Legen Sie bei jedem Schritt eines limitierenden unendlichen Prozesses 10 Kugeln in eine Urne und entfernen Sie eine nach dem Zufallsprinzip. Wie viele Bälle sind noch übrig?


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Die Frage (leicht modifiziert) lautet wie folgt und falls Sie sie noch nie zuvor gestellt haben, können Sie sie in Beispiel 6a, Kapitel 2, von Sheldon Ross ' A First Course in Probability überprüfen :

Angenommen, wir besitzen eine unendlich große Urne und eine unendliche Sammlung von Kugeln, die mit Kugel Nummer 1, Nummer 2, Nummer 3 usw. beschriftet sind. Betrachten Sie ein Experiment, das wie folgt durchgeführt wird: Um 1 Minute bis 12 Uhr werden die Kugeln mit den Nummern 1 bis 10 in die Urne gelegt und eine Kugel nach dem Zufallsprinzip entfernt. (Nehmen wir an, dass der Rückzug keine Zeit in Anspruch nimmt.) Um 1/2 Minute bis 12 Uhr werden die Kugeln mit den Nummern 11 bis 20 in die Urne gelegt und eine weitere Kugel nach dem Zufallsprinzip entfernt. Bei 1/4 Minute bis 12 Uhr werden die Kugeln mit den Nummern 21 bis 30 in die Urne gelegt und eine weitere Kugel nach dem Zufallsprinzip entfernt ... und so weiter. Die Frage des Interesses ist: Wie viele Bälle sind um 12 Uhr in der Urne?

Diese Frage, wie sie gestellt wird, zwingt im Grunde jeden, etwas falsch zu machen - normalerweise heißt es, dass es um 12 Uhr unendlich viele Bälle geben wird. Die Antwort von Ross ist jedoch, dass die Urne mit der Wahrscheinlichkeit eins leer sein wird um 12 Uhr

Beim Unterrichten der Wahrscheinlichkeitstheorie ist dieses Problem eines der Probleme, für die es sehr schwierig ist, eine gute intuitive Erklärung zu geben.

Einerseits könnten Sie versuchen, es so zu erklären: "Denken Sie an die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ball um 12 Uhr auf der Urne liegt. Während der unendlichen Zufallsziehung wird er schließlich entfernt. Da dies für alle Bälle gilt, gilt keiner von ihnen können am Ende da sein ".

Die Schüler werden jedoch korrekterweise mit Ihnen argumentieren: "Aber ich lege jeweils 10 Bälle und entferne 1 Ball. Es ist unmöglich, dass am Ende null Bälle stehen."

Was ist die beste Erklärung, die wir ihnen geben können, um diese widersprüchlichen Anschauungen zu lösen?

Ich bin auch offen für das Argument, dass die Frage schlecht gestellt ist und dass das "Paradoxon" verschwindet, wenn wir es besser formulieren, oder für das Argument, dass das Paradoxon "rein mathematisch" ist (aber versuchen Sie bitte, es genau zu formulieren).


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+1. Ich mag die Version, in der die Urne mit Kugeln beginnt (und eine wird entfernt), dann werden weitere hinzugefügt (und eine wird entfernt), dann werden weitere hinzugefügt usw. :-) @Neil Was ist das für ein Argument genau? Könnten Sie es skizzieren? 4 8248
Whuber

16
Viele der Missverständnisse und Verwirrungen über die Wahrscheinlichkeit beruhen auf Problemen der Grenzen und Unendlichkeiten. Dies ist ein hervorragendes Beispiel dafür, wie die Antwort von @ enumaris gut erklärt. Es ist auch ein hervorragendes Beispiel für ein Lehrbuchbeispiel, das die Schüler nur zu der Schlussfolgerung führt, dass sie in dem Fach keinen Erfolg haben können.
Michael Lew

16
Es ist zwar klar, dass jeder einzelne Ball mit einer Wahrscheinlichkeit von Null um Mitternacht in der Urne ist, aber für mich ist es nicht offensichtlich, dass es eine genau definierte Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Muster gibt, deren Kugeln um Mitternacht übrig bleiben, oder dass es einen Brunnen gibt -definierte Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Variable "Wie viele Bälle um Mitternacht?".

15
Genauer gesagt ist der Probenraum hier die unendliche Folge von Auswahlen, welche Kugel zu welchem ​​Zeitpunkt entfernt wird. Es ist nicht offensichtlich, dass es eine vernünftige Algebra im Probenraum gibt, für die "wie viele Bälle um Mitternacht?" ist eine messbare Funktion. σ

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Es gab inzwischen 10+ Antworten und wahrscheinlich 100+ Kommentare in diesem Thread, aber es scheint, dass sich die meisten Leute nicht darum gekümmert haben, in das Ross'es - Buch zu schauen (wenn ich den Titel google, erhalte ich einen direkten Link zu PDF unter die ersten Ergebnisse). Die Darstellung dort ist sehr übersichtlich. Insbesondere beginnt Ross mit zwei nicht-probabilistischen Variationen, die um Mitternacht entweder zu unendlich oder zu null Kugeln führen. Bevor dies verstanden wird, ist es nicht sinnvoll, mit der probabilistischen Variante fortzufahren. Es scheint jedoch, dass sich hier viele Disputanten über diese beiden vorläufigen Fälle nicht einig sind .
Amöbe

Antworten:


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Ross beschreibt drei Versionen dieses "Paradoxons" in Beispiel 6a in seinem Lehrbuch . In jeder Version werden der Urne 10 Bälle hinzugefügt und 1 Ball wird bei jedem Schritt des Verfahrens entfernt.

  1. In der ersten Version wird die te Kugel im ten Schritt entfernt. Es sind unendlich viele Bälle nach Mitternacht übrig, weil alle Bälle mit Zahlen, die nicht auf Null enden, noch drin sind.n10nn

  2. In der zweiten Version wird die te Kugel im ten Schritt entfernt. Nach Mitternacht sind keine Bälle mehr übrig, da jeder Ball im entsprechenden Schritt entfernt wird.nnn

  3. In der dritten Version werden die Kugeln gleichmäßig nach dem Zufallsprinzip entfernt. Ross berechnet die Wahrscheinlichkeit, dass jeder Ball durch Schritt entfernt wird, und stellt fest, dass er als gegen konvergiert (beachte, dass dies nicht offensichtlich ist! Man muss die Berechnung tatsächlich durchführen). Dies bedeutet, dass durch die Ungleichung von Boole die Wahrscheinlichkeit, dass am Ende keine Bälle mehr vorhanden sind, ebenfalls beträgt .1 n 1n1n1

Sie sagen, dass diese letzte Schlussfolgerung nicht intuitiv und schwer zu erklären ist; Dies wird wunderbar durch viele verwirrte Antworten und Kommentare in diesem Thread unterstützt. Das Fazit der zweiten Version ist jedoch genauso wenig intuitiv! Und es hat absolut nichts mit Wahrscheinlichkeit oder Statistik zu tun. Ich denke, nachdem man die zweite Version akzeptiert hat, ist die dritte Version nicht mehr besonders überraschend.

Während es sich also bei der "probabilistischen" Diskussion um die dritte Version handeln muss [siehe sehr aufschlussreiche Antworten von @ paw88789, @Paul und @ekvall], sollte sich die "philosophische" Diskussion eher auf die zweite Version konzentrieren, die viel einfacher und in ähnlicher Weise ist Geist zum Hilbert's Hotel .


Die zweite Version ist als Ross-Littlewood-Paradoxon bekannt . Ich verlinke auf die Wikipedia-Seite, aber die Diskussion dort ist schrecklich verwirrend und ich empfehle, sie überhaupt nicht zu lesen. Schauen Sie sich stattdessen diesen MathOverflow-Thread von vor Jahren an . Es ist inzwischen geschlossen, enthält aber einige sehr einfühlsame Antworten. Eine kurze Zusammenfassung der Antworten, die ich am wichtigsten finde, ist wie folgt.

Wir können eine Menge der Kugeln definieren, die in der Urne nach Schritt . Wir haben , usw. Es gibt einen mathematisch gut definierten Begriff für die Grenze einer Folge von Mengen, den man streng beweisen kann dass die Grenze dieser Sequenz existiert und die leere Menge . In der Tat, welche Bälle können im Limit gesetzt werden? Nur die, die niemals entfernt werden. Aber jeder Ball wird irgendwann entfernt. Das Limit ist also leer. Wir können schreiben . n S 1 = { 2 , 10 } S 2 = { 3 , 20 } S nSnnS1={2,10}S2={3,20}Sn

Gleichzeitig ist die Zahlder Kugeln in der Menge , die auch als Kardinalität dieser Menge bezeichnet wird, ist gleich . Die Sequenz ist offensichtlich divergierend, was bedeutet, dass die Kardinalität gegen die Kardinalität von konvergiert , auch bekannt als aleph-zero . Wir können also schreiben .S n 10 n - n = 9 n 9 n N 0 | S n | 0|Sn|Sn10nn=9n9nN 0|Sn|0

Das "Paradox" ist nun, dass diese beiden Aussagen sich zu widersprechen scheinen:

Sn|Sn|00

Aber natürlich gibt es kein wirkliches Paradoxon und keinen Widerspruch. Niemand hat behauptet, Kardinalität sei eine "kontinuierliche" Operation für Mengen, daher können wir sie nicht mit dem Limit austauschen:Mit anderen Worten, aus der Tatsache, dass für alle ganzen , können wir nicht schließen, dass(der Wert an der ersten Ordnungszahl ) ist gleich . Stattdessenmuss direkt berechnet werden und stellt sich als Null heraus.

lim|Sn||limSn|.
n N | S ω | | S ω ||Sn|=9nnN|Sω||Sω|

Daraus ergibt sich meiner Meinung nach die Schlussfolgerung, dass das Nehmen von Kardinalitäten eine diskontinuierliche Operation ist ... [@HarryAltman]

Ich denke, dieses Paradoxon ist nur die menschliche Tendenz anzunehmen, dass "einfache" Operationen kontinuierlich sind. [@NateEldredge]


Dies ist einfacher mit Funktionen anstelle von Mengen zu verstehen. Man betrachte eine charakteristische (auch als Indikator bezeichnete) Funktion der Menge die definiert ist, um im Intervall gleich eins zu sein und an anderer Stelle Null. Die ersten zehn Funktionen sehen so aus (vergleiche die ASCII-Grafik aus @ Hurkyls Antwort):S n [ n , 10 n ]fn(x)Sn[n,10n]

Anzeigefunktionen für die ersten 10 Schritte

Jeder wird zustimmen , dass für jeden Punkt , haben wir . Dies bedeutet per Definition , dass Funktionen zur Funktion konvergieren . Auch dem wird jeder zustimmen. Beachten Sie jedoch, dass die Integrale dieser Funktionen immer größer werden und die Folge der Integrale auseinander geht. Mit anderen Worten, lim f n ( a ) = 0 f n ( x ) g ( x ) = 0 0 f ( x ) d x = 9 naRlimfn(a)=0fn(x)g(x)=00f(x)dx=9n

limfn(x)dxlimfn(x)dx.

Dies ist ein völlig normales und bekanntes Analyseergebnis. Aber es ist eine genaue Neuformulierung unseres Paradoxons!

Ein guter Weg, um das Problem zu formalisieren, besteht darin, den Zustand der Kanne nicht als eine Menge (eine Teilmenge von ) zu beschreiben, da diese schwer zu begrenzen sind, sondern als ihre charakteristische Funktion. Das erste "Paradox" ist, dass punktuelle Grenzen nicht mit einheitlichen Grenzen identisch sind. [@ TheoJohnson-Freyd]N

Der entscheidende Punkt ist, dass "um Mitternacht " die gesamte unendliche Sequenz bereits vergangen ist , dh wir haben einen "trasfiniten Sprung" gemacht und sind in den transfiniten Zustand gelangt . Der Wert des Integrals "um Mitternacht mittags" muss der Wert des Integrals von , nicht umgekehrt.lim f nfω=limfn(x)limfn


Bitte beachte, dass einige der Antworten in diesem Thread irreführend sind, obwohl sie sehr positiv bewertet wurden.

Insbesondere berechnet @cmaster was in der Tat unendlich ist, aber das ist nicht das, wonach das Paradoxon fragt. Das Paradox fragt, was nach der ganzen unendlichen Abfolge von Schritten passiert. Dies ist eine transfinite Konstruktion. Wir müssen also , der wie oben erläutert gleich Null ist.ballCount ( S ω )limnballCount(Sn)ballCount(Sω)


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Ihre Antwort zusammen mit der Antwort von @ paw88789 scheint genug zu sein, um widersprüchliche Anschauungen zu lösen. Grundsätzlich kann man sagen: (i) Ihre Intuition wird versagen, weil die Kardinalität nicht stetig ist; und (ii) wenn Sie die physikalische Analogie stört, denken Sie über die folgende Frage nach: Ist die "Entfernungs" -Funktion surjektiv? Mit welcher Wahrscheinlichkeit wählen wir in der probabilistischen Version eine surjektive Karte aus? Natürlich bleibt die Frage offen, ob diese Objekte reale Phänomene modellieren können, aber das ist ein anderes Problem. Insgesamt schätze ich Ross Beispiel jetzt noch mehr. f:NN
Carlos Cinelli

11
@MichaelLew In der Mathematik gibt es viele kontraintuitive Ergebnisse, und dies ist eines davon. Eine Folge von Mengen S1 = {2, ... 10}, S2 = {3, ... 20} usw. konvergiert gegen die leere Menge, obwohl jede nachfolgende Menge mehr Elemente als die vorherige enthält. So ist es eben. Bitte beachten Sie, dass die Formulierung des Paradoxons fragt, was nach der unendlichen Anzahl von Schritten passiert . Offensichtlich hat ein solches Setup keine Verbindung zur physischen Welt; es ist eine mathematische Abstraktion und muss als solche betrachtet werden. [Forts.]
Amöbe

6
[Forts.] Intuitionen können im Umgang mit Unendlichkeiten versagen, daher muss man sich auf mathematische Genauigkeit verlassen. Vielleicht hilft Ihnen diese Neuformulierung: Betrachten Sie eine Folge von Funktionen, bei denen die n-te Funktion überall null ist, abgesehen von einem Intervall [n + 1, 10n]. Diese Sequenz konvergiert zu einer Funktion, die konstant Null ist, obwohl jede nachfolgende Funktion ein längeres Intervall ungleich Null aufweist. Die meisten von uns sind eher mit der Konvergenz von Funktionen als mit der Konvergenz von Mengen vertraut, sodass diese Neuformulierung möglicherweise leichter zu verstehen ist.
Amöbe

6
@Martijn Die Funktionen konvergieren zu weil für jeden Punkt gilt für alle , dh per definitionem . Gleichzeitig divergiert die Folge von Integralen weil . Dies ist kein Widerspruch, da . Man kann sie nur dann austauschen, wenn die sogenannte einheitliche Konvergenz gilt, was eine viel stärkere Bedingung ist als die einfache (punktweise) Konvergenz. Dies ist in mathoverflow.net/a/7113 angedeutet . g ( x ) = 0 a R f n ( a ) = 0 n > a f nf n = 9 n - 1 lim & ne; limfn(x)=I([n+1,10n])g(x)=0aRfn(a)=0n>afnfn=9n1limlim
Amöbe

7
Eine andere Möglichkeit, dies zu erklären, besteht darin, Folgendes zu fragen: Gibt es mehr gerade Zahlen oder natürliche Zahlen? Obwohl es in einem endlichen Intervall natürlichere Zahlen gibt, haben sie tatsächlich dieselbe Kardinalität. Gibt es danach mehr Vielfache von oder natürlichen Zahlen? Auch hier stimmen die meisten Menschen darin überein, dass sie die gleiche Kardinalität haben. Daher addieren Sie eine "natürliche Anzahl" an Kugeln, entfernen jedoch ein "Vielfaches von 10 Kugeln" - diese haben dieselbe Kardinalität, sodass die Urne am Ende leer ist. (Ich weiß, dass die Analogie nicht genau zutrifft, wie die erste Version von 10
Ant

28

Hurkyl (in einer Antwort) und Dilip Sarwate (in einem Kommentar) geben zwei gemeinsame deterministische Varianten dieses Puzzles an. In beiden Varianten werden im Schritt Kugeln bis zum Stapel hinzugefügt ( ). 10 k - 9 10 k k = 1 , 2 , . . .k10k910kk=1,2,...

In Hurkyls Variation wird Ball entfernt. In dieser Variante kann definitiv argumentiert werden, dass keine Kugeln mehr vorhanden sind, da die Kugel in Schritt .n nknn

In der Dilip Sarwate-Variante wird in Schritt Kugel entfernt , und in dieser Variante bleiben alle Kugeln übrig , die keine Vielfachen von sind. In dieser Variante befinden sich unendlich viele Kugeln in der Urne am Ende.k 1010kk10

Mit diesen beiden Varianten als Randfälle sehen wir, dass bei diesem Vorgang viele verschiedene Dinge passieren können. Sie können beispielsweise festlegen, dass am Ende eine endliche Menge von Bällen verbleibt, indem Sie Hurkyls Vorgang ausführen, aber das Entfernen bestimmter Bälle überspringen. Tatsächlich können Sie für jede Menge mit unendlich vielen Komplementen (in den (positiven) natürlichen Zahlen) diese Menge von Kugeln am Ende des Prozesses übrig haben.B

Wir könnten die zufällige Variation des Problems (im ursprünglichen Beitrag angegeben) als Auswahl einer Funktion unter den Bedingungen betrachten, dass (i) eins zu eins ist und (ii) für alle . F f ( k ) 10 k k Nf:NNff(k)10kkN

Das Argument im Sheldon Ross-Buch (auf das im Beitrag verwiesen wird) zeigt, dass fast alle (im wahrscheinlichkeitstheoretischen Sinne) derartigen Funktionen tatsächlich auf Funktionen (Surjektionen) bezogen sind.

Ich betrachte dies als etwas analog zu der Situation, eine Zahl aus einer Gleichverteilung auf auszuwählen und zu fragen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass die Zahl in der Cantor-Menge enthalten ist (ich verwende die Cantor-Menge, anstatt zu sagen) die rationalen Zahlen, weil die Cantor-Menge unzählig ist). Die Wahrscheinlichkeit ist , obwohl es viele (unzählige) Zahlen in der Cantor-Menge gibt, die ausgewählt werden könnten. Bei der Ballentfernung spielt der Satz von Sequenzen, in denen noch Bälle übrig sind, die Rolle des Cantor-Satzes.[ 0 , 1 ] 0x[0,1]0


Bearbeiten: BenMillwood weist korrekterweise darauf hin, dass es einige endliche Ballsätze gibt, die nicht der verbleibende Satz sein können. Zum Beispiel kann nicht die verbleibende Menge sein. Sie können höchstens haben der ersten für verbleibenden Kugeln .90 % 10 n n = 1 , 2 , 3 , . . .1,2,...,1090%10nn=1,2,3,...


4
Am Ende können keine endlichen Mengen von Bällen mehr vorhanden sein - z. B. die Menge 1..10.
Ben Millwood

1
"Das Argument im Sheldon Ross-Buch (auf das in der Veröffentlichung verwiesen wird) zeigt, dass fast alle (im wahrscheinlichkeitstheoretischen Sinne) derartigen Funktionen tatsächlich auf Funktionen (Vermutungen) bezogen sind." - (+1) Dies ist eine sehr interessante Art, das Problem zu betrachten, und es könnte tatsächlich einfacher und weniger verwirrend sein, es als solches darzustellen als mit der "physischen Geschichte" von Bällen in einer Urne.
Carlos Cinelli

5
+1. Ich denke, dies ist derzeit die einzige Antwort, die sich tatsächlich auf das Problem auswirkt. Alle anderen scheinen zu diskutieren, ob es keine Kugeln mehr gibt, wenn die n-te Stufenkugel #n entfernt wird. Mit anderen Worten, der größte Teil der Diskussion, die ich in diesem Thread sehe, handelt von dem zweiten Absatz Ihrer Antwort und bewegt sich nicht weiter. Cc zu @CarlosCinelli.
Amöbe

3
Dies ist eigentlich die erste Antwort, die mich wirklich verstehen lässt, was die Begründung für ein Ergebnis ist. Sie zeigen, wie das Ergebnis, das wir erzielen, mit der von uns angewendeten Auswahlfunktion zusammenhängt. Dies ist absolut sinnvoll und hilft dabei, weiter zu gehen, als nur zu akzeptieren, dass der Betrag Null sein kann, da die Kardinalität nicht anstößig ist.
Suchmel

(+1) Diese Antwort gefällt mir, weil die Unbestimmtheit von Scheinargumenten, die auf unbestimmten Formen beruhen, besser vorgeschlagen wird. Dies kann viel einfacher gemacht werden, indem man sagt, dass eine unbestimmte Form ist und damit fertig wird. Siehe auch meine Antwort unten, die dies direkter argumentiert. 0×
Carl

24

Die Antwort von Enumaris ist in Bezug auf das Problem der abweichenden Grenzen völlig richtig. Trotzdem kann die Frage tatsächlich eindeutig beantwortet werden. Meine Antwort zeigt Ihnen also genau, wo die Null-Kugel-Lösung schief geht und warum die intuitive Lösung die richtige ist.


Es ist wahr, dass für jeden Ball die Wahrscheinlichkeit, dass er sich in der Urne am Ende befindet, Null ist. Genauer gesagt ist nur die Grenze Null: .P ( n ) P ( n ) = lim N P ( n , N ) = 0nP(n)P(n)=limNP(n,N)=0

Nun versuchen Sie, die Summe zu berechnen Die gebrochene Berechnung springt genau in diesen -Teil hinein und sagt, dass der Grenzwert Null ist, sodass die Summe nur Terme von Null enthält, sodass die Summe selbst Null ist: P(n,N) lim N ballCount ( N )

limNballCount(N)=limNn=1n10NP(n,N).
P(n,N)
limNballCount(N)=limNn=1n10NP(n,N)broken step here =limNn=1n10NlimNP(n,N)=limNn=1n10NP(n)=limNn=1n10N0=limN10N×0=0

Dies spaltet jedoch das illegal in zwei unabhängige Teile auf. Sie können das nicht einfach in die Summe verschieben, wenn die Grenzen der Summe vom Parameter des abhängen . Sie müssen das als Ganzes lösen .lim lim limlimlimlimlim

Der einzig gültige Weg, um dieses zu lösen, besteht darin, zuerst die Summe zu lösen, indem man für ein beliebiges endliches . n 10 N n = 1 P ( n , N ) = 9 N N lim N ballCount ( N )limn=1n10NP(n,N)=9NN

limNballCount(N)=limNn=1n10NP(n,N)=limN9N=

Die intuitive Lösung hat genau das getan, es ist die "clevere" Lösung, die im Grunde gebrochen ist.


9
Das formuliert mit Sicherheit das Paradoxon. Es läuft auf Folgendes hinaus: Die Behauptung, dass unendlich viele Bälle übrig bleiben, wirft die natürliche Frage auf: Welche Bälle? Kannst du einen einzelnen Ball nennen, bei dem die Wahrscheinlichkeit nicht null ist, dass er übrig bleibt? Wenn nicht, dann impliziert das Axiom der abzählbaren Additivität, dass keine Bälle übrig bleiben, da es nur abzählbar viele Bälle gibt. Indem Sie behaupten, die intuitive Lösung sei korrekt, leugnen Sie implizit ein grundlegendes Wahrscheinlichkeitsaxiom.
Whuber

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@whuber Ich brauche keinen Ball mit einer Wahrscheinlichkeit ungleich Null zu nennen: Ich habe unendlich viele Bälle. Und die Grenze des Produkts zweier Dinge, von denen eines gegen Null und das andere gegen unendlich geht, kann alles sein. Es kann null sein, es kann unendlich sein, es kann alles dazwischen sein (wie 42). Das hängt davon ab, wie sich das Produkt insgesamt verhält. Es ist die gleiche Art von "Paradoxon", die bewirkt, dass ein Punkt in einer Verteilung in R mit einer Wahrscheinlichkeit von Null angezeigt wird. Es sind nur Intervalle von unendlich vielen Punkten, deren Eintrittswahrscheinlichkeit nicht Null ist. Es gibt wirklich kein Paradox im mathematischen Sinne.
cmaster

6
Sie müssen die Mathematik richtig machen, bevor Sie kein Paradoxon behaupten können. Lassen Sie mich das veranschaulichen. ist die Menge der natürlichen Zahlen. Betrachten Sie die Folge von Sätzen, in denen in Schritt alle Zahlen von bis entfernt wurden. Bei jedem Schritt bleiben unendlich viele Zahlen übrig. Wie viele Zahlen bleiben im Limit? Ihr "einzig gültiger Weg", wenn ich ihn richtig interpretiere, würde "unendlich viele" beantworten, weil " ". Die Tatsache, dass das Limit leer ist, ist ein starker Beweis dafür, dass Ihr Ansatz mathematisch suspekt ist. i = 0 , 1 , 2 , ... 0 i lim n = = N={0,1,2,}i=0,1,2,0ilimn==
Whuber

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@Michael Leider ist das eine Fehleinschätzung. Die Wahrscheinlichkeit, dass jeder Ball im Limit bleibt, beträgt . 0
Whuber

13
Kommentieren Sie hier einfach noch einmal, um sicherzustellen, dass die Leute wissen, dass diese Antwort falsch ist. @cvote du solltest Ross 'Argument lesen, deine Antwort geht überhaupt nicht auf seine Ableitung ein.
Carlos Cinelli

14

Dieses Argument konzentriert sich auf die Tendenz, dass sich unendliche Mengen und Sequenzen einheitlich und intuitiv verhalten. Dies ist nicht überraschender als das Hilbert Hotel . In einem solchen Fall haben Sie zwar eine unendliche Anzahl von Bällen herausgenommen, aber Sie haben eine unendliche Anzahl eingegeben. Betrachten Sie das Hilbert Hotel in umgekehrter Reihenfolge. Sie können eine unbegrenzte Anzahl von Gästen aus dem Hotel entfernen und es ist immer noch eine unbegrenzte Anzahl übrig.

Ob dies physikalisch realisierbar ist, ist eine ganz andere Frage.

Als solches würde ich es nicht unbedingt als schlecht geformt ansehen, sondern eher in das falsche Buch stecken. Diese Art der Zählfrage gehört in einen Mengenkurs und nicht in einen Wahrscheinlichkeitskurs.


2
Das Argument für eine Antwort von 0 ist raffinierter als nur "Unendlich minus Unendlich ist Null", daher denke ich, dass diese Antwort es nicht wirklich anspricht. Sie können auch eine unendliche Anzahl von Gästen aus dem Hotel entfernen und haben keine mehr. In gewisser Weise besteht die Herausforderung darin, herauszufinden, welche Sie getan haben. Es ist keineswegs offensichtlich, dass die Mengenlehre die Antwort auf diese Frage hat und die Wahrscheinlichkeitstheorie nicht.
Ben Millwood

3
@BenMillwood Aus diesem Grund behaupte ich, dass dieses Rätsel eher zu einem theoretischen Buch als zu einem Wahrscheinlichkeitsbuch gehört.
Cort Ammon

14

Ich denke, es hilft, die überflüssige zeitliche Komponente des Problems zu beseitigen.

Die grundlegendere Variante dieses Paradoxons besteht darin, immer die Kugel mit der niedrigsten Nummer zu entfernen. Um das Zeichnen zu vereinfachen, füge ich bei jedem Schritt nur zwei Bälle hinzu.

Die Prozedur beschreibt, wie ein unendliches zweidimensionales Gitter ausgefüllt wird:

.*........
..**......
...***....  ....
....****..
.....*****

 :  :  :
 :  :  :

Dabei wird jede Zeile aus der vorherigen gebildet, indem rechts zwei Sternchen hinzugefügt und ganz links entfernt werden.

Die Fragen, die man sich dann stellt, sind:

Wie viele Spalten enden mit wiederholten Sternchen anstelle von wiederholten Punkten?

Meiner Meinung nach ist die Idee, dieses Ergebnis fälschlicherweise mit "der Begrenzung der Anzahl der Sternchen in jeder Zeile" gleichzusetzen, viel weniger überzeugend.


2
@LucaCiti: Welche Bälle sind in der Urne? Diejenigen, die den Spalten entsprechen, die mit wiederholten Astrisken enden. Wie viele Spalten enden in wiederholten Astrisken? Keiner.

3
Zu fragen, welche Bälle es sind, ist nicht dasselbe wie zu fragen, wie viele.
Sentinel

3
@LucaCiti: Wie viele Spalten enden in Sternchen? Keiner. Das ist die spezifische Frage, die Ross diesem Diagramm stellen möchte. (Tatsächlich besteht ein Teil des Sinns, das Problem auf diese Weise zu

5
@Hurkyl Die Frage, die praktische Anwendungen hat und meiner Meinung nach aussagekräftiger ist, ist, wie viele Bälle nicht welche. Stellen Sie sich einen Raum mit offenem Fenster vor. Zu jeder Zeit treten Sauerstoffmoleküle in den Raum ein und verlassen ihn. Die Wahrscheinlichkeit , daß ein Molekül , das bei endlicher Zeit eingegeben ist immer noch in dem Raum zu der Zeit auf Null geht , wie . Dies bedeutet nicht, dass der Raum Sauerstoff als . T T T tTTT
Luca Citi

4
@LucaCiti: Ich nehme an, es war nicht klar, aber das Gitter erstreckt sich unendlich nach unten und nach rechts. Es gibt kein "Letztes". Ja, so steht es im gelben Kästchen - die Formalisierung, die ich in meinem Beitrag gebe, ist die, die mit diesem Text gemeint war. Dies ist ein Standardproblem, und Ross 'tatsächliche Analyse stimmt mit meiner Formalisierung überein. Sie können eine andere Frage stellen, aber das wird ein anderes Problem sein.

14

Diese Antwort zielt darauf ab, vier Dinge zu tun:

  1. Sehen Sie sich Ross 'mathematische Formulierung des Problems an und zeigen Sie, wie sie direkt und eindeutig aus der Problembeschreibung hervorgeht.

  2. Verteidigen Sie die Position, dass Ross 'paradoxe Lösung sowohl mathematisch fundiert als auch relevant für unser Verständnis der physischen Welt ist, unabhängig davon, ob sie zu 100% physisch realisierbar ist oder nicht.

  3. Diskutieren Sie bestimmte trügerische Argumente, die auf der physikalischen Intuition beruhen, und zeigen Sie, dass die oft genannte "physikalische" Lösung unendlicher Bälle am Mittag nicht nur im Widerspruch zur Mathematik, sondern auch zur Physik steht.

  4. Beschreiben Sie eine physische Implementierung des Problems, die Ross 'Lösung möglicherweise intuitiver macht. Beginnen Sie hier mit der Beantwortung von Carlos 'ursprünglicher Frage.

1. Wie man das Problem mathematisch beschreibt

Wir werden den ersten Schritt der "unendlichen Prozessmodellierung" von Ross 'Argumentation entpacken (S. 46) . Hier ist die Aussage, auf die wir uns konzentrieren werden:

Definiere als das Ereignis, dass Ball Nummer 1 noch in der Urne ist, nachdem die ersten n Entnahmen gemacht wurden ... Das Ereignis, dass Ball Nummer 1 um 12 Uhr in der Urne ist, ist nur das Ereignis .n = 1 E nEnn=1En

Bevor wir Ross 'Aussage auspacken, wollen wir uns überlegen, wie es überhaupt möglich ist, den Inhalt der Urne nach einer unendlichen Abfolge von Operationen mittags zu verstehen. Wie können wir möglicherweise wissen, was in der Urne ist? Nun, lasst uns über einen bestimmten Ball nachdenken. ; Sie können sich vorstellen, oder oder was auch immer Sie wollen. Wenn der Ball zu einem bestimmten Zeitpunkt vor Mittag herausgenommen wurde, wird er um 12.00 Uhr sicherlich nicht in der Urne sein. Und umgekehrt, wenn eine gegebene Kugel war bis zum Mittag in der Urne in jeder Phase des Prozess bis (nachdem er hinzugefügt wurde), dann war es in der Urne am Mittag. Schreiben wir diese Aussagen formell auf:b = 1 1000 bbb=11000b

Ein Ball ist genau dann mittags in der Urne, wenn er zu jedem Zeitpunkt vor Mittag in der Urne war , wobei die Stufe des ist Kugel wurde der Urne hinzugefügt.n { n b , n b + 1 , n b + 2 , . . . } n bbn{nb,nb+1,nb+2,...}nb

Was bedeutet im Klartext? Nehmen wir eine einzelne Erkenntnis des Urnenprozesses und sprechen Sie es aus: xn=1En x

  • xE1 bedeutet, dass sich Ball 1 in der Urne nach Stufe 1 des Prozesses befindet.
  • xE1E2 bedeutet, dass sich Ball 1 nach den Schritten 1 und 2 des Prozesses in der Urne befindet.
  • xE1E2E3 bedeutet, dass sich Ball 1 nach den Stufen 1, 2 und 3 des Prozesses in der Urne befindet.
  • Für jede , bedeutet , dass der Ball nach den Phasen in der Urne bis .x n k = 1 E k 1 nk{1,2,3,...}xk=1nEk1n

Es ist klar, dass bedeutet, dass in der Realisierung dieses Urnenprozesses die Kugel 1 nach den Stufen 1, 2 in der Urne ist. 3 und so weiter : alle endlichen Stufen vor Mittag. Die unendliche Schnittmenge ist nur eine andere Schreibweise, daher enthält genau die Erkenntnisse des Prozesses, bei dem sich Ball 1 überhaupt in der Urne befand Etappen vor Mittag. Ein Ereignis ist nur eine definierte Menge von Realisierungen eines Prozesses, daher entspricht der letzte Satz genau der Aussage, dass das Ereignis ist, dass Ball 1 zu allen Zeitpunkten vor Mittag in der Urne war. für diesen zufälligen Prozess. x k n = 1 E n n = 1 E n n = 1 E nxk{1,2,3...}Ekxkn=1Enn=1Enn=1En

Nun zur Pointe: Nach unserer obigen Aussage "Wenn und Nur Wenn" ist dies genau das Gleiche, als würde man sagen, dass Ball 1 mittags in der Urne war! Also ist der Fall, dass sich Ball 1 mittags in der Urne befindet, genau wie Ross es ursprünglich angegeben hatte. QEDn=1En

In der obigen Ableitung gilt alles , was wir gesagt haben, gleichermaßen für die deterministische und die probabilistische Version, da die deterministische Modellierung ein Sonderfall der probabilistischen Modellierung ist, bei der der Probenraum ein Element aufweist. Es wurden keine maßtheoretischen oder Wahrscheinlichkeitskonzepte verwendet, außer den Wörtern "Ereignis" und "Realisierung" (die nur Jargon für "Menge" und "Element" sind).

2. Die paradoxe Lösung ist mathematisch fundiert und für die Physik relevant

Nach diesem Einstellungspunkt weichen die deterministischen und probabilistischen Varianten voneinander ab. In der deterministischen Variante (Version 2 aus Amöbenpost) wissen wir, dass Ball 1 im ersten Schritt herausgenommen wird, also ist und die unendliche Schnittmenge natürlich auch leer. In ähnlicher Weise wird jeder andere Ball im Stadium und ist mittags nicht vorhanden. Die Urne kann also mittags keine nummerierte Kugel enthalten und muss deshalb leer sein.b b bE1=bbb

In der probabilistischen Variante geschieht dasselbe Phänomen, nur in einem weicheren Sinne "in Erwartung". Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ball vorhanden ist, sinkt gegen Mittag auf Null, und zur begrenzten Mittagszeit ist der Ball mit ziemlicher Sicherheit nicht vorhanden. Da jeder Ball mit der Wahrscheinlichkeit Null vorhanden ist und die Summe unendlich vieler Nullen immer noch Null ist, befinden sich am Mittag mit ziemlicher Sicherheit keine Bälle in der Urne. All dies wird von Ross völlig rigoros gezeigt; Wie die Antwort von @ekvall zeigt, können Details mit Kenntnissen der Maßtheorie auf Hochschulniveau ergänzt werden.

Wenn Sie die Standardargumente für mathematische Objekte akzeptieren, die als unendliche Folgen ausgedrückt werden, z. B. , sollte das Argument hier genauso akzeptabel sein, da es sich auf genau dieselben Prinzipien stützt. Die einzige Frage ist, ob die mathematische Lösung für die reale Welt oder nur für die platonische Welt der Mathematik gilt. Diese Frage ist komplex und wird in Abschnitt 4 näher erörtert.0.999...=1

Es gibt jedoch keinen Grund anzunehmen, dass das Problem der unendlichen Urne unphysisch ist, oder es als irrelevant abzulehnen, selbst wenn es unphysisch ist. Viele physikalische Erkenntnisse wurden aus der Untersuchung von unendlichen Strukturen und Prozessen gewonnen, beispielsweise von unendlichen Drähten und Perkolationsgittern . Nicht alle diese Systeme sind notwendigerweise physikalisch realisierbar, aber ihre Theorie prägt den Rest der Physik. Kalkül selbst ist in mancher Hinsicht "unphysisch", weil wir nicht wissen, ob es möglich ist, die beliebig kleinen Entfernungen und Zeiten, die häufig Gegenstand des Studiums sind, physikalisch zu realisieren. Das hindert uns nicht daran, den Kalkül in den theoretischen und angewandten Wissenschaften unglaublich gut einzusetzen.

3. Die Unphysikalität von Lösungen basierend auf "physischer Intuition"

Für diejenigen, die immer noch glauben, dass Ross 'Mathematik in der deterministischen Variante falsch oder physikalisch ungenau ist und die wahre physikalische Lösung unendlich viele Bälle enthält: Unabhängig davon, was Sie mittags denken, ist es unmöglich, die Situation vor Mittag zu leugnen: jeder nummerierte Ball hinzugefügt, um die Urne wird schließlich entfernt. Wenn Sie also glauben, dass mittags noch unendlich viele Bälle in der Urne sind, müssen Sie zugeben, dass keiner dieser Bälle vor Mittag hinzugefügt werden kann. Diese Bälle müssen also von einem anderen Ort stammen: Sie behaupten, dass unendlich viele Bälle, die nichts mit dem ursprünglichen Problemprozess zu tun haben, plötzlich genau mittags auftauchen, um die Kontinuität der Kardinalität vor Verletzungen zu bewahren.So unphysisch die "leere Menge" -Lösung auch intuitiv erscheinen mag, diese Alternative ist objektiv und nachweislich unphysisch. Unendliche Ansammlungen von Gegenständen entstehen nicht sofort, nur um schlechte menschliche Intuitionen über Unendlichkeit zu befriedigen.

Der verbreitete Irrtum hier scheint zu sein, dass wir nur die Anzahl der Bälle gegen Mittag betrachten können und davon ausgehen können, dass der abweichende Trend am Mittag unendlich viele Bälle hervorbringt, unabhängig davon, welche Bälle genau ein- und ausgetragen werden. Es wurde sogar versucht, dies mit dem "Prinzip der Gleichgültigkeit" zu rechtfertigen, wonach die Antwort nicht davon abhängen sollte, ob die Kugeln beschriftet sind oder nicht.

In der Tat hängt die Antwort nicht davon ab, ob die Kugeln beschriftet sind oder nicht, aber das ist ein Argument für Ross 'Lösung, nicht dagegen. Aus der Sicht der klassischen Physik werden die Kugeln effektiv beschriftet, unabhängig davon, ob Sie sie als beschriftet betrachten oder nicht. Sie haben eindeutige, dauerhafte Identitäten, die mit Etiketten vergleichbar sind, und eine echte physikalische Analyse muss dies berücksichtigen, unabhängig davon, ob Zahlen buchstäblich auf die Kugeln geschrieben sind oder nicht. Die Etiketten selbst haben keinen direkten Einfluss darauf, wie die Lösung herauskommt. Sie müssen jedoch genau beschreiben, wie die Kugeln bewegt werden. Einige Verfahren belassen Bälle für immer in der Urne, andere entfernen nachweislich jeden hinzugefügten Ball, und Etiketten werden benötigt, um den Unterschied zwischen diesen Verfahren überhaupt zu beschreiben.Der Versuch, die Beschriftungen zu ignorieren, ist nicht "physisch", sondern es wird nur vernachlässigt, das physische Problem genau genug zu verstehen, um es zu lösen. (Das gleiche gilt für komplizierte Varianten, bei denen die Etiketten in jeder Phase neu gemischt werden. Entscheidend ist, welche Kugeln sich in der Urne befinden, nicht die Etiketten, die jemand darauf platziert oder ersetzt hat. Dies lässt sich feststellen, indem das komplizierte Schema der Neuetikettierung vollständig ignoriert und einfach verwendet wird ein einziges unveränderliches Etikettierungsschema, das von Ross 'ursprünglichem Problem.)

Die einzige Möglichkeit, Unterscheidbarkeit nicht zu erreichen, wäre, wenn die "Kugeln" quantenmechanische Teilchen wären. In diesem Fall versagt das Gleichgültigkeitsprinzip auf spektakuläre Weise. Die Quantenphysik zeigt, dass sich nicht unterscheidbare Teilchen völlig anders verhalten als unterscheidbare. Dies hat unglaublich grundlegende Konsequenzen für die Struktur unseres Universums, wie zum Beispiel das Pauli-Ausschlussprinzip, das vielleicht das wichtigste Prinzip der Chemie ist. Bisher hat noch niemand versucht, eine Quantenversion dieses Paradoxons zu analysieren.

4. Physikalische Beschreibung der Lösung

Wir haben gesehen, wie vage "physische" Intuitionen uns bei diesem Problem in die Irre führen können. Umgekehrt stellt sich heraus, dass eine physikalisch genauere Beschreibung des Problems uns hilft, zu verstehen, warum die mathematische Lösung tatsächlich diejenige ist, die am physikalischsten ist.

Stellen Sie sich ein unendliches Newton'sches Universum vor, das den Gesetzen der klassischen Mechanik unterliegt. Dieses Universum enthält zwei Objekte: ein unendliches Regal und eine unendliche Urne, die am Ursprung des Universums beginnen und für immer und ewig nebeneinander verlaufen. Das Regal liegt auf der Linie Fuß, während die Urne auf der Linie Fuß liegt. Entlang des Regals werden unendlich viele identische Bälle gelegt, die gleichmäßig einen Fuß voneinander entfernt sind, wobei der erste Fuß vom Ursprung entfernt ist (also liegt der Ball auf der Linie Fuß). Die Urne - die wirklich genau wie das Regal ist, aber etwas verzierter, geschlossener und allgemeiner Urne - ist leer.y = 1 n x = ny=0y=1nx=n

Ein Gang verbindet das Regal und die Urne unten und oben am Gang, am Ursprung, sitzt ein Endeavour-Roboter mit einer unendlichen Stromversorgung. Ab 11:00 Uhr wird Endeavour aktiviert und zoomt im Gang vor und zurück. Dabei werden die Bälle gemäß den programmierten Anweisungen von Ross-Littlewood zwischen Urne und Regal übertragen:

  • Wenn die Programmbefehle Kugel in den Urn eingeführt werden, den Ball ist Füße von der Herkunft aus dem Regal auf die URN übertragen.nnn
  • Wenn die Programmbefehle Kugel vom Urn entfernt werden, den Ball ist Füße vom Ursprung aus dem Urn zum Regal übertragen.nnn

In beiden Fällen erfolgt die Übertragung quer, sodass der Ball nur noch m vom Ursprung entfernt ist. Der Prozess verläuft wie im Ross-Littlewood-Problem beschrieben:n

  • Um 11:00 Uhr überträgt Endeavour die Bälle 1-10 von Shelf zu Urn und verschiebt dann einen der Urn-Bälle zurück zu Shelf.
  • Um 11:30 Uhr überträgt Endeavour die Bälle 11-20 von Shelf zu Urn und verschiebt dann einen der Urn-Bälle zurück zu Shelf.
  • Um 11:45 Uhr überträgt Endeavour die Bälle 21-30 von Shelf zu Urn und verschiebt dann einen der Urn-Bälle zurück zu Shelf.
  • und so weiter...

Im weiteren Verlauf sind für jeden neuen Schritt längere Auf- und Abfahrten im Gang und nur die Hälfte der Zeit für die Fahrten erforderlich. Endeavour muss sich also exponentiell schneller auf und ab bewegen, wenn der Mittag naht. Aber es hält immer mit dem Programm Schritt, da es über eine unendliche Stromversorgung verfügt und sich so schnell bewegen kann, wie es benötigt wird. Irgendwann kommt der Mittag.

Was passiert in dieser lebendigeren Version des Paradoxons? Von oben betrachtet ist die Annäherung an den Mittag wirklich spektakulär. In der Urne scheint sich eine Kugelwelle vom Ursprung nach außen auszubreiten. Die Größe und die Geschwindigkeit der Welle wachsen, wenn sich der Mittag nähert. Wenn wir unmittelbar nach jedem Schritt Bilder machen würden, wie würde die Anordnung der Kugeln aussehen? Im deterministischen Fall würden sie genau wie die Schrittfunktionen in der Antwort von Amöbe aussehen. Die Ballpositionen würden genau den von ihm gezeichneten Kurven folgen. (x,y)Im wahrscheinlichkeitstheoretischen Fall würde es ungefähr ähnlich aussehen, aber mit mehr Unruhe in der Nähe des Ursprungs.

Wenn der Mittag kommt, ziehen wir eine Bilanz dessen, was passiert ist. In der deterministischen Version wurde jeder Ball genau einmal vom Regal in die Urne übertragen und dann in einem späteren Schritt zurückbewegt, wobei beide Übertragungen vor Mittag erfolgten. Am Mittag muss das Universum wieder in seinem ursprünglichen 11-Uhr-Zustand sein. Die Welle ist nicht mehr. Jeder Ball ist genau dort zurück, wo er angefangen hat. Nichts hat sich verändert. Die Urne ist leer. In der probabilistischen Version passiert dasselbe, außer dass das Ergebnis jetzt nur fast sicher und nicht sicher ist.

In beiden Fällen scheinen "physische Einwände" und Beschwerden über die Unendlichkeit in Luft aufzulösen. Natürlich ist die Urne mittags leer. Wie hätten wir uns etwas anderes vorstellen können?

Das einzig verbleibende Geheimnis ist das Schicksal von Endeavour. Seine Verschiebung vom Ursprung und seine Geschwindigkeit wurden beliebig groß, als sich der Mittag näherte, so dass Endeavour am Mittag in unserem unendlichen Newtonschen Universum nirgends zu finden ist. Der Verlust von Endeavour ist die einzige Verletzung der Physik, die während des Prozesses aufgetreten ist.

An dieser Stelle könnte man einwenden, dass Endeavour physikalisch nicht möglich ist, da seine Geschwindigkeit unbegrenzt wächst und schließlich die relativistische Grenze, die Lichtgeschwindigkeit, verletzen würde. Wir können das Szenario jedoch leicht ändern, um dieses Problem zu beheben. Anstelle eines einzelnen Roboters könnten wir unendlich viele Roboter haben, die jeweils für einen einzelnen Ball verantwortlich sind. Wir könnten sie im Voraus programmieren, um eine perfekte Koordination und ein perfektes Timing gemäß den Anweisungen von Ross zu gewährleisten.

Ist diese Variation 100% physisch? Wahrscheinlich nicht, weil die Roboter mit willkürlich genauem Timing arbeiten müssten. Gegen Mittag würde die geforderte Präzision möglicherweise unter die Planck-Zeit fallen und quantenmechanische Probleme verursachen. Aber letztendlich könnten ein unendlicher Draht und ein unendliches Versickerungsgitter auch nicht allzu physikalisch sein. Das hindert uns nicht daran, unendliche Systeme und Prozesse zu untersuchen und zu bestimmen, was passieren würde, wenn die behindernden physischen Einschränkungen aufgehoben würden.

4a. Warum Count Monotonicity verletzt wird

Eine Reihe von Ross-Skeptikern hat in Frage gestellt, wie es möglich ist, dass die Anzahl der Bälle in der Urne gegen Mittag unbegrenzt zunimmt und dann gegen Mittag Null ist. Letztendlich müssen wir an eine strenge Analyse unserer eigenen Intuition glauben, was oft falsch ist, aber es gibt eine Variation des Paradoxons, die hilft, dieses Geheimnis zu erhellen.

Angenommen, wir haben statt unendlich vieler Bälle Bälle mit den Bezeichnungen 1, 2, 3 bis , und wir den Regeln für den Ballbeweger den folgenden Zusatz hinzu:10 N10N10N

  • Wenn Sie in den Anweisungen aufgefordert werden, einen nicht vorhandenen Ball zu bewegen, ignorieren Sie diese Anweisung.

Beachten Sie, dass das ursprüngliche Problem unverändert bleibt, wenn wir diese Anweisung hinzufügen, da die Anweisung niemals mit unendlich vielen Bällen aktiviert wird. So können wir uns vorstellen, dass das ursprüngliche Problem und diese neue Problemfamilie Teil derselben Familie mit denselben Regeln sind. Das Untersuchen der endlichen Familie, insbesondere für sehr große , kann uns helfen, den Fall "N = " zu verstehen .N NN

Bei dieser Variante sammeln sich die Kugeln 9 pro Schritt wie zuvor, jedoch nur bis zum Schritt des Prozesses. Dann entsprechen die Zahlen für die hinzuzufügenden Bälle nicht mehr den tatsächlichen Bällen, und wir können nur die Anweisung zum Entfernen von Bällen befolgen, und der Vorgang wird nach zusätzlichen Schritten für insgesamt Schritte . Wenn sehr groß ist, tritt die Nur-Entfernen-Phase sehr nahe am Mittag auf, wenn die Aufgaben sehr schnell erledigt werden und die Urne sehr schnell entleert wird.9 N 10 N NN9N10NN

Nehmen wir nun an, dass wir diese Variation des Experiments für jeden Wert von und die über die Zeit , wobei von 0 bis 1 Stunde nach 11 Uhr (dh 11 Uhr bis Mittag) reicht. Typischerweise für eine Weile an und fällt dann bei oder vor auf Null zurück . In der Grenze, in der sich Unendlichkeit nähert, steigt der Graph immer höher und der Abfall immer schneller. Gegen Mittag ist die Urne immer leer: . In der nähert sich die Kurve für Unendlichkeit, aberf N ( t ) t f N ( t ) t = 1 N f N ( 1 ) = 0 f ( t ) = lim N f N ( t ) t < 1 f ( 1 ) = 0 N NfN(t)tfN(t)t=1NfN(1)=0f(t)=limNfN(t)t<1f(1)=0. Dies ist genau das Ergebnis, das sich aus Ross 'Beweis ergibt: Die Anzahl der Bälle divergiert vor dem Mittag gegen unendlich, ist aber am Mittag Null. Mit anderen Worten, Ross 'Lösung bewahrt die Kontinuität in Bezug auf N: Die punktweise Begrenzung der Ballanzahl, da mit der Ballanzahl im Fall mit unendlichen übereinstimmt.N

Ich halte dies nicht für ein primäres Argument für Ross 'Lösung, aber es kann für diejenigen hilfreich sein, die sich nicht sicher sind, warum die Anzahl der Bälle für immer steigt und gegen Mittag auf Null fällt. Obwohl seltsam, ist es das einschränkende Verhalten der endlichen Version des Problems als und kommt daher im unendlichen Fall nicht als "plötzlicher Schock".N

Eine abschließende Betrachtung

Warum hat sich dieses Problem für so viele als solch eine Teergrube erwiesen? Ich spekuliere, dass unsere physische Intuition viel ungenauer ist als wir denken, und wir ziehen oft Schlussfolgerungen, die auf ungenauen und unvollständigen mentalen Vorstellungen beruhen. Wenn ich Sie zum Beispiel auffordere, an ein Quadrat zu denken, das auch ein Kreis ist, können Sie sich etwas Quadratisches und Rundes vorstellen, aber es werden nicht genau diese beiden Dinge sein - das wäre unmöglich. Der menschliche Geist kann leicht vage, widersprüchliche Konzepte zu einem einzigen mentalen Bild zusammenfügen. Wenn die Konzepte weniger vertraut sind, wie das Unendliche, können wir uns davon überzeugen, dass diese vagen mentalen Mashups tatsächlich Konzepte des Wirklichen sind.

Genau das passiert beim Urnenproblem. Wir begreifen das Ganze nicht wirklich auf einmal; Wir überlegen uns, wie viele Bälle es im Laufe der Zeit gibt. Wir winken vermeintlich irrelevanten technischen Details davon, wie zum Beispiel, was mit jedem bescheidenen kleinen Ball im Laufe der Zeit passiert oder wie genau eine "Urne" unendlich viele Bälle aufnehmen kann. Wir versäumen es, alle Details präzise darzulegen, ohne zu bemerken, dass das Ergebnis ein Mashup inkonsistenter, inkompatibler mentaler Modelle ist.

Die Mathematik soll uns aus diesem Zustand befreien. Es diszipliniert und stiehlt uns angesichts des Fremden und Exotischen. Es verlangt, dass wir uns zweimal überlegen, was "wahr" sein muss ... richtig? Es erinnert uns daran, dass, egal wie seltsam die Dinge werden, eins und eins immer noch zwei sind, eine Kugel entweder in einer Urne ist oder nicht, und eine Aussage ist entweder wahr oder falsch. Wenn wir durchhalten, bringen diese Prinzipien schließlich Klarheit in die meisten unserer Probleme.

Diejenigen, die die mathematische Analyse der "physischen" oder "gesunden Menschenverstand" -Intuition unterordnen, tun dies auf eigene Gefahr. Das Handwinken über Intuitionen ist nur der Anfang der Physik. Historisch gesehen haben sich alle erfolgreichen Zweige der Physik letztendlich auf die rigorose Mathematik gegründet, die falsche physikalische Intuitionen beseitigt, die richtigen stärkt und das rigorose Studium idealer Systeme wie des unendlichen stromführenden Drahtes ermöglicht, der das Verhalten des Menschen beleuchtet kompliziertere, chaotischere reale Welt. Ross-Littlewood ist ein körperliches Problem,In der Regel als eine der klassischen Mechanik interpretiert, und die klassische Mechanik hat eine völlig ausgereifte und strenge mathematische Grundlage. Wir sollten uns für unsere Intuitionen über die Welt der klassischen Physik auf mathematische Modelle und Analysen verlassen, nicht umgekehrt.


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Dies ist der richtige Weg. Die volle Bedeutung von "das hat nichts mit Wahrscheinlichkeit zu tun" ist jedoch nicht ganz klar, da es notwendige Annahmen über die Wahrscheinlichkeit gibt: Ohne sie ändern sich die Schlussfolgerungen. Wenn Sie beispielsweise der Chance, Ball , in jeder Phase eine Wahrscheinlichkeit von Null zuweisen , bleibt Ball nach Mitternacht bestehen. 111
Whuber

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Whuber

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Mehrere Plakate waren besorgt, die Berechnungen in Ross könnten nicht rigoros sein. Diese Antwort adressiert dies, indem sie die Existenz eines Wahrscheinlichkeitsraums beweist, in dem alle von Ross berücksichtigten Ergebnismengen tatsächlich messbar sind, und dann die entscheidenden Teile von Ross 'Berechnungen wiederholt.

Einen geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum finden

Um zu der Schlussfolgerung von Ross zu gelangen, dass um 12 Uhr keine Bälle in der Urne sind, brauchen wir mit ziemlicher Sicherheit die Existenz eines Wahrscheinlichkeitsraums in dem das Ereignis "keine Bälle in der Urne um 12 Uhr " auftritt PM "kann formal aufgebaut und messbar gemacht werden. Zu diesem Zweck verwenden wir in diesen leicht umformulierten Vorlesungsskripten Theorem 33 [Ionescu - Tulcea] und eine von @NateEldredge in einem Kommentar zur Frage vorgeschlagene Konstruktion.(Ω,F,P)

Satz. (Ionescu - Tulcea-Erweiterungssatz) Betrachten Sie eine Folge messbarer Räume . Angenommen, für jedes existiert ein Wahrscheinlichkeitskernel von bis (wobei ein Kernel ist, der gegenüber seinem ersten Argument, dh einem Wahrscheinlichkeitsmaß, unempfindlich ist). Dann existiert eine Folge von Zufallsvariablen die Werte im entsprechenden , so dass für jedes die gemeinsame Verteilung vonn κ n ( Ξ 1 , X 1 ) × × ( Ξ n - 1 , X n - 1 ) ( Ξ n , X n ) κ 1 X n , n = 1 , 2 , Ξ n n(Ξn,Xn),n=1,2,nκn(Ξ1,X1)××(Ξn1,Xn1)(Ξn,Xn)κ1Xn,n=1,2,Ξnnκ 1 , , κ n(X1,,Xn)wird durch die Kernel .κ1,,κn

Wir lassen das Etikett des Balls bezeichnen, der bei der ten Entnahme entfernt wurde. Es ist klar, dass der (unendliche) Prozess , falls vorhanden, uns alles sagt, was wir wissen müssen, um Ross 'Argumente nachzuahmen. Zum Beispiel ist die Kenntnis von für eine ganze Zahl die gleiche wie die Kenntnis der Anzahl der Kugeln in der Urne nach der Entnahme : Es handelt sich genau um die hinzugefügten Kugeln mit den Bezeichnungen abzüglich der entfernten Kugeln . Im Allgemeinen können Ereignisse, die beschreiben, welche und wie viele Bälle sich nach einem bestimmten Abzug in der Urne befinden, in Bezug auf den Prozess . n X = ( X 1 , X 2 , ) X 1 , , X m m 0 m { 1 , 2 , , 10 m } { X 1 , , X m } XXnnX=(X1,X2,)X1,,Xmm0m{1,2,,10m}{X1,,Xm}X

Um mit Ross 'Experiment übereinzustimmen, brauchen wir, dass für jedes die Verteilung von auf gleichmäßig ist. . Wir brauchen auch eine gleichmäßige Verteilung von auf . Um zu beweisen, dass ein unendlicher Prozess mit diesen endlichdimensionalen Verteilungen tatsächlich existiert, überprüfen wir die Bedingungen des Ionescu-Tulcea-Erweiterungssatzes. Für jede ganze Zahl sei und definiere die messbaren Räume , woX nX n - 1 , , X 1 { 1 , 2 , , 10 n } X 1 , , X n - 1 X 1 { 1 , , 10 } X = ( X 1 , X 2 , ) n I n = { 1n2XnXn1,,X1{1,2,,10n}X1,,Xn1X1{1,,10}X=(X1,X2,)n( Ξ n , X n ) = ( I 10 n , 2 I 10 n ) 2 B B κ 1 ( Ξ 1 , X 1 ) 1 / 10 Ξ 1 n 2 ( x 1 , ... , x n - 1 ) & Xgr; 1 × In={1,2,,n}(Ξn,Xn)=(I10n,2I10n)2B bezeichnet die Potenzmenge des Satzes . Definieren Sie die Kennzahl auf , dass alle Elemente von einer Masse von . Für jedes und definieren Sie ist der Wahrscheinlichkeitskernel, der für alle Punkte in die gleiche Masse und für alle anderen Punkte die Masse Null , dh für on die ganzen ZahlenBκ1(Ξ1,X1)1/10Ξ1n2 κ n ( x 1 , , x n - 1 , ) Ξ n{ x 1 , , x n - 1 } x iΞ n , i = 1 , , n - 1 X ( Ω , F , P )(x1,,xn1)Ξ1××Ξn1κn(x1,,xn1,)Ξn{x1,,xn1}xiΞn,i=1,,n1. Die Wahrscheinlichkeitskerne stimmen konstruktionsbedingt mit der von Ross angegebenen einheitlichen Entfernungswahrscheinlichkeit überein. Der unendliche Prozess und der Wahrscheinlichkeitsraum , dessen Existenz durch den Satz gegeben ist, geben uns also die Möglichkeit, Ross 'Argumentation formal auszuführen.X(Ω,F,P)

Es sei die Menge der Ergebnisse, so dass sich die Kugel in der Urne nach dem Rückzug . In Bezug auf unseren stochastischen Prozess bedeutet dies, dass wir für alle und so definieren, dass , dh der Ball wurde in keiner der Auslosungen bis einschließlich der ten entfernt. Für können wir klar definieren seit Ball noch nicht an der Wende hinzugefügt. Für jedes und die Menge i n X i n i 10 n E i n = n j = 1 { ω : X j ( ω ) i } i n i > 10 n E i n = i j i { ω : X j ( ω ) i } X j E iEininXini10nEin=j=1n{ω:Xj(ω)i}ini>10nEin=iji{ω:Xj(ω)i} ist messbar, da eine Zufallsvariable ist (messbar). Somit ist messbar als die endliche Verschneidung messbarer Mengen.XjEin

Wir sind an der Ergebnismenge interessiert, sodass um 12 Uhr keine Bälle in der Urne sind. Das heißt, die Ergebnismenge ist so, dass für jede ganze Zahl Kugel um 12 Uhr nicht in der Urne ist Für jedes sei die Menge der Ergebnisse ( ), so dass der Ball um 12 Uhr in der Urne ist. Wir können formal mit unserem wie folgt konstruieren . Dass um 12.00 Uhr in der Urne bin, ist gleichbedeutend damit, dass ich nach jeder Entnahme in der Urne nachdem sie der Urne hinzugefügt wurde.i i E i & ohgr; & OHgr; i E i E i n i E i = n : i 10 n E i n E i ii=1,2iiEiωΩiEiEiniEi=n:i10nEin. Die Ergebnismenge ist nun messbar als der zählbare Schnittpunkt von messbaren Mengen für jedes .Eii

Die Ergebnisse, für die es um 12 Uhr mindestens eine Kugel in der Urne gibt, sind diejenigen, für die mindestens eine der , dh . Die Ergebnismenge ist messbar als abzählbare Vereinigung von messbaren Mengen. Jetzt ist der Fall, dass um 12 Uhr keine Kugeln in der Urne sind, was tatsächlich als Ergänzung eines messbaren Satzes messbar ist. Wir kommen zu dem Schluss, dass alle gewünschten Ergebnisse messbar sind und wir können, wie Ross, ihre Wahrscheinlichkeiten berechnen. E = i = 1 E i E Ω EEiE=i=1EiEΩE

Berechnung der WahrscheinlichkeitP(ΩE)

Wir bemerken zunächst, da die Ereignisfamilie abzählbar ist, haben wir durch abzählbare Subadditivität von Maßnahmen, dassEi,i=1,2,

P ( E i ) = a i i P ( E ) = 0 N i = 1 a i = 0 N a i = 0 i

P(E)i=1P(Ei)=limNi=1NP(Ei).
Zur Vereinfachung der Notation bezeichnen wir die reelle Zahl für alle . Um zu zeigen, dass , genügt es natürlich zu zeigen, dass für alle . Dies ist gleichbedeutend damit, dass für jedes , was wir jetzt tun werden.P(Ei)=aiiP(E)=0i=1Nai=0Nai=0i

Zu diesem Zweck ist zu beachten, dass für alle die Kugel zur Urne hinzugefügt wurde, dh , . Dies ist so, weil, wenn sich die Kugel in der Urne in Schritt , sie sich auch in der Urne in Schritt . Mit anderen Worten bilden die Mengen eine abnehmende Folge für alle so dass . Zur Vereinfachung der Notation sei . Ross beweist, dass als und gibt an, dass dies auch für alle andereni 10 n i E i nE i ( n + 1 ) i n + 1 n E i n n 10 n i a i n = P ( E i n ) a 1 n0 n i a i n = n k = i [ 9 kni10niEinEi(n+1)in+1nEinn10niain=P(Ein)a1n0ni, was ich als wahr nehmen werde. Der Beweis besteht darin, dass und für alle , an elementare aber langwierige Berechnung werde ich hier nicht wiederholen. Mit diesem Ergebnis und der Tatsache, dass die Ereignisfamilie , für jedes i abzählbar ist , ergibt sich eine Kontinuität der Maßnahmenlim n a i n = 0 i E i n 10 n > iain=k=in[9k/(9k+1)]limnain=0iEin10n>i

ai=P(n:10n>iEin)=limnP(Ein)=limnain=0.

Wir schließen daraus, dass und somit wie behauptet. QED.P ( Ω E ) = 1P(E)=0P(ΩE)=1


Einige häufige Missverständnisse:

  1. Eine Antwort betrifft die Tatsache, dass (in meiner Notation) . Dies hat jedoch keinen Einfluss auf die Gültigkeit der Lösung, da die Menge auf der rechten Seite nicht für das angegebene Argument von Interesse ist.limNi=1NlimnainlimNi=1NaiN
  2. Es gab Bedenken, dass das Limit nicht innerhalb der Summe verschoben werden kann oder mit anderen Worten nicht mit der Summe in dem Sinne ausgetauscht werden kann, dass es der Fall sein kann, dass . Wie bei der vorherigen Bemerkung ist dies für die Lösung irrelevant, da die Menge auf der rechten Seite nicht von Interesse ist.i=1limnainlimni=1ain

4
@ekvall Kudos für diese undankbare Arbeit. Was die Leute im Allgemeinen verstehen sollten, ist, dass, wenn Sie einige Ereignisse definieren und zählbare Mengenoperationen für diese Ereignisse ausführen, die resultierenden Mengen in der von diesen Ereignissen generierten Sigma-Algebra messbar sind. Genau dafür wurden Sigma-Algebren entwickelt: Geben Sie uns ein Universum, in dem wir zählbare Mengenoperationen ausführen können, ohne auf Messbarkeit achten zu müssen.
Paul

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Whuber

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Einerseits könnten Sie versuchen, es so zu erklären: "Denken Sie an die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ball um 12 Uhr auf der Urne liegt. Während der unendlichen Zufallsziehung wird er schließlich entfernt. Da dies für alle Bälle gilt, gilt keiner von ihnen können am Ende da sein ".

Ich finde dieses Argument nicht überzeugend. Wenn dieses Argument funktioniert, dann funktioniert das folgende Argument: Jedes Jahr werden einige Menschen geboren (sagen wir einen konstanten Bruchteil der Gesamtbevölkerung) und einige sterben (nehmen wir einen konstanten Bruchteil an). Dann, da im Endeffekt eine bestimmte Person fast sicher tot ist, muss die Menschheit aussterben! Nun mag die Menschheit aus anderen Gründen aussterben, aber dieses Argument ist Müll.

Es macht keinen Sinn, dass dieses Problem eine Lösung hat, wenn die Bälle nummeriert sind, und eine völlig andere Antwort, wenn die Bälle anonym sind. Aus Symmetriegründen sollten beliebige Bezeichnungen die Lösung nicht beeinflussen. Jaynes nannte dieses Argument das Prinzip der Gleichgültigkeit , das ich akzeptiere.

Mit anderen Worten, wenn jemand Ihnen sagt, dass er zehn Bälle in eine Urne legt und wiederholt einen entfernt und wie voll die Urne im Limit ist, lautet Ihre Antwort "Es hängt davon ab, ob die Bälle nummeriert sind"? Natürlich nicht. Der Inhalt dieser Urne divergiert genau wie die Urne in diesem Problem.

Daher liegt die Lösung meines Erachtens darin, wie wir das Problem formalisieren. Von der üblichen Definition der satztheoretischen Grenze haben wir

lim sup n S n =n 1 j n S j

lim infnSn=n1jnSj.
lim supnSn=n1jnSj

Die Grenze der Kardinalität der Menge sei

klimn|Sn|

und die Kardinalität der Grenze der Menge seinlim inf

l|lim infn(Sn)|.

Ich schlage vor, die mengentheoretische Grenze neu zu definieren, damit: