Was ist mit der von einer Zufallsvariablen erzeugten

Im Verlauf meines (Selbst-) Studiums der Statistik bin ich häufig auf die Terminologie " Algebra, die durch eine Zufallsvariable erzeugt wird " gestoßen. Ich verstehe die Definition auf Wikipedia nicht , aber vor allem verstehe ich die Intuition dahinter nicht. Warum / wann brauchen wir Algebren, die durch Zufallsvariablen erzeugt werden? Was ist ihre Bedeutung? Ich kenne folgendes:$\sigma$$\sigma-$

• Eine Algebra auf einer Menge ist eine nicht leere Sammlung von Teilmengen von die enthält und unter Komplement und unter abzählbarer Vereinigung geschlossen ist.$\sigma$$\Omega$$\Omega$$\Omega$
• Wir führen Algebren ein, um Wahrscheinlichkeitsräume auf unendlichen Probenräumen zu bilden. Insbesondere wenn unzählig unendlich ist, wissen wir, dass es nicht messbare Teilmengen geben kann (Mengen, für die wir keine Wahrscheinlichkeit definieren können). Wir können also nicht einfach die Potenzmenge von als unsere Menge von Ereignissen . Wir brauchen eine kleinere Menge, die immer noch groß genug ist, um die Wahrscheinlichkeit von interessanten Ereignissen zu definieren, und wir können über die Konvergenz einer Folge von Zufallsvariablen sprechen.$\sigma$$\Omega$$\Omega$ $\mathcal{P}(\Omega)$$\mathcal{F}$

Kurz gesagt, ich glaube, ich verstehe die intuitiv . Ich hätte gerne ein ähnliches Verständnis für die durch Zufallsvariablen erzeugten Algebren: Definition, warum wir sie brauchen, Intuition, ein Beispiel ...$\sigma-$$\sigma-$

Betrachten wir eine Zufallsvariable $X$ . Wir wissen, dass $X$ nichts anderes ist als eine messbare Funktion von $\left(\Omega, \mathcal{A} \right)$ nach $\left(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}) \right)$ , wobei $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ die Borel-Mengen der reellen Linie sind. Durch die Definition von Messbarkeit wissen wir, dass wir haben

In der Praxis sind die Vorbilder der Borel-Mengen jedoch möglicherweise nicht alle von $\mathcal{A}$ sondern bilden möglicherweise eine viel gröbere Teilmenge davon. Um dies zu sehen, lassen Sie uns definieren

Unter Verwendung der Eigenschaften von Vorbildern ist es nicht allzu schwierig zu zeigen, dass $\mathcal{\Sigma}$ eine Sigma-Algebra ist. Es folgt auch sofort, dass $\mathcal{\Sigma} \subset \mathcal{A}$ , also $\mathcal{\Sigma}$ eine Sub-Sigma-Algebra ist. Ferner ist anhand der Definitionen leicht zu erkennen, dass die Abbildung $X: \left( \Omega, \mathcal{\Sigma} \right) \to \left( \mathbb{R}, \mathcal{B} \left(\mathbb{R} \right) \right)$ messbar ist. $\mathcal{\Sigma}$ ist in der Tat die kleinste Sigma-Algebra, die $X$ einer Zufallsvariablen macht, wie alle anderen Sigma-Algebren dieser Art mindestens $\mathcal{\Sigma}$. Aus dem Grund, dass es sich um Vorbilder der Zufallsvariablen $X$ , nennen wir $\mathcal{\Sigma}$ die durch die Zufallsvariable $X$ induzierte Sigma-Algebra .

Hier ist ein extremes Beispiel: Betrachte eine konstante Zufallsvariable $X$ , dh $X(\omega) \equiv \alpha$ . Dann ist $X^{-1} \left(B \right), \ B \in \mathcal{B} \left(\mathbb{R} \right)$ entweder $\Omega$ oder $\varnothing$ abhängig davon, ob $\alpha \in B$ . Die so erzeugte Sigma-Algebra ist trivial und als solche definitiv in $\mathcal{A}$ .

Hoffe das hilft.