Die Frage (leicht modifiziert) lautet wie folgt und falls Sie sie noch nie zuvor gestellt haben, können Sie sie in Beispiel 6a, Kapitel 2, von Sheldon Ross ' A First Course in Probability überprüfen :

Angenommen, wir besitzen eine unendlich große Urne und eine unendliche Sammlung von Kugeln, die mit Kugel Nummer 1, Nummer 2, Nummer 3 usw. beschriftet sind. Betrachten Sie ein Experiment, das wie folgt durchgeführt wird: Um 1 Minute bis 12 Uhr werden die Kugeln mit den Nummern 1 bis 10 in die Urne gelegt und eine Kugel nach dem Zufallsprinzip entfernt. (Nehmen wir an, dass der Rückzug keine Zeit in Anspruch nimmt.) Um 1/2 Minute bis 12 Uhr werden die Kugeln mit den Nummern 11 bis 20 in die Urne gelegt und eine weitere Kugel nach dem Zufallsprinzip entfernt. Bei 1/4 Minute bis 12 Uhr werden die Kugeln mit den Nummern 21 bis 30 in die Urne gelegt und eine weitere Kugel nach dem Zufallsprinzip entfernt ... und so weiter. Die Frage des Interesses ist: Wie viele Bälle sind um 12 Uhr in der Urne?

Diese Frage, wie sie gestellt wird, zwingt im Grunde jeden, etwas falsch zu machen - normalerweise heißt es, dass es um 12 Uhr unendlich viele Bälle geben wird. Die Antwort von Ross ist jedoch, dass die Urne mit der Wahrscheinlichkeit eins leer sein wird um 12 Uhr

Beim Unterrichten der Wahrscheinlichkeitstheorie ist dieses Problem eines der Probleme, für die es sehr schwierig ist, eine gute intuitive Erklärung zu geben.

Einerseits könnten Sie versuchen, es so zu erklären: "Denken Sie an die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ball um 12 Uhr auf der Urne liegt. Während der unendlichen Zufallsziehung wird er schließlich entfernt. Da dies für alle Bälle gilt, gilt keiner von ihnen können am Ende da sein ".

Die Schüler werden jedoch korrekterweise mit Ihnen argumentieren: "Aber ich lege jeweils 10 Bälle und entferne 1 Ball. Es ist unmöglich, dass am Ende null Bälle stehen."

Was ist die beste Erklärung, die wir ihnen geben können, um diese widersprüchlichen Anschauungen zu lösen?

Ich bin auch offen für das Argument, dass die Frage schlecht gestellt ist und dass das "Paradoxon" verschwindet, wenn wir es besser formulieren, oder für das Argument, dass das Paradoxon "rein mathematisch" ist (aber versuchen Sie bitte, es genau zu formulieren).

Ross beschreibt drei Versionen dieses "Paradoxons" in Beispiel 6a in seinem Lehrbuch . In jeder Version werden der Urne 10 Bälle hinzugefügt und 1 Ball wird bei jedem Schritt des Verfahrens entfernt.

1. In der ersten Version wird die te Kugel im ten Schritt entfernt. Es sind unendlich viele Bälle nach Mitternacht übrig, weil alle Bälle mit Zahlen, die nicht auf Null enden, noch drin sind.$10n$$n$

2. In der zweiten Version wird die te Kugel im ten Schritt entfernt. Nach Mitternacht sind keine Bälle mehr übrig, da jeder Ball im entsprechenden Schritt entfernt wird.$n$$n$

3. In der dritten Version werden die Kugeln gleichmäßig nach dem Zufallsprinzip entfernt. Ross berechnet die Wahrscheinlichkeit, dass jeder Ball durch Schritt entfernt wird, und stellt fest, dass er als gegen konvergiert (beachte, dass dies nicht offensichtlich ist! Man muss die Berechnung tatsächlich durchführen). Dies bedeutet, dass durch die Ungleichung von Boole die Wahrscheinlichkeit, dass am Ende keine Bälle mehr vorhanden sind, ebenfalls beträgt .1 n → ∞ $n$$1$$n\to\infty$$1$

Sie sagen, dass diese letzte Schlussfolgerung nicht intuitiv und schwer zu erklären ist; Dies wird wunderbar durch viele verwirrte Antworten und Kommentare in diesem Thread unterstützt. Das Fazit der zweiten Version ist jedoch genauso wenig intuitiv! Und es hat absolut nichts mit Wahrscheinlichkeit oder Statistik zu tun. Ich denke, nachdem man die zweite Version akzeptiert hat, ist die dritte Version nicht mehr besonders überraschend.

Während es sich also bei der "probabilistischen" Diskussion um die dritte Version handeln muss [siehe sehr aufschlussreiche Antworten von @ paw88789, @Paul und @ekvall], sollte sich die "philosophische" Diskussion eher auf die zweite Version konzentrieren, die viel einfacher und in ähnlicher Weise ist Geist zum Hilbert's Hotel .

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Die zweite Version ist als Ross-Littlewood-Paradoxon bekannt . Ich verlinke auf die Wikipedia-Seite, aber die Diskussion dort ist schrecklich verwirrend und ich empfehle, sie überhaupt nicht zu lesen. Schauen Sie sich stattdessen diesen MathOverflow-Thread von vor Jahren an . Es ist inzwischen geschlossen, enthält aber einige sehr einfühlsame Antworten. Eine kurze Zusammenfassung der Antworten, die ich am wichtigsten finde, ist wie folgt.

Wir können eine Menge der Kugeln definieren, die in der Urne nach Schritt . Wir haben , usw. Es gibt einen mathematisch gut definierten Begriff für die Grenze einer Folge von Mengen, den man streng beweisen kann dass die Grenze dieser Sequenz existiert und die leere Menge . In der Tat, welche Bälle können im Limit gesetzt werden? Nur die, die niemals entfernt werden. Aber jeder Ball wird irgendwann entfernt. Das Limit ist also leer. Wir können schreiben . n S 1 = { 2 , … 10 } S 2 = { 3 , … 20 } ∅ S n → $S_n$$n$$S_1=\{2,\ldots 10\}$$S_2=\{3,\ldots 20\}$$\varnothing$$S_n \to \varnothing$

Gleichzeitig ist die Zahlder Kugeln in der Menge , die auch als Kardinalität dieser Menge bezeichnet wird, ist gleich . Die Sequenz ist offensichtlich divergierend, was bedeutet, dass die Kardinalität gegen die Kardinalität von konvergiert , auch bekannt als aleph-zero . Wir können also schreiben .S n 10 n - n = 9 n 9 n N ≤ 0 | S n | → ℵ $|S_n|$$S_n$$10n-n=9n$$9n$$\mathbb N$ $\aleph_0$$|S_n|\to \aleph_0$

Das "Paradox" ist nun, dass diese beiden Aussagen sich zu widersprechen scheinen:

$$\begin{align} S_n &\to \varnothing \\ |S_n| &\to \aleph_0 \ne 0 \end{align}$$

Aber natürlich gibt es kein wirkliches Paradoxon und keinen Widerspruch. Niemand hat behauptet, Kardinalität sei eine "kontinuierliche" Operation für Mengen, daher können wir sie nicht mit dem Limit austauschen:Mit anderen Worten, aus der Tatsache, dass für alle ganzen , können wir nicht schließen, dass(der Wert an der ersten Ordnungszahl ) ist gleich . Stattdessenmuss direkt berechnet werden und stellt sich als Null heraus.

$$\lim |S_n| \ne |\lim S_n|.$$ n ≤ N | S ω | ∞ | S ω $|S_n|=9n$$n\in \mathbb N$$|S_\omega|$$\infty$$|S_\omega|$

Daraus ergibt sich meiner Meinung nach die Schlussfolgerung, dass das Nehmen von Kardinalitäten eine diskontinuierliche Operation ist ... [@HarryAltman]

Ich denke, dieses Paradoxon ist nur die menschliche Tendenz anzunehmen, dass "einfache" Operationen kontinuierlich sind. [@NateEldredge]

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Dies ist einfacher mit Funktionen anstelle von Mengen zu verstehen. Man betrachte eine charakteristische (auch als Indikator bezeichnete) Funktion der Menge die definiert ist, um im Intervall gleich eins zu sein und an anderer Stelle Null. Die ersten zehn Funktionen sehen so aus (vergleiche die ASCII-Grafik aus @ Hurkyls Antwort):S n [ n , 10 n $f_n(x)$$S_n$$[n, 10n]$

$\quad\quad\quad$

Jeder wird zustimmen , dass für jeden Punkt , haben wir . Dies bedeutet per Definition , dass Funktionen zur Funktion konvergieren . Auch dem wird jeder zustimmen. Beachten Sie jedoch, dass die Integrale dieser Funktionen immer größer werden und die Folge der Integrale auseinander geht. Mit anderen Worten, lim f n ( a ) = 0 f n ( x ) g ( x ) = 0 ≤ ≤ 0 f ( x ) d x = 9 $a\in\mathbb R$$\lim f_n(a) = 0$$f_n(x)$$g(x)=0$$\int_0^\infty f(x)dx = 9n$

$$\lim\int f_n(x)dx \ne \int \lim f_n(x) dx.$$

Dies ist ein völlig normales und bekanntes Analyseergebnis. Aber es ist eine genaue Neuformulierung unseres Paradoxons!

Ein guter Weg, um das Problem zu formalisieren, besteht darin, den Zustand der Kanne nicht als eine Menge (eine Teilmenge von ) zu beschreiben, da diese schwer zu begrenzen sind, sondern als ihre charakteristische Funktion. Das erste "Paradox" ist, dass punktuelle Grenzen nicht mit einheitlichen Grenzen identisch sind. [@ TheoJohnson-Freyd]$\mathbb N$

Der entscheidende Punkt ist, dass "um Mitternacht " die gesamte unendliche Sequenz bereits vergangen ist , dh wir haben einen "trasfiniten Sprung" gemacht und sind in den transfiniten Zustand gelangt . Der Wert des Integrals "um Mitternacht mittags" muss der Wert des Integrals von , nicht umgekehrt.lim f $f_\omega = \lim f_n(x)$$\lim f_n$

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Bitte beachte, dass einige der Antworten in diesem Thread irreführend sind, obwohl sie sehr positiv bewertet wurden.

Insbesondere berechnet @cmaster was in der Tat unendlich ist, aber das ist nicht das, wonach das Paradoxon fragt. Das Paradox fragt, was nach der ganzen unendlichen Abfolge von Schritten passiert. Dies ist eine transfinite Konstruktion. Wir müssen also , der wie oben erläutert gleich Null ist.ballCount ( S ω$\lim_{n\to\infty} \operatorname{ballCount}(S_n)$$\operatorname{ballCount}(S_\omega)$

Hurkyl (in einer Antwort) und Dilip Sarwate (in einem Kommentar) geben zwei gemeinsame deterministische Varianten dieses Puzzles an. In beiden Varianten werden im Schritt Kugeln bis zum Stapel hinzugefügt ( ). 10 k - 9 10 k k = 1 , 2 , . . $k$$10k-9$$10k$$k=1,2,...$

In Hurkyls Variation wird Ball entfernt. In dieser Variante kann definitiv argumentiert werden, dass keine Kugeln mehr vorhanden sind, da die Kugel in Schritt .n $k$$n$$n$

In der Dilip Sarwate-Variante wird in Schritt Kugel entfernt , und in dieser Variante bleiben alle Kugeln übrig , die keine Vielfachen von sind. In dieser Variante befinden sich unendlich viele Kugeln in der Urne am Ende.k $10k$$k$$10$

Mit diesen beiden Varianten als Randfälle sehen wir, dass bei diesem Vorgang viele verschiedene Dinge passieren können. Sie können beispielsweise festlegen, dass am Ende eine endliche Menge von Bällen verbleibt, indem Sie Hurkyls Vorgang ausführen, aber das Entfernen bestimmter Bälle überspringen. Tatsächlich können Sie für jede Menge mit unendlich vielen Komplementen (in den (positiven) natürlichen Zahlen) diese Menge von Kugeln am Ende des Prozesses übrig haben.$B$

Wir könnten die zufällige Variation des Problems (im ursprünglichen Beitrag angegeben) als Auswahl einer Funktion unter den Bedingungen betrachten, dass (i) eins zu eins ist und (ii) für alle . F f ( k ) ≤ 10 k k ∈ $f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$$f$$f(k)\le 10k$$k\in \mathbb{N}$

Das Argument im Sheldon Ross-Buch (auf das im Beitrag verwiesen wird) zeigt, dass fast alle (im wahrscheinlichkeitstheoretischen Sinne) derartigen Funktionen tatsächlich auf Funktionen (Surjektionen) bezogen sind.

Ich betrachte dies als etwas analog zu der Situation, eine Zahl aus einer Gleichverteilung auf auszuwählen und zu fragen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass die Zahl in der Cantor-Menge enthalten ist (ich verwende die Cantor-Menge, anstatt zu sagen) die rationalen Zahlen, weil die Cantor-Menge unzählig ist). Die Wahrscheinlichkeit ist , obwohl es viele (unzählige) Zahlen in der Cantor-Menge gibt, die ausgewählt werden könnten. Bei der Ballentfernung spielt der Satz von Sequenzen, in denen noch Bälle übrig sind, die Rolle des Cantor-Satzes.[ 0 , 1 ] $x$$[0,1]$$0$

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Bearbeiten: BenMillwood weist korrekterweise darauf hin, dass es einige endliche Ballsätze gibt, die nicht der verbleibende Satz sein können. Zum Beispiel kann nicht die verbleibende Menge sein. Sie können höchstens haben der ersten für verbleibenden Kugeln .90 % 10 n n = 1 , 2 , 3 , . . $1,2,...,10$$90\%$$10n$$n=1,2,3,...$

Die Antwort von Enumaris ist in Bezug auf das Problem der abweichenden Grenzen völlig richtig. Trotzdem kann die Frage tatsächlich eindeutig beantwortet werden. Meine Antwort zeigt Ihnen also genau, wo die Null-Kugel-Lösung schief geht und warum die intuitive Lösung die richtige ist.

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Es ist wahr, dass für jeden Ball die Wahrscheinlichkeit, dass er sich in der Urne am Ende befindet, Null ist. Genauer gesagt ist nur die Grenze Null: .P ( n ) P ( n ) = lim N → ∞ P ( n , N ) = $n$$P(n)$$P(n) = \lim_{N\to\infty} P(n, N) = 0$

Nun versuchen Sie, die Summe zu berechnen Die gebrochene Berechnung springt genau in diesen -Teil hinein und sagt, dass der Grenzwert Null ist, sodass die Summe nur Terme von Null enthält, sodass die Summe selbst Null ist: P(n,N) lim N → ∞ ballCount ( N

$$\lim_{N\to\infty} \operatorname{ballCount}(N) = \lim_{N\to\infty} \sum_{n=1}^{n\leq 10N} P(n,N).$$ $P(n,N)$ $$\begin{align} \lim_{N\to\infty}\operatorname{ballCount}(N) &= \lim_{N\to\infty} \sum_{n=1}^{n\leq 10N} P(n,N) \\ \text{broken step here }\longrightarrow &= \lim_{N\to\infty} \sum_{n=1}^{n\leq 10N} \lim_{N\to\infty} P(n,N) \\ &= \lim_{N\to\infty} \sum_{n=1}^{n\leq 10N} P(n) \\ &= \lim_{N\to\infty} \sum_{n=1}^{n\leq 10N} 0 \\ &= \lim_{N\to\infty} 10 N\times 0 \\ &= 0 \end{align}$$

Dies spaltet jedoch das illegal in zwei unabhängige Teile auf. Sie können das nicht einfach in die Summe verschieben, wenn die Grenzen der Summe vom Parameter des abhängen . Sie müssen das als Ganzes lösen .lim lim$\lim$$\lim$$\lim$$\lim$

Der einzig gültige Weg, um dieses zu lösen, besteht darin, zuerst die Summe zu lösen, indem man für ein beliebiges endliches . ∑ n ≤ 10 N n = 1 P ( n , N ) = 9 N N lim N → ∞ ballCount ( N $\lim$$\sum_{n=1}^{n\leq 10N} P(n,N) = 9N$$N$

$$\begin{align} \lim_{N\to\infty} \operatorname{ballCount}(N) &= \lim_{N\to\infty} \sum_{n=1}^{n\leq 10N} P(n,N) \\ &= \lim_{N\to\infty} 9N \\ &= \infty \end{align}$$

Die intuitive Lösung hat genau das getan, es ist die "clevere" Lösung, die im Grunde gebrochen ist.

Dieses Argument konzentriert sich auf die Tendenz, dass sich unendliche Mengen und Sequenzen einheitlich und intuitiv verhalten. Dies ist nicht überraschender als das Hilbert Hotel . In einem solchen Fall haben Sie zwar eine unendliche Anzahl von Bällen herausgenommen, aber Sie haben eine unendliche Anzahl eingegeben. Betrachten Sie das Hilbert Hotel in umgekehrter Reihenfolge. Sie können eine unbegrenzte Anzahl von Gästen aus dem Hotel entfernen und es ist immer noch eine unbegrenzte Anzahl übrig.

Ob dies physikalisch realisierbar ist, ist eine ganz andere Frage.

Als solches würde ich es nicht unbedingt als schlecht geformt ansehen, sondern eher in das falsche Buch stecken. Diese Art der Zählfrage gehört in einen Mengenkurs und nicht in einen Wahrscheinlichkeitskurs.

Ich denke, es hilft, die überflüssige zeitliche Komponente des Problems zu beseitigen.

Die grundlegendere Variante dieses Paradoxons besteht darin, immer die Kugel mit der niedrigsten Nummer zu entfernen. Um das Zeichnen zu vereinfachen, füge ich bei jedem Schritt nur zwei Bälle hinzu.

Die Prozedur beschreibt, wie ein unendliches zweidimensionales Gitter ausgefüllt wird:

.*........
..**......
...***....  ....
....****..
.....*****

 :  :  :
 :  :  :

Dabei wird jede Zeile aus der vorherigen gebildet, indem rechts zwei Sternchen hinzugefügt und ganz links entfernt werden.

Die Fragen, die man sich dann stellt, sind:

Wie viele Spalten enden mit wiederholten Sternchen anstelle von wiederholten Punkten?

Meiner Meinung nach ist die Idee, dieses Ergebnis fälschlicherweise mit "der Begrenzung der Anzahl der Sternchen in jeder Zeile" gleichzusetzen, viel weniger überzeugend.

Diese Antwort zielt darauf ab, vier Dinge zu tun:

1. Sehen Sie sich Ross 'mathematische Formulierung des Problems an und zeigen Sie, wie sie direkt und eindeutig aus der Problembeschreibung hervorgeht.

2. Verteidigen Sie die Position, dass Ross 'paradoxe Lösung sowohl mathematisch fundiert als auch relevant für unser Verständnis der physischen Welt ist, unabhängig davon, ob sie zu 100% physisch realisierbar ist oder nicht.

3. Diskutieren Sie bestimmte trügerische Argumente, die auf der physikalischen Intuition beruhen, und zeigen Sie, dass die oft genannte "physikalische" Lösung unendlicher Bälle am Mittag nicht nur im Widerspruch zur Mathematik, sondern auch zur Physik steht.

4. Beschreiben Sie eine physische Implementierung des Problems, die Ross 'Lösung möglicherweise intuitiver macht. Beginnen Sie hier mit der Beantwortung von Carlos 'ursprünglicher Frage.

1. Wie man das Problem mathematisch beschreibt

Wir werden den ersten Schritt der "unendlichen Prozessmodellierung" von Ross 'Argumentation entpacken (S. 46) . Hier ist die Aussage, auf die wir uns konzentrieren werden:

Definiere als das Ereignis, dass Ball Nummer 1 noch in der Urne ist, nachdem die ersten n Entnahmen gemacht wurden ... Das Ereignis, dass Ball Nummer 1 um 12 Uhr in der Urne ist, ist nur das Ereignis .⋂ ∞ n = 1 E $E_n$$\bigcap_{n=1}^\infty E_n$

Bevor wir Ross 'Aussage auspacken, wollen wir uns überlegen, wie es überhaupt möglich ist, den Inhalt der Urne nach einer unendlichen Abfolge von Operationen mittags zu verstehen. Wie können wir möglicherweise wissen, was in der Urne ist? Nun, lasst uns über einen bestimmten Ball nachdenken. ; Sie können sich vorstellen, oder oder was auch immer Sie wollen. Wenn der Ball zu einem bestimmten Zeitpunkt vor Mittag herausgenommen wurde, wird er um 12.00 Uhr sicherlich nicht in der Urne sein. Und umgekehrt, wenn eine gegebene Kugel war bis zum Mittag in der Urne in jeder Phase des Prozess bis (nachdem er hinzugefügt wurde), dann war es in der Urne am Mittag. Schreiben wir diese Aussagen formell auf:b = 1 1000 $b$$b=1$$1000$$b$

Ein Ball ist genau dann mittags in der Urne, wenn er zu jedem Zeitpunkt vor Mittag in der Urne war , wobei die Stufe des ist Kugel wurde der Urne hinzugefügt.n ∈ { n b , n b + 1 , n b + 2 , . . . } n $b$$n \in \{n_b, n_b + 1, n_b + 2, ...\}$$n_b$

Was bedeutet im Klartext? Nehmen wir eine einzelne Erkenntnis des Urnenprozesses und sprechen Sie es aus:$\bigcap_{n=1}^\infty E_n$ $x$

• $x \in E_1$ bedeutet, dass sich Ball 1 in der Urne nach Stufe 1 des Prozesses befindet.
• $x \in E_1 \bigcap E_2$ bedeutet, dass sich Ball 1 nach den Schritten 1 und 2 des Prozesses in der Urne befindet.
• $x \in E_1 \bigcap E_2 \bigcap E_3$ bedeutet, dass sich Ball 1 nach den Stufen 1, 2 und 3 des Prozesses in der Urne befindet.
• Für jede , bedeutet , dass der Ball nach den Phasen in der Urne bis .x ∈ ⋂ n k = 1 E k 1 $k \in \{1, 2, 3, ...\}$$x \in \bigcap_{k=1}^n E_k$$1$$n$

Es ist klar, dass bedeutet, dass in der Realisierung dieses Urnenprozesses die Kugel 1 nach den Stufen 1, 2 in der Urne ist. 3 und so weiter : alle endlichen Stufen vor Mittag. Die unendliche Schnittmenge ist nur eine andere Schreibweise, daher enthält genau die Erkenntnisse des Prozesses, bei dem sich Ball 1 überhaupt in der Urne befand Etappen vor Mittag. Ein Ereignis ist nur eine definierte Menge von Realisierungen eines Prozesses, daher entspricht der letzte Satz genau der Aussage, dass das Ereignis ist, dass Ball 1 zu allen Zeitpunkten vor Mittag in der Urne war. für diesen zufälligen Prozess. x k ⋂ ∞ n = 1 E n ⋂ ∞ n = 1 E n ⋂ ∞ n = 1 E $x \in \bigcap_{k \in \{1, 2, 3...\}} E_k$$x$$k$$\bigcap_{n = 1}^\infty E_n$$\bigcap_{n = 1}^\infty E_n$$\bigcap_{n = 1}^\infty E_n$

Nun zur Pointe: Nach unserer obigen Aussage "Wenn und Nur Wenn" ist dies genau das Gleiche, als würde man sagen, dass Ball 1 mittags in der Urne war! Also ist der Fall, dass sich Ball 1 mittags in der Urne befindet, genau wie Ross es ursprünglich angegeben hatte. QED$\bigcap_{n = 1}^\infty E_n$

In der obigen Ableitung gilt alles , was wir gesagt haben, gleichermaßen für die deterministische und die probabilistische Version, da die deterministische Modellierung ein Sonderfall der probabilistischen Modellierung ist, bei der der Probenraum ein Element aufweist. Es wurden keine maßtheoretischen oder Wahrscheinlichkeitskonzepte verwendet, außer den Wörtern "Ereignis" und "Realisierung" (die nur Jargon für "Menge" und "Element" sind).

2. Die paradoxe Lösung ist mathematisch fundiert und für die Physik relevant

Nach diesem Einstellungspunkt weichen die deterministischen und probabilistischen Varianten voneinander ab. In der deterministischen Variante (Version 2 aus Amöbenpost) wissen wir, dass Ball 1 im ersten Schritt herausgenommen wird, also ist und die unendliche Schnittmenge natürlich auch leer. In ähnlicher Weise wird jeder andere Ball im Stadium und ist mittags nicht vorhanden. Die Urne kann also mittags keine nummerierte Kugel enthalten und muss deshalb leer sein.b b $E_1 = \emptyset$$b$$b$$b$

In der probabilistischen Variante geschieht dasselbe Phänomen, nur in einem weicheren Sinne "in Erwartung". Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ball vorhanden ist, sinkt gegen Mittag auf Null, und zur begrenzten Mittagszeit ist der Ball mit ziemlicher Sicherheit nicht vorhanden. Da jeder Ball mit der Wahrscheinlichkeit Null vorhanden ist und die Summe unendlich vieler Nullen immer noch Null ist, befinden sich am Mittag mit ziemlicher Sicherheit keine Bälle in der Urne. All dies wird von Ross völlig rigoros gezeigt; Wie die Antwort von @ekvall zeigt, können Details mit Kenntnissen der Maßtheorie auf Hochschulniveau ergänzt werden.

Wenn Sie die Standardargumente für mathematische Objekte akzeptieren, die als unendliche Folgen ausgedrückt werden, z. B. , sollte das Argument hier genauso akzeptabel sein, da es sich auf genau dieselben Prinzipien stützt. Die einzige Frage ist, ob die mathematische Lösung für die reale Welt oder nur für die platonische Welt der Mathematik gilt. Diese Frage ist komplex und wird in Abschnitt 4 näher erörtert.$0.999... = 1$

Es gibt jedoch keinen Grund anzunehmen, dass das Problem der unendlichen Urne unphysisch ist, oder es als irrelevant abzulehnen, selbst wenn es unphysisch ist. Viele physikalische Erkenntnisse wurden aus der Untersuchung von unendlichen Strukturen und Prozessen gewonnen, beispielsweise von unendlichen Drähten und Perkolationsgittern . Nicht alle diese Systeme sind notwendigerweise physikalisch realisierbar, aber ihre Theorie prägt den Rest der Physik. Kalkül selbst ist in mancher Hinsicht "unphysisch", weil wir nicht wissen, ob es möglich ist, die beliebig kleinen Entfernungen und Zeiten, die häufig Gegenstand des Studiums sind, physikalisch zu realisieren. Das hindert uns nicht daran, den Kalkül in den theoretischen und angewandten Wissenschaften unglaublich gut einzusetzen.

3. Die Unphysikalität von Lösungen basierend auf "physischer Intuition"

Für diejenigen, die immer noch glauben, dass Ross 'Mathematik in der deterministischen Variante falsch oder physikalisch ungenau ist und die wahre physikalische Lösung unendlich viele Bälle enthält: Unabhängig davon, was Sie mittags denken, ist es unmöglich, die Situation vor Mittag zu leugnen: jeder nummerierte Ball hinzugefügt, um die Urne wird schließlich entfernt. Wenn Sie also glauben, dass mittags noch unendlich viele Bälle in der Urne sind, müssen Sie zugeben, dass keiner dieser Bälle vor Mittag hinzugefügt werden kann. Diese Bälle müssen also von einem anderen Ort stammen: Sie behaupten, dass unendlich viele Bälle, die nichts mit dem ursprünglichen Problemprozess zu tun haben, plötzlich genau mittags auftauchen, um die Kontinuität der Kardinalität vor Verletzungen zu bewahren.So unphysisch die "leere Menge" -Lösung auch intuitiv erscheinen mag, diese Alternative ist objektiv und nachweislich unphysisch. Unendliche Ansammlungen von Gegenständen entstehen nicht sofort, nur um schlechte menschliche Intuitionen über Unendlichkeit zu befriedigen.

Der verbreitete Irrtum hier scheint zu sein, dass wir nur die Anzahl der Bälle gegen Mittag betrachten können und davon ausgehen können, dass der abweichende Trend am Mittag unendlich viele Bälle hervorbringt, unabhängig davon, welche Bälle genau ein- und ausgetragen werden. Es wurde sogar versucht, dies mit dem "Prinzip der Gleichgültigkeit" zu rechtfertigen, wonach die Antwort nicht davon abhängen sollte, ob die Kugeln beschriftet sind oder nicht.

In der Tat hängt die Antwort nicht davon ab, ob die Kugeln beschriftet sind oder nicht, aber das ist ein Argument für Ross 'Lösung, nicht dagegen. Aus der Sicht der klassischen Physik werden die Kugeln effektiv beschriftet, unabhängig davon, ob Sie sie als beschriftet betrachten oder nicht. Sie haben eindeutige, dauerhafte Identitäten, die mit Etiketten vergleichbar sind, und eine echte physikalische Analyse muss dies berücksichtigen, unabhängig davon, ob Zahlen buchstäblich auf die Kugeln geschrieben sind oder nicht. Die Etiketten selbst haben keinen direkten Einfluss darauf, wie die Lösung herauskommt. Sie müssen jedoch genau beschreiben, wie die Kugeln bewegt werden. Einige Verfahren belassen Bälle für immer in der Urne, andere entfernen nachweislich jeden hinzugefügten Ball, und Etiketten werden benötigt, um den Unterschied zwischen diesen Verfahren überhaupt zu beschreiben.Der Versuch, die Beschriftungen zu ignorieren, ist nicht "physisch", sondern es wird nur vernachlässigt, das physische Problem genau genug zu verstehen, um es zu lösen. (Das gleiche gilt für komplizierte Varianten, bei denen die Etiketten in jeder Phase neu gemischt werden. Entscheidend ist, welche Kugeln sich in der Urne befinden, nicht die Etiketten, die jemand darauf platziert oder ersetzt hat. Dies lässt sich feststellen, indem das komplizierte Schema der Neuetikettierung vollständig ignoriert und einfach verwendet wird ein einziges unveränderliches Etikettierungsschema, das von Ross 'ursprünglichem Problem.)

Die einzige Möglichkeit, Unterscheidbarkeit nicht zu erreichen, wäre, wenn die "Kugeln" quantenmechanische Teilchen wären. In diesem Fall versagt das Gleichgültigkeitsprinzip auf spektakuläre Weise. Die Quantenphysik zeigt, dass sich nicht unterscheidbare Teilchen völlig anders verhalten als unterscheidbare. Dies hat unglaublich grundlegende Konsequenzen für die Struktur unseres Universums, wie zum Beispiel das Pauli-Ausschlussprinzip, das vielleicht das wichtigste Prinzip der Chemie ist. Bisher hat noch niemand versucht, eine Quantenversion dieses Paradoxons zu analysieren.

4. Physikalische Beschreibung der Lösung

Wir haben gesehen, wie vage "physische" Intuitionen uns bei diesem Problem in die Irre führen können. Umgekehrt stellt sich heraus, dass eine physikalisch genauere Beschreibung des Problems uns hilft, zu verstehen, warum die mathematische Lösung tatsächlich diejenige ist, die am physikalischsten ist.

Stellen Sie sich ein unendliches Newton'sches Universum vor, das den Gesetzen der klassischen Mechanik unterliegt. Dieses Universum enthält zwei Objekte: ein unendliches Regal und eine unendliche Urne, die am Ursprung des Universums beginnen und für immer und ewig nebeneinander verlaufen. Das Regal liegt auf der Linie Fuß, während die Urne auf der Linie Fuß liegt. Entlang des Regals werden unendlich viele identische Bälle gelegt, die gleichmäßig einen Fuß voneinander entfernt sind, wobei der erste Fuß vom Ursprung entfernt ist (also liegt der Ball auf der Linie Fuß). Die Urne - die wirklich genau wie das Regal ist, aber etwas verzierter, geschlossener und allgemeiner Urne - ist leer.y = 1 n x = $y = 0$$y = 1$$n$$x = n$

Ein Gang verbindet das Regal und die Urne unten und oben am Gang, am Ursprung, sitzt ein Endeavour-Roboter mit einer unendlichen Stromversorgung. Ab 11:00 Uhr wird Endeavour aktiviert und zoomt im Gang vor und zurück. Dabei werden die Bälle gemäß den programmierten Anweisungen von Ross-Littlewood zwischen Urne und Regal übertragen:

• Wenn die Programmbefehle Kugel in den Urn eingeführt werden, den Ball ist Füße von der Herkunft aus dem Regal auf die URN übertragen.$n$$n$
• Wenn die Programmbefehle Kugel vom Urn entfernt werden, den Ball ist Füße vom Ursprung aus dem Urn zum Regal übertragen.$n$$n$

In beiden Fällen erfolgt die Übertragung quer, sodass der Ball nur noch m vom Ursprung entfernt ist. Der Prozess verläuft wie im Ross-Littlewood-Problem beschrieben:$n$

• Um 11:00 Uhr überträgt Endeavour die Bälle 1-10 von Shelf zu Urn und verschiebt dann einen der Urn-Bälle zurück zu Shelf.
• Um 11:30 Uhr überträgt Endeavour die Bälle 11-20 von Shelf zu Urn und verschiebt dann einen der Urn-Bälle zurück zu Shelf.
• Um 11:45 Uhr überträgt Endeavour die Bälle 21-30 von Shelf zu Urn und verschiebt dann einen der Urn-Bälle zurück zu Shelf.
• und so weiter...

Im weiteren Verlauf sind für jeden neuen Schritt längere Auf- und Abfahrten im Gang und nur die Hälfte der Zeit für die Fahrten erforderlich. Endeavour muss sich also exponentiell schneller auf und ab bewegen, wenn der Mittag naht. Aber es hält immer mit dem Programm Schritt, da es über eine unendliche Stromversorgung verfügt und sich so schnell bewegen kann, wie es benötigt wird. Irgendwann kommt der Mittag.

Was passiert in dieser lebendigeren Version des Paradoxons? Von oben betrachtet ist die Annäherung an den Mittag wirklich spektakulär. In der Urne scheint sich eine Kugelwelle vom Ursprung nach außen auszubreiten. Die Größe und die Geschwindigkeit der Welle wachsen, wenn sich der Mittag nähert. Wenn wir unmittelbar nach jedem Schritt Bilder machen würden, wie würde die Anordnung der Kugeln aussehen? Im deterministischen Fall würden sie genau wie die Schrittfunktionen in der Antwort von Amöbe aussehen. Die Ballpositionen würden genau den von ihm gezeichneten Kurven folgen. $(x, y)$Im wahrscheinlichkeitstheoretischen Fall würde es ungefähr ähnlich aussehen, aber mit mehr Unruhe in der Nähe des Ursprungs.

Wenn der Mittag kommt, ziehen wir eine Bilanz dessen, was passiert ist. In der deterministischen Version wurde jeder Ball genau einmal vom Regal in die Urne übertragen und dann in einem späteren Schritt zurückbewegt, wobei beide Übertragungen vor Mittag erfolgten. Am Mittag muss das Universum wieder in seinem ursprünglichen 11-Uhr-Zustand sein. Die Welle ist nicht mehr. Jeder Ball ist genau dort zurück, wo er angefangen hat. Nichts hat sich verändert. Die Urne ist leer. In der probabilistischen Version passiert dasselbe, außer dass das Ergebnis jetzt nur fast sicher und nicht sicher ist.

In beiden Fällen scheinen "physische Einwände" und Beschwerden über die Unendlichkeit in Luft aufzulösen. Natürlich ist die Urne mittags leer. Wie hätten wir uns etwas anderes vorstellen können?

Das einzig verbleibende Geheimnis ist das Schicksal von Endeavour. Seine Verschiebung vom Ursprung und seine Geschwindigkeit wurden beliebig groß, als sich der Mittag näherte, so dass Endeavour am Mittag in unserem unendlichen Newtonschen Universum nirgends zu finden ist. Der Verlust von Endeavour ist die einzige Verletzung der Physik, die während des Prozesses aufgetreten ist.

An dieser Stelle könnte man einwenden, dass Endeavour physikalisch nicht möglich ist, da seine Geschwindigkeit unbegrenzt wächst und schließlich die relativistische Grenze, die Lichtgeschwindigkeit, verletzen würde. Wir können das Szenario jedoch leicht ändern, um dieses Problem zu beheben. Anstelle eines einzelnen Roboters könnten wir unendlich viele Roboter haben, die jeweils für einen einzelnen Ball verantwortlich sind. Wir könnten sie im Voraus programmieren, um eine perfekte Koordination und ein perfektes Timing gemäß den Anweisungen von Ross zu gewährleisten.

Ist diese Variation 100% physisch? Wahrscheinlich nicht, weil die Roboter mit willkürlich genauem Timing arbeiten müssten. Gegen Mittag würde die geforderte Präzision möglicherweise unter die Planck-Zeit fallen und quantenmechanische Probleme verursachen. Aber letztendlich könnten ein unendlicher Draht und ein unendliches Versickerungsgitter auch nicht allzu physikalisch sein. Das hindert uns nicht daran, unendliche Systeme und Prozesse zu untersuchen und zu bestimmen, was passieren würde, wenn die behindernden physischen Einschränkungen aufgehoben würden.

4a. Warum Count Monotonicity verletzt wird

Eine Reihe von Ross-Skeptikern hat in Frage gestellt, wie es möglich ist, dass die Anzahl der Bälle in der Urne gegen Mittag unbegrenzt zunimmt und dann gegen Mittag Null ist. Letztendlich müssen wir an eine strenge Analyse unserer eigenen Intuition glauben, was oft falsch ist, aber es gibt eine Variation des Paradoxons, die hilft, dieses Geheimnis zu erhellen.

Angenommen, wir haben statt unendlich vieler Bälle Bälle mit den Bezeichnungen 1, 2, 3 bis , und wir den Regeln für den Ballbeweger den folgenden Zusatz hinzu:10 $10N$$10N$

• Wenn Sie in den Anweisungen aufgefordert werden, einen nicht vorhandenen Ball zu bewegen, ignorieren Sie diese Anweisung.

Beachten Sie, dass das ursprüngliche Problem unverändert bleibt, wenn wir diese Anweisung hinzufügen, da die Anweisung niemals mit unendlich vielen Bällen aktiviert wird. So können wir uns vorstellen, dass das ursprüngliche Problem und diese neue Problemfamilie Teil derselben Familie mit denselben Regeln sind. Das Untersuchen der endlichen Familie, insbesondere für sehr große , kann uns helfen, den Fall "N = " zu verstehen .N $N$$N$$\infty$

Bei dieser Variante sammeln sich die Kugeln 9 pro Schritt wie zuvor, jedoch nur bis zum Schritt des Prozesses. Dann entsprechen die Zahlen für die hinzuzufügenden Bälle nicht mehr den tatsächlichen Bällen, und wir können nur die Anweisung zum Entfernen von Bällen befolgen, und der Vorgang wird nach zusätzlichen Schritten für insgesamt Schritte . Wenn sehr groß ist, tritt die Nur-Entfernen-Phase sehr nahe am Mittag auf, wenn die Aufgaben sehr schnell erledigt werden und die Urne sehr schnell entleert wird.9 N 10 N $N$$9N$$10N$$N$

Nehmen wir nun an, dass wir diese Variation des Experiments für jeden Wert von und die über die Zeit , wobei von 0 bis 1 Stunde nach 11 Uhr (dh 11 Uhr bis Mittag) reicht. Typischerweise für eine Weile an und fällt dann bei oder vor auf Null zurück . In der Grenze, in der sich Unendlichkeit nähert, steigt der Graph immer höher und der Abfall immer schneller. Gegen Mittag ist die Urne immer leer: . In der nähert sich die Kurve für Unendlichkeit, aberf N ( t ) t f N ( t ) t = 1 N f N ( 1 ) = 0 f ( t ) = lim N → ∞ f N ( t ) t < 1 f ( 1 ) = 0 N → $N$$f_N(t)$$t$$f_N(t)$$t=1$$N$$f_N(1) = 0$$f(t) = \lim_{N \rightarrow \infty} f_N(t)$$t < 1$$f(1) = 0$. Dies ist genau das Ergebnis, das sich aus Ross 'Beweis ergibt: Die Anzahl der Bälle divergiert vor dem Mittag gegen unendlich, ist aber am Mittag Null. Mit anderen Worten, Ross 'Lösung bewahrt die Kontinuität in Bezug auf N: Die punktweise Begrenzung der Ballanzahl, da mit der Ballanzahl im Fall mit unendlichen übereinstimmt.$N \rightarrow \infty$

Ich halte dies nicht für ein primäres Argument für Ross 'Lösung, aber es kann für diejenigen hilfreich sein, die sich nicht sicher sind, warum die Anzahl der Bälle für immer steigt und gegen Mittag auf Null fällt. Obwohl seltsam, ist es das einschränkende Verhalten der endlichen Version des Problems als und kommt daher im unendlichen Fall nicht als "plötzlicher Schock".$N \rightarrow \infty$

Eine abschließende Betrachtung

Warum hat sich dieses Problem für so viele als solch eine Teergrube erwiesen? Ich spekuliere, dass unsere physische Intuition viel ungenauer ist als wir denken, und wir ziehen oft Schlussfolgerungen, die auf ungenauen und unvollständigen mentalen Vorstellungen beruhen. Wenn ich Sie zum Beispiel auffordere, an ein Quadrat zu denken, das auch ein Kreis ist, können Sie sich etwas Quadratisches und Rundes vorstellen, aber es werden nicht genau diese beiden Dinge sein - das wäre unmöglich. Der menschliche Geist kann leicht vage, widersprüchliche Konzepte zu einem einzigen mentalen Bild zusammenfügen. Wenn die Konzepte weniger vertraut sind, wie das Unendliche, können wir uns davon überzeugen, dass diese vagen mentalen Mashups tatsächlich Konzepte des Wirklichen sind.

Genau das passiert beim Urnenproblem. Wir begreifen das Ganze nicht wirklich auf einmal; Wir überlegen uns, wie viele Bälle es im Laufe der Zeit gibt. Wir winken vermeintlich irrelevanten technischen Details davon, wie zum Beispiel, was mit jedem bescheidenen kleinen Ball im Laufe der Zeit passiert oder wie genau eine "Urne" unendlich viele Bälle aufnehmen kann. Wir versäumen es, alle Details präzise darzulegen, ohne zu bemerken, dass das Ergebnis ein Mashup inkonsistenter, inkompatibler mentaler Modelle ist.

Die Mathematik soll uns aus diesem Zustand befreien. Es diszipliniert und stiehlt uns angesichts des Fremden und Exotischen. Es verlangt, dass wir uns zweimal überlegen, was "wahr" sein muss ... richtig? Es erinnert uns daran, dass, egal wie seltsam die Dinge werden, eins und eins immer noch zwei sind, eine Kugel entweder in einer Urne ist oder nicht, und eine Aussage ist entweder wahr oder falsch. Wenn wir durchhalten, bringen diese Prinzipien schließlich Klarheit in die meisten unserer Probleme.

Diejenigen, die die mathematische Analyse der "physischen" oder "gesunden Menschenverstand" -Intuition unterordnen, tun dies auf eigene Gefahr. Das Handwinken über Intuitionen ist nur der Anfang der Physik. Historisch gesehen haben sich alle erfolgreichen Zweige der Physik letztendlich auf die rigorose Mathematik gegründet, die falsche physikalische Intuitionen beseitigt, die richtigen stärkt und das rigorose Studium idealer Systeme wie des unendlichen stromführenden Drahtes ermöglicht, der das Verhalten des Menschen beleuchtet kompliziertere, chaotischere reale Welt. Ross-Littlewood ist ein körperliches Problem,In der Regel als eine der klassischen Mechanik interpretiert, und die klassische Mechanik hat eine völlig ausgereifte und strenge mathematische Grundlage. Wir sollten uns für unsere Intuitionen über die Welt der klassischen Physik auf mathematische Modelle und Analysen verlassen, nicht umgekehrt.

Mehrere Plakate waren besorgt, die Berechnungen in Ross könnten nicht rigoros sein. Diese Antwort adressiert dies, indem sie die Existenz eines Wahrscheinlichkeitsraums beweist, in dem alle von Ross berücksichtigten Ergebnismengen tatsächlich messbar sind, und dann die entscheidenden Teile von Ross 'Berechnungen wiederholt.

Einen geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum finden

Um zu der Schlussfolgerung von Ross zu gelangen, dass um 12 Uhr keine Bälle in der Urne sind, brauchen wir mit ziemlicher Sicherheit die Existenz eines Wahrscheinlichkeitsraums in dem das Ereignis "keine Bälle in der Urne um 12 Uhr " auftritt PM "kann formal aufgebaut und messbar gemacht werden. Zu diesem Zweck verwenden wir in diesen leicht umformulierten Vorlesungsskripten Theorem 33 [Ionescu - Tulcea] und eine von @NateEldredge in einem Kommentar zur Frage vorgeschlagene Konstruktion.$(\Omega, \mathcal F, P)$

Satz. (Ionescu - Tulcea-Erweiterungssatz) Betrachten Sie eine Folge messbarer Räume . Angenommen, für jedes existiert ein Wahrscheinlichkeitskernel von bis (wobei ein Kernel ist, der gegenüber seinem ersten Argument, dh einem Wahrscheinlichkeitsmaß, unempfindlich ist). Dann existiert eine Folge von Zufallsvariablen die Werte im entsprechenden , so dass für jedes die gemeinsame Verteilung vonn κ n ( Ξ 1 , X 1 ) × ⋯ × ( Ξ n - 1 , X n - 1 ) ( Ξ n , X n ) κ 1 X n , n = 1 , 2 , … Ξ n$(\Xi_n, \mathcal X_n), n = 1, 2, \dots$$n$$\kappa_n$$(\Xi_1, \mathcal X_1) \times \dots \times(\Xi_{n-1}, \mathcal X_{n-1})$$(\Xi_n, \mathcal X_n)$$\kappa_1$$X_n, n = 1, 2, \dots$$\Xi_n$$n$κ 1 , … , κ $(X_1, \dots, X_n)$wird durch die Kernel .$\kappa_1, \dots, \kappa_n$

Wir lassen das Etikett des Balls bezeichnen, der bei der ten Entnahme entfernt wurde. Es ist klar, dass der (unendliche) Prozess , falls vorhanden, uns alles sagt, was wir wissen müssen, um Ross 'Argumente nachzuahmen. Zum Beispiel ist die Kenntnis von für eine ganze Zahl die gleiche wie die Kenntnis der Anzahl der Kugeln in der Urne nach der Entnahme : Es handelt sich genau um die hinzugefügten Kugeln mit den Bezeichnungen abzüglich der entfernten Kugeln . Im Allgemeinen können Ereignisse, die beschreiben, welche und wie viele Bälle sich nach einem bestimmten Abzug in der Urne befinden, in Bezug auf den Prozess . n X = ( X 1 , X 2 , … ) X 1 , … , X m m ≥ 0 m { 1 , 2 , … , 10 m } { X 1 , … , X m } $X_n$$n$$X = (X_1, X_2, \dots)$$X_1, \dots, X_m$$m \geq 0$$m$$\{1, 2, \dots, 10m\}$$\{X_1, \dots, X_m\}$$X$

Um mit Ross 'Experiment übereinzustimmen, brauchen wir, dass für jedes die Verteilung von auf gleichmäßig ist. . Wir brauchen auch eine gleichmäßige Verteilung von auf . Um zu beweisen, dass ein unendlicher Prozess mit diesen endlichdimensionalen Verteilungen tatsächlich existiert, überprüfen wir die Bedingungen des Ionescu-Tulcea-Erweiterungssatzes. Für jede ganze Zahl sei und definiere die messbaren Räume , woX n ≤ X n - 1 , … , X 1 { 1 , 2 , … , 10 n } ≤ X 1 , … , X n - 1 X 1 { 1 , … , 10 } X = ( X 1 , X 2 , … ) n I n = { $n\geq 2$$X_n \mid X_{n-1}, \dots, X_{1}$$\{1, 2, \dots, 10n\} \setminus {X_1, \dots, X_{n-1}}$$X_1$$\{1,\dots, 10\}$$X = (X_1, X_2, \dots)$$n$( Ξ n , X n ) = ( I 10 n , 2 I 10 n ) 2 B B κ 1 ( Ξ 1 , X 1 ) 1 / 10 Ξ 1 n ≥ 2 ( x 1 , ... , x n - 1 ) ∈ & Xgr; 1 × $\mathcal I_n = \{1, 2, \dots, n\}$$(\Xi_n, \mathcal X_n) = (\mathcal I_{10n}, 2^{\mathcal I_{10n}})$$2^B$ bezeichnet die Potenzmenge des Satzes . Definieren Sie die Kennzahl auf , dass alle Elemente von einer Masse von . Für jedes und definieren Sie ist der Wahrscheinlichkeitskernel, der für alle Punkte in die gleiche Masse und für alle anderen Punkte die Masse Null , dh für on die ganzen Zahlen$B$$\kappa_1$$(\Xi_1, \mathcal X_1)$$1/10$$\Xi_1$$n \geq 2$ κ n ( x 1 , … , x n - 1 , ⋅ ) Ξ n ∖ { x 1 , … , x n - 1 } x i ∈ Ξ n , i = 1 , … , n - 1 X ( Ω , F , P $(x_1, \dots, x_{n-1}) \in \Xi_1 \times \dots \times \Xi_{n-1}$$\kappa_n(x_1, \dots, x_{n-1}, \cdot)$$\Xi_n \setminus \{x_1, \dots, x_{n-1}\}$$x_i \in \Xi_n, i = 1, \dots, n - 1$. Die Wahrscheinlichkeitskerne stimmen konstruktionsbedingt mit der von Ross angegebenen einheitlichen Entfernungswahrscheinlichkeit überein. Der unendliche Prozess und der Wahrscheinlichkeitsraum , dessen Existenz durch den Satz gegeben ist, geben uns also die Möglichkeit, Ross 'Argumentation formal auszuführen.$X$$(\Omega, \mathcal F, P)$

Es sei die Menge der Ergebnisse, so dass sich die Kugel in der Urne nach dem Rückzug . In Bezug auf unseren stochastischen Prozess bedeutet dies, dass wir für alle und so definieren, dass , dh der Ball wurde in keiner der Auslosungen bis einschließlich der ten entfernt. Für können wir klar definieren seit Ball noch nicht an der Wende hinzugefügt. Für jedes und die Menge i n X i n i ≤ 10 n E i n = ∩ n j = 1 { ω : X j ( ω ) ≠ i } i n i > 10 n E i n = ∅ i j i { ω : X j ( ω ) ≠ i } X j E $E_{in}$$i$$n$$X$$i$$n$$i \leq 10n$$E_{in} = \cap_{j = 1}^n\{\omega: X_j(\omega) \neq i\}$$i$$n$$i > 10n$$E_{in} = \emptyset$$i$$j$$i$$\{\omega: X_j(\omega) \neq i\}$ ist messbar, da eine Zufallsvariable ist (messbar). Somit ist messbar als die endliche Verschneidung messbarer Mengen.$X_j$$E_{in}$

Wir sind an der Ergebnismenge interessiert, sodass um 12 Uhr keine Bälle in der Urne sind. Das heißt, die Ergebnismenge ist so, dass für jede ganze Zahl Kugel um 12 Uhr nicht in der Urne ist Für jedes sei die Menge der Ergebnisse ( ), so dass der Ball um 12 Uhr in der Urne ist. Wir können formal mit unserem wie folgt konstruieren . Dass um 12.00 Uhr in der Urne bin, ist gleichbedeutend damit, dass ich nach jeder Entnahme in der Urne nachdem sie der Urne hinzugefügt wurde.i i E i & ohgr; ∈ & OHgr; i E i E i n i E i = ∩ n : i ≤ 10 n E i n E i$i = 1, 2\dots$$i$$i$$E_i$$\omega \in \Omega$$i$$E_i$$E_{in}$$i$$E_i = \cap_{n:i\leq 10n}E_{in}$. Die Ergebnismenge ist nun messbar als der zählbare Schnittpunkt von messbaren Mengen für jedes .$E_i$$i$

Die Ergebnisse, für die es um 12 Uhr mindestens eine Kugel in der Urne gibt, sind diejenigen, für die mindestens eine der , dh . Die Ergebnismenge ist messbar als abzählbare Vereinigung von messbaren Mengen. Jetzt ist der Fall, dass um 12 Uhr keine Kugeln in der Urne sind, was tatsächlich als Ergänzung eines messbaren Satzes messbar ist. Wir kommen zu dem Schluss, dass alle gewünschten Ergebnisse messbar sind und wir können, wie Ross, ihre Wahrscheinlichkeiten berechnen. E = ∪ ∞ i = 1 E i E Ω ∖ $E_i$$E = \cup_{i = 1}^\infty E_i$$E$$\Omega \setminus E$

Berechnung der Wahrscheinlichkeit$P(\Omega \setminus E)$

Wir bemerken zunächst, da die Ereignisfamilie abzählbar ist, haben wir durch abzählbare Subadditivität von Maßnahmen, dass$E_i, i = 1, 2, \dots$

P ( E i ) = a i i P ( E ) = 0 ≤ N i = 1 a i = 0 N a i = 0

$$P(E) \leq \sum_{i = 1}^\infty P(E_i) = \lim_{N\to \infty}\sum_{i = 1}^N P(E_i).$$ Zur Vereinfachung der Notation bezeichnen wir die reelle Zahl für alle . Um zu zeigen, dass , genügt es natürlich zu zeigen, dass für alle . Dies ist gleichbedeutend damit, dass für jedes , was wir jetzt tun werden.$P(E_i) = a_i$$i$$P(E) = 0$$\sum_{i = 1}^N a_i = 0$$N$$a_i = 0$$i$

Zu diesem Zweck ist zu beachten, dass für alle die Kugel zur Urne hinzugefügt wurde, dh , . Dies ist so, weil, wenn sich die Kugel in der Urne in Schritt , sie sich auch in der Urne in Schritt . Mit anderen Worten bilden die Mengen eine abnehmende Folge für alle so dass . Zur Vereinfachung der Notation sei . Ross beweist, dass als und gibt an, dass dies auch für alle andereni 10 n ≥ i E i n ⊇ E i ( n + 1 ) i n + 1 n E i n n 10 n ≥ i a i n = P ( E i n ) a 1 n → 0 n → ∞ i a i n = ∏ n k = i [ 9 $n$$i$$10n \geq i$$E_{in} \supseteq E_{i(n + 1)}$$i$$n + 1$$n$$E_{in}$$n$$10n \geq i$$a_{in} = P(E_{in})$$a_{1n} \to 0$$n \to \infty$$i$, was ich als wahr nehmen werde. Der Beweis besteht darin, dass und für alle , an elementare aber langwierige Berechnung werde ich hier nicht wiederholen. Mit diesem Ergebnis und der Tatsache, dass die Ereignisfamilie , für jedes i abzählbar ist , ergibt sich eine Kontinuität der Maßnahmenlim n → ∞ a i n = 0 i E i n 10 n > $a_{in} = \prod_{k = i}^n[9k / (9k + 1)]$$\lim_{n \to \infty}a_{in} = 0$$i$$E_{in}$$10n > i$

$$a_i = P(\cap_{n: 10n > i}E_{in}) = \lim_{n \to \infty} P(E_{in}) = \lim_{n \to \infty}a_{in} = 0.$$

Wir schließen daraus, dass und somit wie behauptet. QED.P ( Ω ∖ E ) = $P(E) = 0$$P(\Omega\setminus E) = 1$

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Einige häufige Missverständnisse:

1. Eine Antwort betrifft die Tatsache, dass (in meiner Notation) . Dies hat jedoch keinen Einfluss auf die Gültigkeit der Lösung, da die Menge auf der rechten Seite nicht für das angegebene Argument von Interesse ist.$\lim_{N \to \infty}\sum_{i = 1}^N \lim_{n \to \infty }a_{in} \neq \lim_{N \to \infty}\sum_{i = 1}^N a_{iN}$
2. Es gab Bedenken, dass das Limit nicht innerhalb der Summe verschoben werden kann oder mit anderen Worten nicht mit der Summe in dem Sinne ausgetauscht werden kann, dass es der Fall sein kann, dass . Wie bei der vorherigen Bemerkung ist dies für die Lösung irrelevant, da die Menge auf der rechten Seite nicht von Interesse ist.$\sum_{i = 1}^\infty \lim_{n \to \infty}a_{in} \neq \lim_{n \to \infty}\sum_{i = 1}^\infty a_{in}$

Einerseits könnten Sie versuchen, es so zu erklären: "Denken Sie an die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ball um 12 Uhr auf der Urne liegt. Während der unendlichen Zufallsziehung wird er schließlich entfernt. Da dies für alle Bälle gilt, gilt keiner von ihnen können am Ende da sein ".

Ich finde dieses Argument nicht überzeugend. Wenn dieses Argument funktioniert, dann funktioniert das folgende Argument: Jedes Jahr werden einige Menschen geboren (sagen wir einen konstanten Bruchteil der Gesamtbevölkerung) und einige sterben (nehmen wir einen konstanten Bruchteil an). Dann, da im Endeffekt eine bestimmte Person fast sicher tot ist, muss die Menschheit aussterben! Nun mag die Menschheit aus anderen Gründen aussterben, aber dieses Argument ist Müll.

Es macht keinen Sinn, dass dieses Problem eine Lösung hat, wenn die Bälle nummeriert sind, und eine völlig andere Antwort, wenn die Bälle anonym sind. Aus Symmetriegründen sollten beliebige Bezeichnungen die Lösung nicht beeinflussen. Jaynes nannte dieses Argument das Prinzip der Gleichgültigkeit , das ich akzeptiere.

Mit anderen Worten, wenn jemand Ihnen sagt, dass er zehn Bälle in eine Urne legt und wiederholt einen entfernt und wie voll die Urne im Limit ist, lautet Ihre Antwort "Es hängt davon ab, ob die Bälle nummeriert sind"? Natürlich nicht. Der Inhalt dieser Urne divergiert genau wie die Urne in diesem Problem.

Daher liegt die Lösung meines Erachtens darin, wie wir das Problem formalisieren. Von der üblichen Definition der satztheoretischen Grenze haben wir

lim sup n → ∞ S n = ⋂ n ≥ 1 ⋃ j ≥ n S

$$\liminf_{n \to \infty} S_n = \bigcup_{n \ge 1} \bigcap_{j \geq n} S_j.$$ $$\limsup_{n \to \infty} S_n = \bigcap_{n \ge 1} \bigcup_{j \geq n} S_j$$

Die Grenze der Kardinalität der Menge sei

$$k\triangleq \lim_{n\to\infty}|S_n|$$

und die Kardinalität der Grenze der Menge sein$\liminf$

$$l \triangleq \left|\liminf_{n\to\infty} (S_n)\right|.$$

Ich schlage vor, die mengentheoretische Grenze neu zu definieren, damit:

$$\begin{align} \lim_{n\to\infty} S_n &\triangleq \begin{cases} \liminf_{n\to\infty} (S_n) &\text{if } \liminf_{n\to\infty} (S_n) = \limsup_{n\to\infty} (S_n), k \text{ exists, and }k=l \\ \alpha_k &\text{if }\liminf_{n\to\infty} (S_n) = \limsup_{n\to\infty} (S_n), k\text{ exists, and }k \ne l \\ \text{undefined} &\text{otherwise.} \end{cases} \end{align}$$

Diese spezielle "anonyme Menge" beschreibt, was im Unendlichen passiert. So wie für das einschränkende Verhalten von Zahlen steht, steht für das einschränkende Verhalten von Mengen. Wir haben nämlich und . Der Vorteil dieses Formalismus ist, dass er uns die Kontinuität der Kardinalität und die Übereinstimmung mit dem Grundsatz der Gleichgültigkeit gibt . ∞ α i ∉ α k ∀ i | α k | = $\alpha_k$$\infty$$\alpha$$i \notin \alpha_k \forall i$$|\alpha_k| = k$

Für das Urnenproblem haben wir ist die Menge der Kugeln in der Urne. Und Daher fallen die Elemente im Unendlichen nicht von einer Klippe, was nicht mehr Sinn ergibt, als dass die Menschheit nur deshalb ausgestorben ist, weil kein Mensch unsterblich ist.$S_n = \{n+1, \dotsc, 10n\}$

$$\lim_{n\to\infty} S_n = \alpha_{\infty}.$$

Angenommen, wir ändern das Problem so, dass bei jedem Schritt eine Kugel hinzugefügt und die Kugel mit der niedrigsten Nummer entfernt wird. Wie viele Bälle sind dann in der Urne im Limit? Anonyme Sets geben die intuitive Antwort:

$$\lim_{n\to\infty}\{n\} = \alpha_1.$$

Ich erkenne, dass sich Mathematiker über Auflösungen zu diesem Paradox nicht einig sein können, aber für mich ist dies die intuitivste Auflösung.

Das Problem ist entweder schlecht oder nicht in der Logik erster Ordnung.

Grundursache: Die Ausführung des "letzten" Schritts schreibt eine unendliche Anzahl von Ziffern auf einen Ball, wodurch dieser Schritt eine unendliche Zeit in Anspruch nimmt, um ausgeführt zu werden.

Die Fähigkeit, einen unendlichen Prozess mit einem unendlichen Schritt auszuführen, impliziert die Fähigkeit, alle logischen Probleme erster Ordnung ( Gödel ist daher falsch) durch Ausführung der folgenden Sequenz H (für Satz X) zu lösen :

Z = asymptotic_coroutine(
  FOR N = 1...∞
    FOR P = 1...N
      Convert number P to string S by characters.
      IF S is a proof for theorem X
      THEN
        OUTPUT "yes" and HALT
) + asymptotic_coroutine(
  FOR N = 1...∞
    FOR P = 1...N
      Convert number P to string S by characters.
      IF S is a proof for theorem ¬X
      THEN
        OUTPUT "no" and HALT
)
IF Z = "" 
THEN Z = "independent"
IF Z = "yesno" ∨ Z = "noyes"
THEN Z = "paradox"
OUTPUT Z

Wobei der unendliche Schritt das Aufheben des Pools der Ausgabe ist

Das Programm in der asymptotischen_Koroutine ist lediglich eine erschöpfende Suche nach einem Satz, der X beweist (oder widerlegt). Die Konvertierung von P in S führt zu "aa", "ab", "ac", ... "a∨", ... Dabei wird jedes Symbol generiert, das in einem Satz vorkommen kann. Daraus ergibt sich alle Sätze der Länge log Erzeugen von _Zeichen N der Reihe nach . Da N in der äußeren Schleife unbegrenzt wächst, werden schließlich alle Sätze erzeugt.

Die Seite, die falsch ist, wird niemals enden, aber wir müssen uns nicht darum kümmern, weil wir unendlich viele Schritte ausführen dürfen. Tatsächlich sind wir darauf angewiesen, dass wir dies tun können, um die Unabhängigkeit zu erkennen, da beide Seiten niemals enden werden. Außer eine Sache. Durch asymptotische Erhöhung der Ausführungsgeschwindigkeit konnten unendlich viele Schritte in einer endlichen Zeit ausgeführt werden. Dies ist der überraschende Teil. Die asymptotische_Koroutine, die niemals beendet wird und niemals eine Ausgabe erzeugt, ist nach der asymptotischen Zeit "beendet" * und hat immer noch keine Ausgabe erzeugt.

* Wenn wir nach FOR N = 1 ... ∞ einen OUTPUT setzen, wird dieser nicht erreicht, aber wir werden das nicht tun.

Die starke Form von Gödels Unvollständigkeitssatz kann wie folgt ausgedrückt werden: "Für jedes logische System erster Ordnung F gibt es eine Aussage G _F , die in F wahr ist, in F jedoch nicht bewiesen werden kann, dass sie wahr ist." Aber die Beweismethode H kann nicht scheitern, alle wahrheitsgemäßen Aussagen in F (H) zu beweisen.

Dilemma: ¬Gödel ∨ ¬ (unendliche Schritte sind erlaubt)
Deshalb:
Dilemma: ¬Gödel ¬ (315502 ist in der Logik erster Ordnung wohlgeformt)

Sei x die Anzahl der Bälle, die entfernt wurden und y die Anzahl der verbleibenden Bälle. Nach jedem Zyklus ist y = 9x. As x> 0, y> 0. Es werden unendlich viele Bälle in der Urne um 12 Uhr sein.

Der Grund, warum auf Wahrscheinlichkeiten basierende Lösungen zu Schwierigkeiten führen, ist, dass die Wahrscheinlichkeiten aus unendlichen Reihen schwierig sind. ET Jaynes schrieb in seinem Buch Probability Theory: The Logic of Science über ein paar verschiedene scheinbare Wahrscheinlichkeitsparadoxe, wie dieses . Ich habe nicht meine Kopie zur Hand, aber der erste Teil des Buchs ist online von Larry Bretthorst verfügbar hier . Das folgende Zitat stammt aus dem Vorwort.

Aber wenn alles gesagt und getan ist, stellen wir zu unserer eigenen Überraschung fest, dass kaum mehr als eine lose philosophische Übereinstimmung übrig bleibt; In vielen technischen Fragen sind wir mit de Finetti nicht einverstanden. Uns scheint, dass seine Art, mit unendlichen Mengen umzugehen, die Büchse der Pandora mit nutzlosen und unnötigen Paradoxien geöffnet hat. Nichtkonglomerierbarkeit und endliche Additivität sind Beispiele, die in Kapitel 15 diskutiert werden.

Infinite-Set-Paradoxing ist zu einer krankhaften Infektion geworden, die sich heute auf eine Weise ausbreitet, die das Leben der Wahrscheinlichkeitstheorie bedroht und eine sofortige chirurgische Entfernung erfordert. In unserem System werden solche Paradoxien nach dieser Operation automatisch vermieden. Sie können sich nicht aus der korrekten Anwendung unserer Grundregeln ergeben, da diese Regeln nur endliche Mengen und unendliche Mengen zulassen, die sich als wohldefinierte und wohlerzogene Grenzen endlicher Mengen ergeben. Das Paradox wurde dadurch verursacht, dass (1) direkt in eine unendliche Menge gesprungen wurde, ohne dass ein einschränkender Prozess zur Definition seiner Eigenschaften angegeben wurde; und dann (2) Fragen stellen, deren Antworten davon abhängen, wie das Limit erreicht wurde.

Zum Beispiel kann die Frage: "Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine ganze Zahl gerade ist?" In (0, 1) eine beliebige Antwort haben, je nachdem, welcher einschränkende Prozess darin besteht, die "Menge aller ganzen Zahlen" zu definieren (nur als Bedingt konvergente Reihen können abhängig von der Reihenfolge, in der wir die Bedingungen vereinbaren, zu einer beliebigen Anzahl konvergiert werden.

Aus unserer Sicht kann nicht gesagt werden, dass eine unendliche Menge überhaupt „Existenz“ und mathematische Eigenschaften besitzt - zumindest in der Wahrscheinlichkeitstheorie -, bis wir den einschränkenden Prozess spezifiziert haben, der sie aus einer endlichen Menge erzeugen soll. Mit anderen Worten, wir segeln eher unter dem Banner von Gauß, Kronecker und Poincarée als unter Cantor, Hilbert und Bourbaki. Wir hoffen, dass Leser, die davon schockiert sind, die Anklage gegen Bourbakismus des Mathematikers Morris Kline (1980) studieren und dann lange genug bei uns bleiben, um die Vorteile unseres Ansatzes zu erkennen. Beispiele finden Sie in fast jedem Kapitel.

Die Verwendung von Limits in der Antwort von @enumaris (+1) bietet einen Weg, die Unendlichkeit der Wahrscheinlichkeit zu umgehen.

Was ist die beste Erklärung, die wir ihnen geben können, um diese widersprüchlichen Anschauungen zu lösen?

Hier ist die beste Antwort, und sie hat sehr wenig mit Wahrscheinlichkeiten zu tun. Alle Bälle haben Zahlen, nennen wir sie Geburtsnummern. Die Geburtszahlen beginnen bei B1, B2, B3 ... und gehen bis ins Unendliche, weil wir wirklich nie aufhören. Wir nähern uns 12:00 Uhr, fügen aber weiterhin Bälle hinzu und entfernen sie. Deshalb gibt es keine endgültige Zahl für einen Ball. Dies ist übrigens eine sehr wichtige Überlegung.

Wir legen die Bälle in 10 Bälle-Chargen in eine Schachtel, z. B. Charge Nr. 7: B71, B72, ..., B80. Vergessen wir diese für eine Minute und konzentrieren uns auf die Kugeln, die aus der Schachtel genommen werden. Sie kommen in zufälliger Reihenfolge. Ich werde später erklären, warum Zufälligkeit wichtig ist, aber im Moment bedeutet dies, dass jeder Ball mit einer Brith-Nummer von B1 bis B10k, der sich in Schritt K noch in der Box befindet, herausgezogen werden kann. Wir werden die Kugeln, die wir entfernen, in der Reihenfolge indizieren, in der sie entfernt wurden. Nennen wir sie Todesnummern: D1, D2, D3 ... DK.

Um 12:00 Uhr morgens haben wir unendlich viele Bälle in eine Schachtel gelegt, und es sind uns sicherlich nie die Bälle ausgegangen, um sie zu entfernen. Warum? Da wir zuerst 10 Bälle legen, entfernen Sie NUR einen. Es gibt also immer einen Ball zum Entfernen. Dies bedeutet, dass wir bis 12:00 Uhr auch unendlich viele Bälle entfernt haben.

Dies bedeutet auch, dass jeder entfernte Ball von 1 bis unendlich indexiert wurde, dh wir konnten jeden entfernten Ball mit einem Ball koppeln, der in die Schachtel gelegt wurde: B1 bis D1, B2 bis D2 usw. Dies bedeutet, dass wir so viele Bälle wie möglich entfernt haben wir setzten ein, weil jede Geburtsnummer mit jeder Todesnummer gepaart wurde.

Das war die Lösung. Warum besiegt es unsere Intuition? Es ist einfach, Dr. Watson. Der Grund dafür ist, dass wir sicher wissen, dass dies für alle K gilt: Deshalb sollten wir nach K Schritten nicht in der Lage sein, alle Bälle aus der Box zu entfernen, da wir 10K Bälle gelegt und nur K davon entfernt haben. Richtig?

$$K<10K$$

Es gibt ein kleines Problem. Die Sache ist, dass, wenn , dies nicht mehr wahr ist: Deshalb bricht die Intuition zusammen.$K=\infty$

$$10\times\infty\nless\infty$$

Nun, wenn die Kugeln nicht zufällig entfernt wurden. Zwei Dinge können wie in der kanonischen Antwort von @ amoeba passieren. Angenommen, wir haben zuerst 10 Bälle gelegt und dann sofort den letzten entfernt. Es ist, als würden wir nur neun Bälle einwerfen. Dies entspricht unserer Intuition, und um 00:00 Uhr wird es unendlich viele Bälle geben. Woher? Da wir die Bälle nicht zufällig entfernt haben, haben wir den Algorithmus bei dem die Geburtszahlen zum Zeitpunkt der Entfernung mit den Todeszahlen als gepaart wurden . Also haben wir jeden entfernten Ball mit einem der Bälle gepaart, die wir hineingelegt haben: . Das bedeutet, dass niemals eine Tonne Bälle mit B1, B2 gepaart wurden. .., B9, B11, ... usw.$B10K=DK$ $B10\to D1,B20\to D2,B30\to D3,\dots$

Das zweite, was bei der nicht zufälligen Ballentfernung passieren kann, hängt auch mit der Paarung bei der Entfernung zusammen: Wir korrelieren BK = DK. Wir können dies tun, indem wir bei jedem Schritt K eine Kugel mit BK entfernen, wodurch sichergestellt wird, dass BK mit DK gepaart ist. Auf diese Weise wird jeder entfernte Ball mit jedem Ball, den wir einsetzen, gepaart, dh das gleiche Endergebnis wie beim zufälligen Ziehen entfernter Bälle. Dies bedeutet natürlich, dass nach 12:00 Uhr keine Bälle mehr in der Schachtel sind.

Ich habe nur gezeigt, dass das Problem sehr wenig mit Wahrscheinlichkeiten an sich zu tun hat. Es hat alles mit Kräften von unendlich zählbaren (?) Mengen zu tun. Das einzige wirkliche Problem, das ich vermieden habe zu diskutieren, ist, ob die Mengen wirklich abzählbar sind. Sie sehen, wenn Sie sich 12:00 Uhr nähern, steigt die Rate der Kugeleinsätze, gelinde gesagt, ziemlich schnell an. Es ist also nicht so einfach zu überlegen, ob die Anzahl der Kugeln, die wir in die Schachtel legen, tatsächlich zählbar ist.

Auflösen

Jetzt werde ich diese kanonische Lösung des Paradoxons auflösen und zu unserer Intuition zurückkehren.

Wie ist es möglich, dass wir 10 Bälle einsetzen, einen entfernen und nach 12 Stunden immer noch alle Bälle aufgebraucht sind? Hier ist was wirklich passiert. 12 Stunden ist nicht erreichbar .

Lassen Sie als das Problem neu formulieren. Wir halbieren keine Zeitintervalle mehr. Wir legen und entfernen jede Minute Bälle. Ist das nicht genau das gleiche wie im ursprünglichen Problem? Ja und nein.

Ja, weil ich mich in meiner obigen Darstellung nirgendwo ausdrücklich auf die Zeit bezog, aber ganz am Ende. Ich zählte die Schritte k. Wir können also die Schritte und toten Bälle nach k zählen.

Nein, denn jetzt werden wir niemals aufhören . Wir werden weiterhin Bälle hinzufügen und entfernen, bis die Zeit abgelaufen ist, die niemals eintrifft. Während in der ursprünglichen Aufgabe ist das Ende bei 12 Stunden.

Dies erklärt, wie unsere Intuition versagt. Obwohl wir Bälle mit einer 9- fachen Entfernungsrate platzieren, weil die Zeit nie endet, wird jeder Ball, den wir einsetzen, irgendwann entfernt! Es kann unendlich viele Minuten dauern, aber es ist in Ordnung, weil wir unendlich viele Minuten übrig haben. Das ist die wahre Lösung des Problems.

Würden Sie in dieser Formulierung fragen, wie viele Bälle sich nach dem Ende der Unendlichkeit in der Schachtel befinden? Nein! Weil es eine unsinnige Frage ist. Deshalb ist die ursprüngliche Frage auch unsinnig. Oder man könnte es schlecht gestellt nennen.

Wenn Sie nun zum ursprünglichen Problem zurückkehren, passiert anscheinend das Ende der Zeit. Es ist um 12 Uhr. Die Tatsache, dass wir aufgehört haben, Bälle einzulegen, bedeutet, dass die Zeit gerade abgelaufen ist und wir das Ende überschritten haben. Die wahre Antwort auf die Frage ist also, dass es niemals 12 Uhr geben sollte. Es ist nicht erreichbar.

Es lohnt sich, die Antwort von amoeba zu lesen, die einfach hervorragend ist und das Problem sehr deutlich macht. Ich bin mit seiner Antwort nicht ganz einverstanden, möchte aber darauf hinweisen, dass die Lösung des Problems auf einer bestimmten Konvention beruht. Interessant ist, dass diese Art von Problem zeigt, dass diese Konvention, obwohl sie oft verwendet wird, fragwürdig ist.

Genau wie er sagt, gibt es einen technischen Punkt, um zu beweisen, dass für jede Kugel die Wahrscheinlichkeit, für immer in der Urne zu bleiben, 0 beträgt. Abgesehen von diesem Punkt geht es nicht um Wahrscheinlichkeiten. Ein deterministisches Äquivalent kann angegeben werden. Es ist viel einfacher zu verstehen. Die Schlüsselidee ist: Da jeder Ball irgendwann in der Urne fehlt, ist die Urne am Ende leer. Wenn Sie das Vorhandensein in der Urne jedes Balls durch eine Folge von Nullen und Einsen darstellen, ist jede Folge aus einem bestimmten Bereich 0, daher ist ihre Grenze 0.

Jetzt kann das Problem noch weiter vereinfacht werden. Ich nenne die Momente 1, 2, 3 ... der Einfachheit halber:

• moment 1: ball 1 in die urne legen
• Moment 2: Entferne es
• moment 3: ball 2 in die urne legen
• Moment 4: Entferne es
• moment 5: ball 3 in die urne legen
• ...

Welche Bälle am Ende (Mittag)? Mit der gleichen Idee, der gleichen Antwort: keine.

Aber im Grunde gibt es keine Möglichkeit zu wissen, weil das Problem nicht sagt, was am Mittag passiert. Tatsächlich ist es möglich, dass Pikachu am Ende der Zeit plötzlich in die Urne kommt. Oder vielleicht brechen alle Kugeln plötzlich zusammen und verschmelzen zu einer großen Kugel. Das bedeutet nicht, dass dies realistisch sein soll, es ist nur nicht spezifiziert.

Das Problem kann nur beantwortet werden, wenn uns eine bestimmte Konvention sagt, wie wir an die Grenze gehen sollen: eine Kontinuitätsannahme. Der Zustand der Urne am Mittag ist die Grenze ihrer Zustände vor. Wo sollten wir nach einer Kontinuitätsannahme suchen, die uns bei der Beantwortung der Frage hilft?

In physikalischen Gesetzen? Physikalische Gesetze sorgen für eine gewisse Kontinuität. Ich denke an ein vereinfachtes klassisches Modell, das nicht an die reale moderne Physik appelliert. Grundsätzlich bringen physikalische Gesetze jedoch genau dieselben Fragen mit sich wie die mathematischen: Die Art und Weise, wie wir Kontinuität für physikalische Gesetze beschreiben, hängt von der mathematischen Frage ab: Was ist kontinuierlich, wie?

Wir müssen abstrakter nach einer Kontinuitätsannahme suchen. Die übliche Idee ist, den Zustand der Urne als Funktion aus der Menge der Kugeln in . 0 bedeutet abwesend, 1 bedeutet vorhanden. Und um Kontinuität zu definieren, verwenden wir die Produkttopologie, auch Punktweise Konvergenz genannt. Wir sagen, dass der Zustand am Mittag die Grenze der Zustände vor dem Mittag gemäß dieser Topologie ist. Bei dieser Topologie gibt es ein Limit und es ist 0: eine leere Urne.$\{0;1\}$

Aber jetzt ändern wir das Problem ein wenig, um diese Topologie herauszufordern:

• moment 1: ball 1 in die urne legen
• Moment 2: Entferne es
• moment 3: ball 1 in die urne legen
• Moment 4: Entferne es
• moment 5: ball 1 in die urne legen
• ...

Für die gleiche Topologie ist die Reihenfolge der Zustände unbegrenzt. Hier sehe ich das Paradoxon als wahres Paradoxon. Für mich ist dieses modifizierte Problem im Wesentlichen dasselbe. Stellen Sie sich vor, Sie sind die Urne. Du siehst Bälle kommen und gehen. Wenn Sie die Zahl nicht lesen können, ändert es nichts daran, ob es sich um denselben oder einen anderen Ball handelt. Anstatt Bälle als einzelne unterschiedliche Elemente zu sehen, sehen Sie sie als eine Menge Materie, die ein- und ausgeht. Die Kontinuität könnte natürlich definiert werden, indem Variationen der Materiemenge betrachtet werden. Und es gibt in der Tat keine Grenzen. In gewisser Weise ist dieses Problem dasselbe wie das ursprüngliche Problem, bei dem Sie sich entscheiden, die Ballidentität zu ignorieren, was zu einer anderen Metrik und einem anderen Konvergenzbegriff führt. Und selbst wenn Sie die Zahl auf den Bällen sehen könnten,

In einem Fall ist die Grenze der Reihenfolge Ihrer Zustände "leer", in dem anderen Fall ist die Grenze undefiniert.

Die Formalisierung des Problems mit der Produkttopologie hängt im Wesentlichen davon ab, was mit den einzelnen Bällen passiert, und erstellt so eine Metrik, die die "Unterscheidbarkeit" widerspiegelt. Nur aufgrund dieser Trennung kann eine Grenze definiert werden. Die Tatsache, dass diese Trennung für die Antwort so grundlegend ist, aber nicht grundlegend für die Beschreibung des "Geschehens" in der Urne (ein Punkt, der unendlich strittig ist), lässt mich glauben, dass die Lösung eher die Konsequenz einer Konvention als eine fundamentale Wahrheit ist.

Für mich hat das Problem, wenn es als rein abstrakt betrachtet wird, eine Lösung, solange die fehlende Information vorliegt: dass der Zustand am Mittag die Grenze der vorherigen Zustände ist und in welchem ​​Sinne. Wenn Sie jedoch intuitiv über dieses Problem nachdenken, können Sie die Grenze der Folge von Zuständen nicht auf eine einzige Weise denken. Grundsätzlich glaube ich, gibt es keine Möglichkeit zu antworten.

Ich möchte eine möglichst einfache Neuformulierung vornehmen, um die Antwort von 0 intuitiver zu gestalten, ausgehend von dem vereinfachten Beispiel, dass Kugeln nicht zufällig entfernt werden, sondern Kugel im ten Schritt entfernt wird.$n$$n$

Bedenken Sie Folgendes: Ich habe zu Beginn alle Kugeln in die Urne gelegt. In Schritt 1 nehme ich Ball 1 heraus. In Schritt 2 nehme ich Ball 2 heraus und so weiter. Besteht der Zweifel, dass die Urne nach unendlichen Schritten leer sein wird?

Okay. Aber wenn ich nicht zuerst alle Bälle in die Urne lege, sondern nur einige Bälle, wie könnte die Urne am Ende voller sein?

Ziel dieses Beitrags ist es, für die letzte Option des OP zu argumentieren, dass wir eine bessere Formulierung brauchen. Zumindest ist der Ross-Beweis nicht so eindeutig, wie es auf den ersten Blick scheinen mag, und sicherlich ist der Beweis nicht so intuitiv, dass man in der Lage ist, einen Einführungskurs in die Wahrscheinlichkeitstheorie zu belegen. Es bedarf vieler Erklärungen, um die paradoxen Aspekte zu verstehen, und sobald diese Erklärungen an den Punkten geklärt sind, an denen Ross 'Beweis sehr schnell durchgeht, ist es schwierig zu erkennen, von welchen Axiomen, Theoremen und impliziten Interpretationen der Beweis abhängt.

In Bezug auf diesen Aspekt ist es sehr amüsant, Teun Koetsiers letzte Worte in "Didactiek met oneindig veel pingpongballen?" Zu lesen.

Außerdem haben wir nichts dagegen, das "Paradoxe ein Fenster zur Verwirrung" zu sagen.

Übersetzt "Wenn wir nicht vorsichtig sind, wird es 'Paradoxe ein Fenster zur Verwirrung'"

Nachfolgend finden Sie eine Beschreibung der "regulären" Argumente, die in Diskussionen über Supertasks auftreten können, und insbesondere des deterministischen Ross-Littlewood-Paradoxons. Wenn wir diese ganze Diskussion beiseite lassen, wird der Sonderfall des probabilistischen Ross-Littlewood-Paradoxons als zusätzliche Elemente betrachtet, die jedoch verloren gehen und im weiteren Kontext mit Supertasks verwechseln.

Drei deterministische Fälle und Diskussion von Supertasks

Das Ross-Littlewood-Paradoxon kennt viele verschiedene Ergebnisse, je nachdem, wie die Kugeln aus der Urne entfernt werden. Um dies zu untersuchen, verwenden wir zunächst die genaue Problembeschreibung, die Littlewood in seinem Manuskript von 1953 als fünftes Problem beschreibt

Version 1 Die in der Urne verbleibenden Kugeln sind leer

Das Ross-Littlewood-Paradoxon oder Littlewood-Ross-Paradoxon tauchte erstmals als fünftes Problem in Littlewoods Manuskript von 1953 "Eine Mathematiker-Vermischung" auf.

Ein Paradoxon der Unendlichkeit. Kugeln mit den Nummern 1, 2, ... (oder für einen Mathematiker die Nummern selbst) werden wie folgt in eine Schachtel gelegt. 1 Minute vor Mittag werden die Nummern 1 bis 10 eingegeben und die Nummer 1 wird entfernt. Um 1/2 Minute bis 12 Uhr werden die Nummern 11 bis 20 eingegeben und die Nummer 2 wird herausgenommen und so weiter. Wie viele sind mittags in der Schachtel?

Littlewood ist kurz über dieses Problem, gibt aber eine schöne Darstellung als Menge von Punkten:

$P_{1} + P_{2}+ ... + P_{10} - P_1 + P_{11} + ... + P_{20} - P_2 + ...$

für die es leicht bemerkt wird, dass es 'null' ist.

Version 2 Die Anzahl der in der Urne verbleibenden Kugeln ist unendlich groß

Ross (1976) fügt diesem Paradox zwei weitere Versionen hinzu. Zuerst schauen wir uns den ersten Zusatz an:

Angenommen, wir besitzen eine unendlich große Urne und eine unendliche Sammlung von Kugeln, die mit Kugel Nummer 1, Nummer 2, Nummer 3 usw. beschriftet sind. Man betrachte ein Experiment, das wie folgt durchgeführt wird: Um 1 Minute bis 12 Uhr werden die Kugeln mit den Nummern 1 bis 10 in die Urne gelegt und die Kugel mit der Nummer 10 wird zurückgezogen. (Nehmen Sie an, dass der Rückzug keine Zeit in Anspruch nimmt.) Zwischen 12 und 12 Uhr werden die Kugeln mit den Nummern 11 bis 20 in die Urne gelegt und die Kugel mit der Nummer 20 zurückgezogen. Von 14 Minuten bis 12 Uhr werden die Bälle mit den Nummern 21 bis 30 in die Urne gelegt und der Ball mit der Nummer 30 wird zurückgezogen. Um 18 Uhr bis 12 Uhr und so weiter. Die Frage des Interesses ist: Wie viele Bälle sind um 12 Uhr in der Urne?

Offensichtlich lautet die Antwort unendlich, da bei diesem Verfahren alle Kugeln mit den Zahlen in der Urne verbleiben, die unendlich viele sind.$x \mod 10 \neq 0$

Bevor wir zu Ross 'zweitem Zusatz übergehen, der Wahrscheinlichkeiten enthielt, gehen wir zu einem anderen Fall über.

Version 3 Die in der Urne verbleibende Menge von Kugeln ist eine endliche Menge von beliebiger Größe

Die Urne kann um 12 Uhr eine beliebige Anzahl von Kugeln haben, je nachdem, wie die Kugeln verschoben werden. Diese Variante wurde von Tymoczko und Henle (1995) als Tennisballproblem beschrieben.

Tom ist in einer großen Schachtel und außer sich selbst leer. Jim steht mit einer unendlichen Anzahl von Tennisbällen (nummeriert mit 1, 2, 3, ...) vor der Box. Jim wirft die Bälle 1 und 2 in die Schachtel. Tom nimmt einen Tennisball und wirft ihn weg. Als nächstes wirft Jim die Bälle 3 und 4 ein. Tom nimmt einen Ball und wirft ihn heraus. Als nächstes wirft Jim die Bälle 5 und 6 ein. Tom nimmt einen Ball und wirft ihn heraus. Dieser Prozess wird unendlich oft fortgesetzt, bis Jim alle Bälle eingeworfen hat. Wir bitten Sie erneut, die Erledigung einer unendlichen Anzahl von Aufgaben in einer endlichen Zeitspanne zu akzeptieren. Hier ist die Frage: Wie viele Bälle sind mit Tom in der Schachtel, wenn die Action vorbei ist?

Die Antwort ist etwas beunruhigend: Es kommt darauf an. Es wurden nicht genügend Informationen angegeben, um die Frage zu beantworten. Möglicherweise sind unendlich viele Bälle übrig, oder es sind keine mehr vorhanden.

Im Lehrbuchbeispiel argumentieren sie für die beiden Fälle, entweder unendlich oder endlich (Tymoczko und Henle belassen den Zwischenfall als Übung), das Problem wird jedoch in mehreren Zeitschriftenartikeln, in denen das Problem so verallgemeinert wird, dass wir es erhalten können, weiter ausgeführt Beliebige Anzahl, abhängig von der angewendeten Prozedur.

Besonders interessant sind die Artikel zu den kombinatorischen Aspekten des Problems (wobei der Schwerpunkt jedoch nicht auf den Aspekten im Unendlichen liegt). Zählen Sie zum Beispiel die Anzahl der möglichen Sätze, die wir jederzeit haben können. Wenn Sie 2 Bälle addieren und 1 in jedem Schritt entfernen, sind die Ergebnisse einfach und die Anzahl der möglichen Sätze im n-ten Schritt ist die n + 1-te katalanische Zahl. ZB 2 Möglichkeiten {1}, {2} im ersten Schritt, 5 Möglichkeiten {1,3} {1,4} {2,3} {2,4} und {3,4} im zweiten Schritt, 14 in die dritte, 42 in der vierten usw. (siehe Merlin, Sprugnoli und Verri 2002, Das Tennisballproblem ). Dieses Ergebnis wurde verallgemeinert auf verschiedene Anzahlen von addierenden und subtrahierenden Bällen, aber dies geht für diesen Beitrag jetzt zu weit.

Argumente basierend auf dem Konzept der Supertasks

Bevor wir zur Wahrscheinlichkeitstheorie kommen, können bereits viele Argumente gegen die deterministischen Fälle und die Möglichkeit der Vollendung der Überaufgabe vorgebracht werden. Man kann sich auch fragen, ob die Mengenlehre eine gültige Repräsentation der kinematischen Repräsentation der Supertask ist. Ich möchte nicht streiten, ob diese Argumente gut oder schlecht sind. Ich erwähne sie, um hervorzuheben, dass der Wahrscheinlichkeitsfall mit diesen 'Supertask'-Argumenten kontrastiert werden kann und zusätzliche Elemente enthält, die nichts mit Supertasks zu tun haben. Der probabilistische Fall hat ein einzigartiges und getrenntes Element (die Begründung mit der Wahrscheinlichkeitstheorie), das weder durch Argumentation gegen noch für den Fall von Supertasks bewiesen oder widerlegt wird.

• Kontinuitätsargumente : Diese Argumente sind oft konzeptioneller. Zum Beispiel die Idee, dass der Supertask nicht beendet werden kann, wie Aksakal und Joshua in ihren Antworten argumentieren, und eine klare Demonstration dieser Vorstellungen ist Thomsons Lampe , die im Fall des Ross Littlewood-Paradoxons wie eine Frage die letzte war, die entfernt wurde Zahl gerade oder ungerade?

• Physikalische Argumente: Es gibt auch Argumente, die die mathematische Konstruktion als relevant für die physikalische Realisierung des Problems herausfordern. Wir können eine rigorose mathematische Behandlung eines Problems haben, aber es bleibt die Frage, ob sich dies wirklich auf die mechanistische Ausführung der Aufgabe auswirkt (jenseits der simplen Begriffe wie das Durchbrechen bestimmter Barrieren der physischen Welt als Geschwindigkeitsbegrenzungen oder Energie- / Platzanforderungen). .

  • Ein Argument könnte sein, dass die satztheoretische Grenze ein mathematisches Konzept ist, das nicht unbedingt die physikalische Realität beschreibt

    Betrachten Sie zum Beispiel das folgende andere Problem: Die Urne hat eine Kugel, in der wir uns nicht bewegen. Bei jedem Schritt löschen wir die zuvor auf den Ball geschriebene Nummer und schreiben eine neue, niedrigere Nummer darauf. Ist die Urne nach unendlich vielen Schritten leer? In diesem Fall erscheint es etwas absurder, die Mengenbegrenzung (die leere Menge) zu verwenden. Diese Grenze ist eine gute mathematische Überlegung, aber repräsentiert sie die physikalische Natur des Problems? Wenn wir zulassen, dass Bälle aus Urnen aufgrund abstrakter mathematischer Überlegungen verschwinden (was vielleicht eher als ein anderes Problem angesehen werden sollte), können wir dann auch die gesamte Urne verschwinden lassen?

  • Auch die Unterscheidung der Bälle und ihre Zuordnung zu einer Reihenfolge erscheint "unphysisch" (dies ist für die mathematische Behandlung von Mengen relevant, aber verhalten sich die Bälle in der Urne wie diese Mengen?). Wenn wir die Bälle bei jedem Schritt neu mischen würden (z. B. bei jedem Schritt wird zufällig ein Ball aus dem abgelegten Stapel gegen einen Ball aus dem verbleibenden Stapel unendlicher Bälle ausgetauscht), und dabei die Nummerierung entweder nach dem Zeitpunkt der Eingabe der Urne oder nach der Zahl, die sie erhalten haben, vergessen von anfang an sind dann die argumente auf grundlage der satztheoretischen grenzen sinnlos, weil die sätze nicht konvergieren (es gibt keine stabile lösung, wenn ein ball aus der urne geworfen wurde, kann er wieder zurückkehren).

    Aus der Perspektive der Ausführung der physischen Aufgaben des Füllens und Entleerens der Urne scheint es egal zu sein, ob wir Zahlen auf den Kugeln haben oder nicht. Dies macht die Mengenlehre eher zu einem mathematischen Gedanken über unendliche Mengen als zu einem tatsächlichen Prozess.

Wie auch immer, wenn wir darauf bestehen, diese unendlichen Paradoxien zu didaktischen Zwecken zu verwenden, und bevor wir zur Wahrscheinlichkeitstheorie gelangen, müssen wir zuerst darum kämpfen, eine akzeptable Vorstellung von (bestimmten) Supertasks zu bekommen, die von den Skeptischsten / Hartnäckigsten akzeptiert werden Denker, dann könnte es interessant sein, die Entsprechung zwischen dem Zeno-Paradoxon und dem Ross-Littlewood-Paradoxon zu verwenden, die von Allis und Koetsier (1995) beschrieben und im Folgenden kurz beschrieben werden.

In ihrer Analogie versucht Achilles, die Schildkröte einzuholen, während beide Flaggen überqueren, die so platziert sind, mit einem Abstand so dass der Abstand von Achilles mit Flaggen ist die doppelte Entfernung der Schildkröte mit Flags, nämlich . Dann bis 12 Uhr. Der Unterschied in den Flaggen, die die Schildkröte und Achilles hinter sich haben werden, wächst . Aber irgendwann um 12 Uhr würde niemand außer den Eleatern behaupten, dass Achilles und die Schildkröte den gleichen Punkt erreicht haben und (also) keine Flaggen dazwischen haben.

$$F(n)=2^{-10 \log n}$$ $n$$10n$$F(n) = 2 F(10n)$

Der probabilistische Fall und wie er dem Problem neue Aspekte hinzufügt.

Die zweite von Ross (in seinem Lehrbuch) hinzugefügte Version entfernt die Kugeln auf der Grundlage einer zufälligen Auswahl

Nehmen wir nun an, dass wann immer ein Ball zurückgezogen werden soll, dieser Ball zufällig aus den Anwesenden ausgewählt wird. Nehmen wir also an, dass zwischen 1 Minute und 12 Uhr Kugeln mit den Nummern 1 bis 10 in die Urne gelegt werden und eine Kugel zufällig ausgewählt und zurückgezogen wird, und so weiter. In diesem Fall, wie viele Bälle sind um 12 Uhr in der Urne?

Ross Lösung ist, dass die Wahrscheinlichkeit 1 ist, dass die Urne leer ist. Obwohl Ross 'Argumentation fundiert und rigoros erscheint, könnte man sich fragen, welche Art von Axiomen dafür notwendig sind und welche der verwendeten Theoreme durch implizite Annahmen, die in diesen Axiomen möglicherweise nicht begründet sind, unter Druck gesetzt werden könnten (zum Beispiel die Voraussetzung, dass den Ereignissen am Mittag können Wahrscheinlichkeiten zugeordnet werden).

Ross 'Berechnung ist kurz gesagt eine Kombination aus zwei Elementen, die das Ereignis einer nicht leeren Urne in zählbar viele Teilmengen / Ereignisse aufteilt und beweist, dass für jedes dieser Ereignisse die Wahrscheinlichkeit Null ist:

1. Für , das Ereignis, dass Ball Nummer um 12 Uhr in der Urne ist, haben wir$F_i$$i$$P(F_1) = 0$

2. Für haben wir die Wahrscheinlichkeit, dass die Urne um 12 Uhr nicht leer ist$P(\bigcup_1^\infty F_i)$

   $P(\bigcup_1^\infty F_i) \leq \sum_1^\infty P(F_i) = 0$

Der probabilistische Fall des Ross-Littlewood-Paradoxons, ohne über Supertasks nachzudenken

In der nacktesten Form des Paradoxons können wir uns über das "einfachere" Problem des Subtrahierens unendlicher Mengen wundern, wenn wir es von irgendwelchen Problemen mit der Ausführung von Supertasks befreien. Zum Beispiel in den drei Versionen erhalten wir:

$$\begin{array} \\ S_{added} &= \lbrace 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 \rbrace + \lbrace10k \text{ with } k \in \mathbb{N} \rbrace \\ S_{removed,1} &= \lbrace k \text{ with } k \in \mathbb{N} \rbrace \\ S_{removed,2} &= \lbrace 10k \text{ with } k \in \mathbb{N} \rbrace \\ S_{removed,3} &= \lbrace k \text{ with } k \in \mathbb{N} \rbrace \setminus \lbrace a_1,a_2,a_3,... \text{ with } a_i \in \mathbb{N} \rbrace \end{array}$$

und das Problem reduziert sich auf eine wie .$S_{added}-S_{removed,1} = \emptyset$

Jede unendliche Folge, , ist eine (ebenso) mögliche Folge, die die Reihenfolge beschreibt, in der die Kugeln in einer probabilistischen Realisierung des Ross entfernt werden können -Littlewood Problem. Nennen wir diese unendlichen Folgen RL-Folgen.$S_{RL} =\lbrace a_k \text{ without repetitions and } a_k < 10k \rbrace$

Die allgemeinere Frage, ohne das paradoxe Argument für Supertasks, betrifft die Dichte von RL-Sequenzen, die nicht die gesamte Menge enthalten.$\mathbb{N}$

Eine grafische Darstellung des Problems.

verschachtelt, fraktal, struktur

Vor der überarbeiteten Version dieser Antwort hatte ich ein Argument angeführt, das die Existenz einer injektiven Karte von "den unendlichen Sequenzen, die die Urne leeren" bis zu "den unendlichen Sequenzen, die die Zahl 1 nicht enthalten" verwendete.

Das ist kein gültiges Argument. Vergleichen Sie zum Beispiel mit der Dichte der Menge der Quadrate. Es gibt unendlich viele Quadrate (und es gibt die bijektive Beziehung und ), aber die Menge der Quadrate hat die Dichte Null in .$n \mapsto n^2$$n^2 \mapsto n$$\mathbb{N}$

Das Bild unten zeigt besser, wie mit jedem zusätzlichen Schritt die Wahrscheinlichkeit von Ball 1 in der Urne abnimmt (und wir können dasselbe für alle anderen Bälle argumentieren). Obwohl die Kardinalität der Teilmenge aller RL-Sequenzen (die Sequenzen der verschobenen Bälle) gleich der Kardinalität aller RL-Sequenzen ist (das Bild zeigt eine Art fraktale Struktur und der Baum enthält unendlich viele Kopien von sich selbst).

Wachstum des Probenraums, Anzahl der Pfade

Das Bild zeigt alle möglichen Realisierungen für die ersten fünf Schritte mit dem Schema für das Tennisballproblem (das Tennisballproblem, jeder Schritt: Addiere 2, entferne 1, wächst weniger schnell und ist einfacher anzuzeigen). Die türkisfarbenen und violetten Linien zeigen alle möglichen Pfade an, die sich entfalten könnten (stellen Sie sich vor, wir werfen bei jedem Schritt einen Würfel der Größe und wählen basierend auf dem Ergebnis einen der Pfade oder mit anderen Worten basierend auf den Ergebnissen wir entfernen eine der Kugeln in der Urne).$n$$n+1$$n+1$$n+1$

Die Anzahl der möglichen Urnenzusammensetzungen (die Kästchen) steigt mit der n + 1-ten katalanischen Zahl und die Gesamtzahl der Pfade mit der Fakultät. Für den Fall der Urnenkompositionen mit Ball Nummer 1 innen (dunkelgrau gefärbt) und den Pfaden, die zu diesen Kästchen führen (lila), entfalten sich die Zahlen genau gleich, diesmal ist es jedoch die n-te katalanische Zahl und die Fakultät.$C_{n+1}$$(n+1)!$$n!$

Dichte von Pfaden , die Kugel verlassen innen$n$

Für die Pfade, die zu einer Urne mit der Ballnummer 1 führen, ist die Dichte Und nimmt ab, wenn größer wird. Obwohl es viele Erkenntnisse gibt, die dazu führen, dass die Kugel in der Schachtel gefunden wird, nähert sich die Wahrscheinlichkeit Null (ich würde behaupten, dass dies nicht unmöglich ist, aber mit ziemlicher Sicherheit nicht geschieht, und der Haupttrick in Ross 'Argument ist, dass Die Vereinigung von zählbaren vielen Nullereignissen ist ebenfalls ein Nullereignis.$\frac{(n)!}{(n+1)!}$$n$$n$

Beispiel für Pfade für die ersten fünf Schritte bei Tennisballproblemen (jeder Schritt: Addiere 2, entferne 1)

Ross 'Argumente für eine mit Sicherheit leere Urne.

Ross definiert die Ereignisse (Teilmengen des Probenraums), , dass sich eine Kugel mit der Nummer in der Urne in Schritt . (In seinem Lehrbuch lässt er den Index weg und argumentiert für Ball 1).$E_{in}$$i$$n$$i$

Beweis Schritt 1)

Ross benutzt seinen Satz 6.1. zum Erhöhen oder Verringern von Ereignisfolgen (z. B. entspricht das Verringern ).$E_1 \supset E_2 \supset E_3 \supset E_4 \supset ...$

Behauptung 6.1: Wenn es sich bei um eine zunehmende oder abnehmende Folge von Ereignissen handelt, dann ist$\lbrace E_n, n\geq 1 \rbrace$

$$\lim_{n \to \infty} P(E_n) = P(\lim_{n \to \infty} E_n)$$

Unter Verwendung dieses Satzes gibt Ross an, dass die Wahrscheinlichkeit für die Beobachtung von Ball um 12 Uhr (das ist das Ereignis ) gleich ist$i$$lim_{n \to \infty} E_{in}$

$$lim_{n \to \infty} P (E_{in})$$

Allis und Koetsier argumentieren, dass dies eine dieser impliziten Annahmen ist. Der Supertask selbst impliziert nicht (logisch), was um 12:00 Uhr passiert, und für die Lösung des Problems müssen implizite Annahmen getroffen werden. In diesem Fall können wir das Prinzip der Kontinuität für die Menge der Kugeln in der Urne verwenden, um zu bestimmen, was passiert im Unendlichen. Wenn eine (mengentheoretische) Grenze bis ins Unendliche ein bestimmte Wert ist, dann im Unendlichen wir werden diesen bestimmten Wert haben (es kann kein plötzlicher Sprung sein).

Eine interessante Variante des Ross-Littlewood-Paradoxons ist, wenn wir auch zufällig Bälle zurückgeben, die zuvor weggeworfen wurden. Dadurch kommt es nicht zu einer Konvergenz (wie bei Thomsons Lampe) und wir können die Grenze der Folgen nicht so einfach definieren (was nicht mehr abnimmt).$E_{in}$

Beweis Schritt 2)

Das Limit wird berechnet. Dies ist ein einfacher algebraischer Schritt.

$$lim_{n \to \infty} P (E_{in}) = \prod_{k=i}^{\infty} \frac{9k}{9k+1} = 0$$

Beweis Schritt 3)

Es wird argumentiert, dass Schritt 1 und 2 durch eine einfache Anweisung für alle funktionieren$i$

„ In ähnlicher Weise können wir diese zeigen für alle “$P(F_i)=0$$i$

wo das Ereignis ist , dass Ball aus der Urne genommen wurde , wenn wir 12.00 erreicht$F_i$$i$

Dies mag zwar zutreffen, wir mögen uns jedoch über den Produktausdruck wundern, dessen niedrigerer Index jetzt unendlich ist:

$$lim_{i \to \infty}(lim_{n \to \infty} P (E_{in})) = lim_{i \to \infty}\prod_{k=i}^{\infty} \frac{9k}{9k+1} = ... ?$$

Ich habe nicht so viel dazu zu sagen, außer dass ich hoffe, dass mir jemand erklären kann, ob es funktioniert.

Es wäre auch schön, intuitivere Beispiele für den Gedanken zu erhalten, dass die abnehmenden Folgen , die für Satz 6.1 erforderlich sind, nicht alle können Beginnen Sie mit dem Schrittzahlindex , der gleich 1 ist. Dieser Index sollte bis unendlich ansteigen (das ist nicht nur die Anzahl der Schritte, die unendlich werden, sondern auch die zufällige Auswahl des zu verwerfenden Balls, die unendlich wird und die Anzahl der Bälle, für die wir die Grenze einhalten, wird unendlich). Während diese Technik möglicherweise angegangen wird (und möglicherweise bereits in den anderen Antworten implizit oder explizit ausgeführt wurde), kann eine gründliche und intuitive Erklärung sehr hilfreich sein.$E_{in}, E_{in+1}, E_{in+2}, ...$$n$

In diesem Schritt 3 wird es eher technisch, während Ross sehr kurz ist. Ross setzt die Existenz eines Wahrscheinlichkeitsraums voraus (oder ist darüber zumindest nicht explizit), in dem wir diese Operationen im Unendlichen anwenden können, genauso wie wir die Operationen in endlichen Teilräumen anwenden können.

Die Antwort von ekvall liefert eine Konstruktion unter Verwendung des Erweiterungssatzes von Ionescu-Tulcea , die zu einem unendlichen Produktraum in dem wir die Ereignisse durch das unendliche Produkt der Wahrscheinlichkeitskerne ausdrücken können , was zu .$\sum_{k=0}^\infty \Omega_i \bigotimes_{k=0}^\infty \mathcal{A}_i$$P(E_i)$$P=0$

Es ist jedoch nicht in einem intuitiven Sinne buchstabiert. Wie können wir intuitiv zeigen, dass der Ereignisraum funktioniert? Dass es sich bei der Ergänzung um die Nullmenge handelt (und nicht um eine Zahl 1 mit unendlich vielen Nullen, wie es die Lösung in der angepassten Version des Ross-Littlewood-Problems von Allis und Koetsier ist) und dass es sich um einen Wahrscheinlichkeitsraum handelt?$E_{i}$

Beweis Schritt 4)

Die Ungleichung von Boole wird verwendet, um den Beweis abzuschließen.

$$P\left( \bigcup_1^\infty F_i \right) \leq \sum_1^\infty P(F_i) = 0$$

Die Ungleichung wird für Mengen von Ereignissen bewiesen, die endlich oder unendlich zählbar sind. Dies gilt für das .$F_i$

Dieser Beweis von Ross ist kein Beweis im konstruktivistischen Sinne. Anstatt zu beweisen, dass die Wahrscheinlichkeit fast 1 ist, dass die Urne um 12 Uhr leer ist, beweist dies, dass die Wahrscheinlichkeit fast 0 ist, dass die Urne mit einer Kugel mit einer endlichen Zahl gefüllt ist.

Erinnerung

Das deterministische Ross-Littlewood-Paradox enthält explizit die leere Menge (so begann dieser Beitrag). Dies macht es weniger überraschend, dass die probabilistische Version mit der leeren Menge endet und das Ergebnis (ob es wahr ist oder nicht) weniger paradox ist als die nicht-probabilistischen RL-Versionen. Ein interessantes Gedankenexperiment ist die folgende Version des RL-Problems:

• Stellen Sie sich vor, Sie beginnen mit einer Urne, die mit unendlich vielen Bällen gefüllt ist, und beginnen damit, Bälle nach dem Zufallsprinzip wegzuwerfen. Wenn dieser Supertask endet, muss er die Urne logisch leeren. Denn wenn es nicht leer wäre, hätten wir weitermachen können. (Dieses Gedankenexperiment dehnt jedoch die Vorstellung einer Supertask aus und hat ein vage definiertes Ende. Ist es, wenn die Urne leer ist oder wenn wir 12 Uhr erreichen?)

Es ist etwas Unbefriedigendes an der Technik von Ross 'Beweis, oder es könnte zumindest eine bessere Intuition und Erklärung mit anderen Beispielen erforderlich sein, um die Schönheit des Beweises voll zu würdigen. Die 4 Schritte zusammen bilden einen Mechanismus, der verallgemeinert und möglicherweise angewendet werden kann, um viele andere Paradoxe zu erzeugen (obwohl ich versucht habe, habe ich es nicht geschafft).

Möglicherweise können wir einen Satz so generieren, dass für jeden anderen geeigneten Probenraum, dessen Größe gegen unendlich zunimmt (der Probenraum des RL-Problems hat ). Wenn wir eine abzählbare Menge von Ereignissen definieren können, die eine abnehmende Folge mit einer Grenze von 0 sind, wenn der Schritt zunimmt, dann geht die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses, das die Vereinigung dieser Ereignisse ist, gegen Null, wenn wir uns der Unendlichkeit nähern. Wenn wir die Vereinigung der Ereignisse zum gesamten Raum machen können (im RL-Beispiel war die leere Vase nicht in der Vereinigung enthalten, deren Wahrscheinlichkeit gegen Null geht, sodass kein schwerwiegendes Paradoxon auftrat), können wir ein schwerwiegendes Paradoxon erstellen, das herausfordert die Konsistenz der Axiome in Kombination mit dem transfiniten Abzug.$card(2^\mathbb{N})$$E_{ij}$$j$

• Ein solches Beispiel (oder ein Versuch, darauf zu kreieren) ist das unendlich oftige Teilen eines Brotes in kleinere Stücke (um die mathematischen Bedingungen zu erfüllen, nehmen wir an, wir teilen die Stücke nur in Stücke, die die Größe einer positiven rationalen Zahl haben). Für dieses Beispiel können wir Ereignisse definieren (in Schritt x haben wir ein Stück der Größe x), bei denen es sich um abnehmende Sequenzen handelt und die Wahrscheinlichkeitsgrenze für die Ereignisse auf Null geht (ebenso wie das RL-Paradoxon treten die abnehmenden Sequenzen nur weiter und weiter auf) weiter in der Zeit, und es gibt punktweise, aber nicht und einheitliche Konvergenz).

  Wir müssten zu dem Schluss kommen, dass das Brot verschwunden ist , wenn wir diesen Supertask beendet haben . Wir können hier in verschiedene Richtungen gehen. 1) Wir könnten sagen, dass die Lösung die leere Menge ist (obwohl diese Lösung viel weniger angenehm ist als im RL-Paradoxon, da die leere Menge nicht Teil des Probenraums ist) 2) Wir könnten sagen, dass es unendlich viele undefinierte Teile gibt ( zB die Größe unendlich klein) 3) oder müssten wir (nachdem wir Ross 'Beweis erbracht und festgestellt haben, dass er leer ist) zu dem Schluss kommen, dass dies keine Supertask ist, die abgeschlossen werden kann? Dass der Gedanke, einen solchen Supertask abzuschließen, gemacht werden kann, aber nicht unbedingt "existiert" (eine Art Russell-Paradoxon).

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Ein Zitat von Besicovitch aus Littlewoods Sammlung:

"Der Ruf eines Mathematikers beruht auf der Anzahl der schlechten Beweise, die er gegeben hat".

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Allis, V., Koetsier, T. (1995), Über einige Paradoxe des Unendlichen II , The British Journal for the Philosophy of Science , S. 235-247

Koetsier, T. (2012), Didactiek traf oneindig veel pingpongballen, Nieuw Archief voor Wiskunde , 5/13 nr4, S. 258-261 ( Niederländisches Original , Übersetzung ist über Google und andere Methoden möglich)

Littlewood, JE (1953), Eine Mathematikersammlung , S. 5 ( kostenloser Link über archive.org )

Merlin, D., Sprugnoli, R. und Verri MC (2002), The tennis ball problem , Journal of Combinatorial Theory , S. 307-344

Ross, SM (1976), Ein erster Kurs in Wahrscheinlichkeit , (Abschnitt 2.7)

Tymoczko, T. und Henle, J. (1995 original) ( 1999 2. Auflage Verweis auf Google ), Sweet Reason: Ein Feldführer zur modernen Logik

OK, ich werde es noch einmal versuchen.

Die Antwort ist, dass das Paradox rein mathematisch ist. Die Antworten von Enumaris und cmaster geben Aufschluss darüber, was auf eine Art und Weise vor sich geht, aber dies ist eine andere Art und Weise, das Problem zu erkennen. Das Problem ist, wie wir mit Wahrscheinlichkeiten mit Unendlichkeiten umgehen, über die Jaynes geschrieben hat (siehe meine andere versuchte Antwort für Details).

Eine unendliche Reihe wird normalerweise so behandelt, als hätte sie kein Ende, aber in diesem Problem gibt es eine Endzeit (12 Uhr morgens), und daher gibt es logischerweise, auch wenn dies nicht mathematisch ist, einen letzten Zyklus des Hinzufügens und Entfernens von Kugeln: denjenigen, der passiert unendlich vor 12 Uhr. Die Existenz eines 'letzten' Zyklus erlaubt es uns, die Wahrscheinlichkeiten im Laufe der Zeit sowohl rückwärts als auch vorwärts zu betrachten.

Betrachten Sie die zehn zuletzt hinzugefügten Bälle. Für jeden von ihnen ist ihre Wahrscheinlichkeit, entfernt zu werden, Null, weil sie jeweils nur eine von unendlich vielen Kugeln sind, die entfernt werden könnten. Somit ist die Wahrscheinlichkeit, dass um 12 Uhr morgens noch mindestens zehn Bälle übrig sein werden, eins.

QED. Ein probabilistisches Argument, das nicht zu Unsinn führt.

Vor kurzem veranlassten mich mehrere Kommentare von Wilhelm, Wolfgang Mückenheim, bestimmte Formulierungen in meiner Antwort zu überdenken. Ich poste dies als eine neue Antwort, hauptsächlich, weil der unterschiedliche Ansatz dieser Antwort nicht über die Lehre dieses Problems diskutiert, sondern über die Ungültigkeit des Paradoxons.

Wilhelm bespricht in seinem langen Manuskript, dass

Transaktionen sind nur in endlichen Schritten (es ist keine Aktion "zwischen allen und " möglich).$n$$n$$\omega$

Das erinnerte mich an den Begriff

$$\sum_{k=1}^\infty \prod_{n=k}^\infty \left( \frac{9n}{9n+1} \right)$$

was von Ross 'Arbeit abgeleitet ist. Dieser Begriff ist unbestimmt, wenn der Pfad zur Unendlichkeit für die folgende Grenze nicht definiert ist.

$$\lim_\limits{(l,m)\to(\infty,\infty)}\sum_{k=1}^l\prod_{n=k}^m\left(\frac{9n}{9n+1}\right)$$

Dies scheint dem Punkt zu ähneln, den Wilhelm diskutiert und der auch in Aksakals Antwort erwähnt wird. Die Schritte in der Zeit werden unendlich klein, so dass wir in diesem Sinne 12 Uhr erreichen können, aber wir müssen gleichzeitig eine (unphysische) unendliche Anzahl von Bällen hinzufügen und entfernen. Es ist eine falsche Idee, diesen Supertask an einen Prozess wie Zenos Pfeil anzuhängen, genau wie der Schalter von Thompsons paradoxer Lampe am Ende eines Supertask keine bestimmte Position haben kann.

In Bezug auf die Grenze können wir sagen, dass der physische Weg zur Unendlichkeit, den wir nehmen, ist

$$\lim_\limits{l\to \infty}\sum_{k=1}^l\prod_{n=k}^l\left(\frac{9n}{9n+1}\right) = \lim_\limits{l\to \infty} \frac{9l}{10}$$

also nicht null sondern unendlich.

Ich glaube, dass dieses Beispiel unterstützt "wenn die Prämisse falsch ist, dann ist die Bedingung wahr"

In diesem Universum gibt es keine unendlichen Urnen und keine unendliche Ansammlung von Kugeln. Es ist unmöglich, die Zeit in willkürlich kleine Stücke zu teilen.

Daher hat Sheldon Ross zu Recht gesagt, dass die Urne um 12:00 Uhr leer ist. Studenten, die sagen, dass die Urne um 12:00 Uhr unendlich viele Bälle hat, sind genau so richtig.

Wenn Sie geantwortet haben, dass die Urne 50 Bälle hat, haben Sie auch Recht.

Ich habe nicht konsequent bewiesen, dass dieses Universum keine unendlichen Urnen und unendlichen Kugeln enthält und dass die Zeit nicht atomar ist - ich glaube nur an diese Dinge. Wenn Sie glauben, dass diese drei Behauptungen falsch sind, dann glauben Sie, dass das Problem von Ross empirisch fälschbar ist. Ich warte auf Ihre experimentellen Ergebnisse.

Ich unterstütze die Meinung, dass das Problem schlecht gestellt ist. Wenn wir etwas Transfinites betrachten, müssen wir oft ein Limit verwenden. Hier scheint es der einzige Weg zu sein. Da wir verschiedene Bälle unterscheiden, haben wir einen unendlich dimensionalen Prozess wobei steht für die Zeit, wenn zum Zeitpunkt der Ball vorhanden ist und ansonsten.T = - 1 , - 1 / 2 , - 1 / 4 , . . . X t , j = 1 j t + 0 X t , j =

$$(X_{t,1}, X_{t,2},...),$$ $t=-1,-1/2,-1/4,...$$X_{t,j}=1$$j$$t+0$$X_{t,j}=0$

Jetzt liegt es im Ermessen jedes , welche Konvergenz verwendet wird: einheitlich, komponentenweise, usw. Die Antwort hängt von der Wahl ab.$l_p$

Das Missverständnis bei diesem Problem beruht auf der Vernachlässigung der Tatsache, dass metrische Probleme von entscheidender Bedeutung sind, wenn wir die Konvergenz unendlich-dimensionaler Vektoren betrachten. Ohne Auswahl der Art der Konvergenz kann keine korrekte Antwort gegeben werden.

(Es gibt eine komponentenweise Konvergenz zum Nullvektor. Während die Norm die Anzahl der Bälle zählt, explodiert der Prozess in dieser Norm.)$l_1$

Mehr Intuition als formale Bildung, aber:

Wenn sich die Intervalle bis Mitternacht halbieren, erreichen wir niemals Mitternacht ... wir nähern uns nur asymptotisch; man könnte so argumentieren , dass es ist keine Lösung.

Alternativ je nach Formulierung:

• da es unendlich viele Intervalle von +10 Bällen gibt, ist die Antwort unendlich
• da es unendlich viele Intervalle von (+10 Bälle - 1) gibt, ist die Antwort 10 * unendlich -1 * unendlich = 0?
• da es unendlich viele Intervalle von (+9 Bälle) +1 gibt, ist die Antwort unendlich + 1

Rewrite: 16. Januar 2018

Abschnitt 1: Gliederung

Die grundlegenden Ergebnisse dieses Beitrags lauten wie folgt:

• Der Halfway Ball hat eine Wahrscheinlichkeit von ca. im Grenzbereich zu bleiben, wenn der Schritt auf - dies ist sowohl eine Beobachtung der realen Welt als auch eine mathematische Ableitung. Die abgeleitete Funktion hat einen Bereich der Rationalen in . Beispielsweise entspricht die Wahrscheinlichkeit in der Grenze der verbleibenden Halbkugel dem Bereichswert . Diese Funktion kann die Wahrscheinlichkeit des Verbleibens für einen beliebigen Bruchteil von berechnet werden die Schrittweite.∞ ( 0 , 1 ] 1 /$0.91$$\infty$
  $(0,1]$$1/2$
• Die Analyse von Ross ist nicht falsch, aber unvollständig, da sie versucht, die Rationalitäten in der Größenordnung zu iterieren . Die Rationen können nicht in der Größenordnung wiederholt werden. Daher kann die Analyse von Ross nicht auf die gesamte Domäne zugreifen und nur eine eingeschränkte Sicht auf das Gesamtverhalten bieten.$\left(i,\infty\right), i=1..\infty$
  
• Ross 'Analyse hat jedoch ein besonderes beobachtbares Verhalten: Im Grenzfall ist es nicht möglich, durch serielle Iteration von 1 zum ersten verbleibenden Ballset zu gelangen.
• Ross 'Grenzwertsequenzen haben einige schöne überzeugende Eigenschaften, die intuitiv einzigartig erscheinen.
  Wir zeigen jedoch einen anderen Satz von Grenzwertsequenzen, die dieselben schönen Eigenschaften erfüllen und die Werte für unsere Funktion angeben.

Abschnitt 2 "Notation und Terminologie" behandelt die in diesem Beitrag verwendete Notation und Terminologie.

Abschnitt 3 "The Halfway Ballset" führt eine Beobachtung der realen Welt ein - die Konvergenz in der Grenze der Wahrscheinlichkeit des Verbleibens eines Balls, dessen Index die Hälfte aller eingefügten Bälle ist. Dieser Grenzwert liegt bei 91%. Der Fall des Halfway-Ballsets wird auf ein beliebiges Rational in verallgemeinert , das alle Grenzwerte ungleich Null aufweist. $(0,1]$

Abschnitt 4 "Resolution of the Paradox" bietet einen einheitlichen Rahmen für die Einbeziehung des Ross-Ergebnisses und des Rational-Domain-Ergebnisses (hier beschrieben). Wie bereits erwähnt, bietet Ross 'Analyse nur einen begrenzten Überblick über das Gesamtverhalten. Somit wird die Quelle des Paradoxons identifiziert und gelöst.

Im Anhang werden einige andere, weniger wichtige Ergebnisse besprochen:

• "Expectations in the limit" berechnet die erwartete Anzahl der verbleibenden Bälle, einschließlich aller Bruchteile der Schrittgröße.
• Eine Folge dieses Ergebnisses ist die Bestimmung des Index des ersten Balls, von dem erwartet wird, dass er größer als eins bleibt.

Abschnitt 2: Notation und Terminologie

• Wir bezeichnen die in Schritt eingefügten als und nennen diese Menge das te "Ballset". Ballset ist ein Wort, das für diesen Beitrag erstellt wurde. Diese Terminologie weicht bedauerlicherweise von Ross 'Terminologie ab, macht den Text aber auch viel klarer und kürzer.{ n 0,1 , n 0,2 , n 0,3 , . . . . . n .10 $n$$\{n.1, n.2, n.3, ..... n.10\}$$n$
  
• Die Notation bezieht sich auf den Fall, dass der Ball im Ballset in Schritt verbleibt und die anderen Bälle im Ballset ignoriert werden.$E(a,b)$a $a.1$$a$$b$
• Die Notation ist eine Abkürzung für und bezieht sich auf die Wahrscheinlichkeit von . Beachten Sie, dass alle Bälle im Ballset die gleiche Restwahrscheinlichkeit haben. - Der Wert von ist .$P(a,b)$$P(E(a,b))$$E(a,b)$
  $a.i$$a$
  $P(E(a,b))$$\prod_{k=a}^{b} \frac{9k}{(9k+1)}$
• Die Ross-Grenze ist die Wahrscheinlichkeit wenn gegen unendlich geht: -$P(a)$$P(a,b)$$b$
  $P_{lim1}(a) = \lim_{b\rightarrow\infty} P(a,b)$
• Die rationale-Grenze wird als die Grenze als die beiden Kugel Index definiert und Schritt bis ins Unendliche gehen , während konstantes Verhältnis beibehalten wird : -$a$$b$$P_{lim2}(a,b) = \lim_{k\rightarrow\infty} P(ka,kb)$

Abschnitt 3: Das Halfway-Ballset

Bei jedem geraden Schritt wird das Halfway-Ballset als das te Ballset definiert. Bei jedem geraden Schritt wird die Halbwertswahrscheinlichkeit des Verbleibens als . In der Grenze als ist die halbe Wahrscheinlichkeit des Verbleibens daher . Der folgende Satz 1 gibt einen numerischen Wert für die Halbwertswahrscheinlichkeit des Verbleibens an.$2n$$n$$2n$$P(n,2n)$
$n\rightarrow\infty$$\lim_{n\rightarrow\infty} P(1*n,2*n)$

Satz 1 - Wahrscheinlichkeitsgrenze von Elementen in einer verhältniserhaltenden Domänensequenz

$$\begin{equation} \lim_{n\rightarrow\infty} P(a*n,b*n) = (\frac{a}{b})^\frac{1}{9} \end{equation}$$ Der der nachweis erfolgt kurz vor dem anhang.

Nach Satz 1 ist die halbe Wahrscheinlichkeit, in der Grenze zu bleiben, was einen ungefähren Dezimalwert von .$(\frac{1}{2})^\frac{1}{9}$$0.925875$

Sanity Check Lässt uns einen Sanity Check durchführen, um festzustellen, ob das numerische Limit für die Halfway-Wahrscheinlichkeit "richtig aussieht".

$$\begin{array}{|l|rcl|} \hline n & P(n/2,n) &=& \text{trunc decimal val} \\ \hline 1000 & P(500,1000) &=& 0.92572614082 \\ \hline 10000 & P(5000,10000) &=& 0.9258598528 \\ \hline 100000 & P(50000,100000) &=& 0.925873226 \\ \hline 1000000 & P(500000,1000000) &=& 0.92587456 \\ \hline \hline \infty & \lim_{n\rightarrow\infty} P(n,2n) &=& 0.925875 \\ \hline \end{array}$$

Die ersten 4 Zeilen sind die Halbwertswahrscheinlichkeiten für die verbleibenden Schrittnummernwerte von , , bzw. . Die letzte Reihe ist das Limit. Es scheint, dass die Halbwertswahrscheinlichkeiten tatsächlich an die vorhergesagte Grenze heranreichen. Diese reale Beobachtung, die nicht in Ross 'Rahmen passt, muss erklärt werden. $10^3$$10^4$$10^5$$10^6$

** Abschnitt 4 "Auflösung des Paradoxons" **

In diesem Abschnitt wird ein einheitlicher Rahmen für die Ross-Analyse und die Rational-Domain-Analyse erläutert. Durch die gemeinsame Betrachtung wird das Paradoxon gelöst.

Die rationale Grenze ist auf eine Funktion von den Rationalen zu den Realen reduzierbar : where und . Hier bezeichnet größten gemeinsamen Teiler. Entsprechende Aussagen sind " und sind füreinander ", und" ist der reduzierte Bruchteil von . $P_{lim2}(a,b)$$(0,1]$$(0,1]$

$$\begin{array}{rcl} P_{lim2}(a,b) &=& lim_{k\rightarrow\infty} P(ka,kb) \\ &=& (\frac{a'}{b'})^\frac{1}{9} \end{array}$$ $gcd(a',b')=1$$\frac{a'}{b'} = \frac{a}{b}$$gcd()$$a'$$b'$$\frac{a'}{b'}$$\frac{a}{b}$

Die Ross-Grenze kann als Grenze einer Folge rationaler Grenzen geschrieben werden: Das Tupel ist kein Mitglied der Verhältnisse in ; es gehört zu . Daher ist die Ross-Grenze isomorph zu der Funktion in Domäne und ihr Bild ist immer die eindeutige reelle .

$$\begin{array}{rclr} P_{lim1}(a) &=& lim_{k\rightarrow\infty} P(a,k) & \\ &=& lim_{i,k\rightarrow\infty} P(ka/i,kb) & \text{for some } b \\ &=& lim_{i\rightarrow\infty} P_{lim2}(a/i,b) & \\ &=& lim_{i\rightarrow\infty} P_{lim2}(0,b) & \end{array}$$ $(0,b)$$(0,1]$$[0,0]$$P_{lim2}(a,b)$$[0,0]$$0$

Das Ross-Limit und das Rational-Limit haben dieselbe Funktion für zwei disjunkte Domänen bzw. . Das Ross-Limit betrachtet nur den Fall von Ballset-Indizes, die im Vergleich zu dem als unendlich klein eingestuft wurden Schrittlänge. $[0,0]$$(0,1]$

Die Ross-Limit-Analyse sagt voraus, dass im Limit ein sequentieller Zugriff auf die Werte für niemals einen Wert ungleich Null erreichen wird. Dies ist korrekt und entspricht der Beobachtung in der realen Welt.$P_{lim1}(i)$$i=1,2,...\infty$

Die Rational-Limit-Analyse berücksichtigt reale Beobachtungen wie das Halfway-Ballset, das das Ross-Limit nicht berücksichtigt. Die Funktion ist die gleiche aber die Domäne ist anstelle von$P_{lim2}(a,b)$$(0,1]$$[0,0]$

Das folgende Diagramm zeigt sowohl die Ross-Grenzsequenzen als auch die rationalen Grenzsequenzen.

Es ist wahrscheinlich fair zu sagen, dass die Analyse von Ross eine implizite Annahme beinhaltet, dass das Ross-Limit und seine Domäne die gesamte Domäne von Interesse sind. Die der Annahme von Ross implizit zugrunde liegende Intuition beruht auf den folgenden vier Bedingungen, auch wenn diese nicht ausdrücklich anerkannt werden:

Sei die te Roth-Grenzsequenz. Sei die Vereinigung von Roth-Grenzsequenzen. $S_i = P(i,n), n=1,...,\infty$$i$$S = \cup_{i=(1...\infty)} S_i$

• (1) Die Folgen sind disjunkt und jede Folge konvergiert.$S_i$
• (2) Die Vereinigung von Elementen aller Sequenzen deckt genau die Menge aller (Kugel-, Stufen-) Tupel ab, die ins Spiel kommen:$S$$\{ (i,n)\ |\ i\leq n\ \land \ i,n\in Q \}$
• (3) Alle Sequenzen sind in , dem Schrittindex, unendlich , so dass sie nicht "früh" enden.$S_i$$n$
• (4) Die Folgen selbst bilden eine Supersequenz . Daher kann diese Supersequenz iterativ "erzeugt" werden, d.h. sie sind zählbar.$S_i$$\{ S_i \}_{i_in (1...\infty) }$

Es ist nicht sofort ersichtlich, dass ein anderes System von Grenzsequenzen die obigen Punkte (1) - (4) erfüllen könnte.

Wir werden nun jedoch ein anderes System von Grenzsequenzen diskutieren, die tatsächlich die obigen Punkte (1) - (4) erfüllen.

Sei , wobei , die Folge rationaler Grenzen Sei das Primzahlpaar von : = . Sei die Vereinigung der genannten rationalen Grenzsequenzen: $S_{p,q}$$gcd(p,q)=1$

$$\begin{equation} S_{p,q} = \{ (kp,kq) \}_{k\in (1...\infty)} \end{equation}$$ $D^*$$D$$D^* =\{ (p,q)\in D \land gcd(p,q)=1 \}$$S^*$$S^* = \cup_{d\in D^*} S_{p,q}$

Es ist klar, dass die Folgen deren Vereinigung , die obigen Eigenschaften (1) - (3) erfüllen. Die Indizes stellen genau die Verhältnisse auf . Um die Bedingung (4) zu erfüllen, müssen wir zeigen, dass die Verhältnisse auf zählbar sind. $S_{p,q}$$S^*$
$(p,q)$$(0,1]$$(0,1]$

Die (Farey-Folge) 2 der Ordnung ist die Folge von vollständig reduzierten Brüchen zwischen 0 und 1, die, wenn sie in niedrigsten Begriffen ausgedrückt sind, Nenner kleiner oder gleich , die in der Reihenfolge zunehmender Größe angeordnet sind. Hier sind die ersten acht Farey-Sequenzen:$n$$n$

 F1 = {0/1,                                                                                                          1/1}
 F2 = {0/1,                                                   1/2,                                                   1/1}
 F3 = {0/1,                               1/3,                1/2,                2/3,                               1/1}
 F4 = {0/1,                     1/4,      1/3,                1/2,                2/3,      3/4,                     1/1}
 F5 = {0/1,                1/5, 1/4,      1/3,      2/5,      1/2,      3/5,      2/3,      3/4, 4/5,                1/1}
 F6 = {0/1,           1/6, 1/5, 1/4,      1/3,      2/5,      1/2,      3/5,      2/3,      3/4, 4/5, 5/6,           1/1}
 F7 = {0/1,      1/7, 1/6, 1/5, 1/4, 2/7, 1/3,      2/5, 3/7, 1/2, 4/7, 3/5,      2/3, 5/7, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7,      1/1}
 F8 = {0/1, 1/8, 1/7, 1/6, 1/5, 1/4, 2/7, 1/3, 3/8, 2/5, 3/7, 1/2, 4/7, 3/5, 5/8, 2/3, 5/7, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7, 7/8, 1/1}

Es sei die te Farey-Sequenz ohne das erste Element .$F^*_n$$n$$0/1$

Sei die Vereinigung rationaler Grenzsequenzen, die mindestens ein Element bis einschließlich Schritt : $S^*_n$$n$

$$\begin{equation} S^*_n = \{ S_{p,q}\ |\ \exists (a,b) \} \end{equation}$$

Die von Brüchen in Tupel umgewandelten Elemente von indexieren genau die Elemente von . Die folgende Tabelle vergleicht die Gruppierung der Grenzwertsequenzen in der Ross-Analyse und der rationalen Grenzwertanalyse:$F^*_n$$S^*_n$

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline & \text{Ross} & \text{rational} \\ \hline \text{num new seq per step } & 1 & \text{multiple (generally)} \\ \hline \text{new seq at step } n & S_n & F^*_n - F^*_{n-1} \\ \hline \text{tot num seq up to step }n & n & \| F^*_n \| \\ \hline \text{super-seq up to step }n & \{ S_m \}_{m=1}^{n} & F^*_n \\ \hline \end{array}$$

Da schließlich Methoden [ 3 ], [ 4 ] zum iterativen Erzeugen der Supersequenz , ist auch die Bedingung (4) erfüllt.$F^*_n$

Eine dieser Methoden, eine Variante des Stern-Brocot-Baums, ist wie folgt:

Der Mediant aus zwei Rationen und ist definiert als$a/c$$b/d$$\frac{a+b}{c+d}$

• Setze$F*_n = \emptyset$
• Fügen Sie an$1/n$$F*_n$

• Schleife für in$i$$1...(\|F*_{n-1}\|-1)$

  • Hänge an F * _n $ an$F*_{n-1}[i]$

  • Sei$x = mediant(F*_{n-1}[i], F*_{n-1}[i+1])$

  • Wenn hänge x an$denom(x) \leq n$$F*_n$
  • Schleife fortsetzen
• Hänge an$F*_{n-1}[n]$$F*_n$

Das Paradoxon wurde gelöst.

Beweis von Satz 1 Beachten Sie zunächst, dass: wobei die letzte Transformation die Sterling-Transformation ist.

$$\begin{eqnarray} P(E_{a,b}) &=& \prod_{k=a}^{b} \frac{9k}{(9k+1)} \\ &=& \frac{\Gamma \left(a+\frac{1}{9}\right) \Gamma (b+1)}{\Gamma (a) \Gamma\left(b+\frac{10}{9}\right)} \\ &=& (a-1)^{\frac{1}{2}-a} \left(a-\frac{8}{9}\right)^{a-\frac{7}{18}} b^{b+\frac{1}{2}} \left(b+\frac{1}{9}\right)^{-b-\frac{11}{18}} \end{eqnarray}$$

wir dann syntaktisch und in die letzte (Sterling-Form) Gleichung einsetzen, erhalten wir $a\rightarrow a*n$$b\rightarrow b*n$

$$\begin{eqnarray} \lim_{n\rightarrow\infty} P(E_{a,b}) &=& \lim_{n\rightarrow\infty} (a M-1)^{\frac{1}{2}-a M} \left(a M-\frac{8}{9}\right)^{a M-\frac{7}{18}} (b M)^{b M+\frac{1}{2}} \left(b M+\frac{1}{9}\right)^{-b M-\frac{11}{18}} \\ &=& \left(\frac{a}{b}\right)^\frac{1}{9} \end{eqnarray}$$

Anhang: Weitere Ergebnisse

Erwartungen im Grenzbereich

Dieser Abschnitt gibt einen geschlossenen Ausdruck für die erwartete Anzahl verbleibender Bälle einschließlich aller Bruchteile der Schrittgröße.
Eine Folge dieses Ergebnisses ist eine numerische Näherung des Index der ersten Kugel, bei der erwartet wird, dass er größer als eins bleibt.

( Fortsetzung folgt )

Bearbeiten Bearbeiten

Um es kurz zu machen. Das sogenannte Paradoxon ist ein unbestimmter Formfehler, ein Anfängerfehler mit einem Ergebnis ähnlich einem Fehler durch Teilen durch Null, der beweist, dass . Solche Fehler, in diesem Fall zum Zählen von Zahlen, führen natürlich zu Antworten, die 0, oder .$1=2$$n$$\infty$

Übrigens, wenn man eine unendliche Anzahl von infinitesimalen Wahrscheinlichkeiten addiert, erzeugt man , eine unbestimmte Form, und Ross 'Beweis ist nicht korrekt. Verwenden Sie die L'Hopital-Regel, um eine korrekte Antwort zu erhalten. Unendlichkeit ist keine Zahl . Die Behandlung der Unendlichkeit als ob es eine Zahl wäre, führt zu Fehlern.$\frac{1}{\infty}\infty$