Was ist die Erwartung einer Zufallsvariablen geteilt durch ein durchschnittliches ?

Sei IID und . Es scheint offensichtlich, aber ich habe Probleme, es formal abzuleiten. $X_i$ $\bar{X} = \sum_{i=1}^{n} X_i$

E. [\frac{{X.}_{ich}}{\bar{X.}}]] = ?

$E\left[\frac{X_i}{\bar{X}}\right] = \ ?$

probability random-variable expected-value

— Stollenm
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Sei unabhängige und identisch verteilte Zufallsvariablen und definiere $X_1,\dots,X_n$

\bar{X} = \frac{X_{1} + X_{2} \dots + X_{n}}{n} .

$\bar{X}=\frac{X_1+X_2\dots+X_n}{n}.$

Angenommen, . Da die identisch verteilt sind, sagt uns die Symmetrie, dass für die (abhängigen) Zufallsvariablen dieselbe Verteilung haben: Wenn die Erwartungen existieren (dies ist ein entscheidender Punkt), dann und für haben wir $\Pr\{\bar{X}\ne 0\}=1$ $X_i$ $i=1,\dots n$ $X_i/\bar{X}$

\frac{X_{1}}{\bar{X}} \sim \frac{X_{2}}{\bar{X}} \sim \dots \sim \frac{X_{n}}{\bar{X}} .

$\frac{X_1}{\bar{X}} \sim \frac{X_2}{\bar{X}} \sim \dots \sim \frac{X_n}{\bar{X}}.$

E [X_{i} / \bar{X}]

$\mathrm{E}[X_i/\bar{X}]$

E. [\frac{{X.}_{1}}{\bar{X.}}]] = E. [\frac{{X.}_{2}}{\bar{X.}}]] = \dots = E. [\frac{{X.}_{n}}{\bar{X.}}]],

$\mathrm{E}\left[ \frac{X_1}{\bar{X}} \right] = \mathrm{E}\left[ \frac{X_2}{\bar{X}} \right] = \dots = \mathrm{E}\left[ \frac{X_n}{\bar{X}} \right],$

i = 1, \dots, n

$i=1,\dots,n$

\begin{aligned} E. [\frac{{X.}_{ich}}{\bar{X.}}]] & = \frac{1}{n} (E. [\frac{{X.}_{1}}{\bar{X.}}]] + E. [\frac{{X.}_{2}}{\bar{X.}}]] + \dots + E. [\frac{{X.}_{n}}{\bar{X.}}]]) \\ = \frac{1}{n} E. [\frac{{X.}_{1}}{\bar{X.}} + \frac{{X.}_{2}}{\bar{X.}} + \dots + \frac{{X.}_{n}}{\bar{X.}}]] \\ = \frac{1}{n} E. [\frac{{X.}_{1} + {X.}_{2} + \dots + {X.}_{n}}{\bar{X.}}]] \\ = \frac{1}{n} E. [\frac{n \bar{X.}}{\bar{X.}}]] \\ = \frac{n}{n} E. [\frac{\bar{X.}}{\bar{X.}}]] = 1. \end{aligned}

$\begin{align} \mathrm{E}\left[ \frac{X_i}{\bar{X}} \right] &= \frac{1}{n} \left( \mathrm{E}\left[ \frac{X_1}{\bar{X}} \right] + \mathrm{E}\left[ \frac{X_2}{\bar{X}} \right] + \dots + \mathrm{E}\left[ \frac{X_n}{\bar{X}} \right] \right) \\ &= \frac{1}{n}\,\mathrm{E}\left[ \frac{X_1}{\bar{X}} + \frac{X_2}{\bar{X}} + \dots + \frac{X_n}{\bar{X}} \right] \\ &= \frac{1}{n}\,\mathrm{E}\left[ \frac{X_1+X_2+\dots+X_n}{\bar{X}} \right] \\ &= \frac{1}{n}\,\mathrm{E}\left[ \frac{n\bar{X}}{\bar{X}} \right] \\ &= \frac{n}{n}\,\mathrm{E}\left[ \frac{\bar{X}}{\bar{X}} \right] = 1. \end{align}$

Mal sehen, ob wir dies durch einfaches Monte Carlo überprüfen können.

x <- matrix(rgamma(10^6, 1, 1), nrow = 10^5)
mean(x[, 3] / rowMeans(x))

[1] 1.00511

Gut, und die Ergebnisse ändern sich bei Wiederholung nicht viel.

— Zen
quelle

(+1) Die Schlussfolgerung, dass nicht existiert, ist wahr, erfordert jedoch ein subtileres Argument als alle anderen, mit denen Sie bisher verknüpft haben, da und nicht unabhängig sind.

E [X_{i} / \bar{X}]

$E[X_i/\bar X]$

X_{i}

$X_i$

\bar{X}

$\bar X$

— whuber

@whuber: Kannst du das ein bisschen erweitern, Bill? Ich habe die Abhängigkeit von und in einem der Kommentare zur verknüpften Frage erwähnt. Auch Xi'ans Antwort spricht den Fall mit einer einfachen Transformation an. In einem seiner Kommentare gab er auch die Verteilung von an. Vielen Dank für Ihre Gedanken dazu.

X_{i}

$X_i$

\bar{X}

$\bar{X}$

n = 2

$n=2$

X_{i} / \bar{X}

$X_i/\bar{X}$

— Zen

@whuber: Ich denke , meine Erklärung klappt da das ist , ist ein Standard-Cauchy. Keine Abhängigkeit.

{X.}_{ich} /. \bar{X.} = n /. {1 + {X.}_{2} /. {X.}_{1} + \dots + {X.}_{n} /. {X.}_{1}}}

$X_i/\bar{X}=n/\{1+X_2/X_1+\cdots+X_n/X_1\}$

n / {1 + (n - 1) Z}

$n/\{1+(n-1)Z\}$

Z

$Z$

— Xi'an

@ Xi'an: Haben Sie hier das verwendet (betrachten Sie den Fall ), da und Standard-Cauchy sind, dann ist auch Standard-Cauchy? Aber das stimmt nicht, weil und nicht unabhängig sind, oder?

n = 3

$n=3$

U = X_{2} / X_{1}

$U=X_2/X_1$

V = X_{3} / X_{1}

$V=X_3/X_1$

(U + V) / 2

$(U+V)/2$

U

$U$

V

$V$

— Zen

@Zen: Allerdings sind und unabhängige Normalvariablen, daher ist ein Cauchy, wenn mit einer -Skala anstelle von .

(X_{2} + \dots + X_{n})

$(X_2+\cdots+X_n)$

X_{1}

$X_1$

(X_{2} + \dots + X_{n}) / X_{1}

$(X_2+\cdots+X_n)/X_1$

\sqrt{n - 1}

$\sqrt{n-1}$

n - 1

$n-1$

— Xi'an