufgetreten: Nehmen wir an, dass iid Exponentialverteilungen (ED) mit dem Mittelwert und eine nichtnegative Zahl sei. Stimmt es, dass $V_i \sim \text{ED}$ $1$ $\lambda$ Dies besteht die Überprüfung der geistigen Gesundheit, da der erwartete Wert beider Seiten gleichist und wenn wir, dann ist die linke Seite gleich, was exponentiell ist. Abgesehen davon bin ich mir nicht sicher, wie ich dieses Problem angehen soll, da ich nicht weiß, wie ich mit dem Produkt von ED umgehen soll.

\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{λ^{k} e^{- λ} V_{0} \dots V_{k}}{k!} \sim ED ?

$\sum_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda^k e^{-\lambda}V_{0} \cdots V_k}{k!} \sim \text{ED}?$

1

$1$

λ = 0

$\lambda = 0$

V_{0}

$V_0$

— Alex
quelle

Wie garantieren Sie, dass dies eine wahre Aussage ist?

— Zhanxiong

@ Zhanxiong Ich bin nicht ganz sicher, ob es wahr ist, weshalb ich frage, ob jemand einen Beweis liefern kann (oder ihn widerlegen kann, wenn es falsch ist.)

— Alex

ok, dann solltest du vermeiden, "beweise das" zu verwenden

— Zhanxiong

Mein schlechtes, ich habe die Frage bearbeitet.

— Alex

λ

$\lambda$

$K+1$ $K$ $\lambda$

set.seed(7*11*13)
N <- 1000000

prods <- rep(0, N)
ks <- rpois(N, 1)+1

for (i in 1:N) {
    k  <-  ks[i]
    prods[i]  <-  prod( rexp(k, 1))
}

qqplot( qexp(ppoints(N)), prods)

qqplot $V_0$

M_{1} (s) = E V_{0}^{s} = \int_{0}^{\infty} x^{s} e^{- x} d x = Γ (s + 1)

$\DeclareMathOperator{\E}{\mathbb{E}} M_1(s) = \E V_0^s = \int_0^\infty x^s e^{-x}\; dx = \Gamma(s+1)$

k + 1

$k+1$

M_{k + 1} (s) = Γ (s + 1)^{k + 1}

$M_{k+1}(s) = \Gamma(s+1)^{k+1}$

K

$K$

λ

$\lambda$

K + 1

$K+1$

M (s) = E M_{K + 1} (s) = E Γ (s + 1)^{K + 1} = Γ (s + 1) e^{- λ} \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{λ^{k}}{k!} Γ (s + 1)^{k} = e^{- λ} Γ (s + 1) e^{λ Γ (s + 1)}

$M(s) = \E M_{K+1}(s) = \E \Gamma(s+1)^{K+1}= \Gamma(s+1)e^{-\lambda}\sum_{k=0}^\infty \frac{\lambda^k}{k!}\Gamma(s+1)^k=e^{-\lambda}\Gamma(s+1) e^{\lambda \Gamma(s+1)}$

X

$X$

M_{X} (t)

$M_X(t)$

Y = \log X

$Y=\log X$

K_{Y} (t) = E e^{t Y} = E e^{t \log X} = E e^{\log (X^{t})} = E X^{t} = M_{X} (y)

$K_Y(t)=\E e^{tY} = \E e^{t\log X}=\E e^{\log (X^t)}=\E X^t =M_X(y)$

X

$X$

Y

$Y$

X

$X$

— kjetil b halvorsen
quelle

(+1) Auch das Produkt zweier Exponentiale hat keine geschlossene Formdichte.

— Xi'an

Es gab einen Beitrag in SE, der zeigte, dass ein Produkt aus drei Exponentialen keine Momente oder

— ähnliches hat

Danke kjetil. Ich war mir ziemlich sicher, dass die Antwort auch nein war, aber das sind ziemlich gute Gründe dafür.

— Alex

k

$k$

V_{0} \dots V_{k}

$V_0\cdots V_k$