Realer Gebrauch von Momenterzeugungsfunktionen

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In den meisten grundlegenden Kursen zur Wahrscheinlichkeitstheorie sind Ihre Funktionen zur Erzeugung des angegebenen Moments (mgf) nützlich, um die Momente einer Zufallsvariablen zu berechnen. Insbesondere die Erwartung und Varianz. In den meisten Kursen können die Beispiele für Erwartung und Varianz mithilfe der Definitionen analytisch gelöst werden.

Gibt es Beispiele für Verteilungen im wirklichen Leben, bei denen es schwierig ist, die Erwartung und Varianz analytisch zu finden, und daher die Verwendung von mgf erforderlich war? Ich frage, weil ich das Gefühl habe, nicht genau zu verstehen, warum sie in den Grundkursen wichtig sind.

— Pavan Sangha
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Sie haben Recht, dass mgfs in Einführungskursen etwas unmotiviert wirken können. Also einige Anwendungsbeispiele. Erstens verwenden wir bei diskreten Wahrscheinlichkeitsproblemen häufig die Wahrscheinlichkeitserzeugungsfunktion, aber das ist nur eine andere Verpackung des mgf, siehe Was ist der Unterschied zwischen der Momenterzeugungsfunktion und der Wahrscheinlichkeitserzeugungsfunktion? . Das pgf kann verwendet werden, um einige Wahrscheinlichkeitsprobleme zu lösen, die ansonsten schwer zu lösen wären. Ein aktuelles Beispiel auf dieser Site zeigt PMF für die Anzahl der Versuche, die für zwei aufeinanderfolgende Köpfe oder die Summe von Gammaverteilungen erforderlich sind, wobei eine Poissonverteilung ist $N$ $N$ . Einige nicht so offensichtliche Anwendungen , die noch in einem Einführungskurs verwendet werden könnten, werden in der gegebenen Prognose der reziproken Wert einer Variablen , Erwartungswert von , wenn eine Beta - Verteilung folgt $1/x$ $x$ und für unabhängigen RVs , tut implizieren ? $X_1,X_2,X_3$ $X_1+X_2\stackrel{d}{=}X_1+X_3$ $X_2\stackrel{d}{=}X_3$ .

Eine andere Art der Verwendung ist die Konstruktion von Approximationen von Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Ein Beispiel ist die Sattelpunktnäherung, die als Ausgangspunkt die natürlichen Logarithmen des mgf verwendet, die als kumulierende Erzeugungsfunktion bezeichnet werden. Siehe Wie funktioniert die Sattelpunktnäherung? und für einige Beispiele siehe Gebunden für die gewichtete Summe der Poisson-Zufallsvariablen und die generische Summe der Gamma-Zufallsvariablen

Mgfs können auch verwendet werden, um Grenzwertsätze zu beweisen, zum Beispiel die Poisson-Grenze von Binomialverteilungen. Intuitiv zu verstehen, warum die Poisson-Verteilung der Grenzfall der Binomialverteilung ist, kann über mgfs bewiesen werden.

Einige Beispiele (Übungssätze mit Lösungen) für die versicherungsmathematische Verwendung von mgf finden Sie hier: https://faculty.math.illinois.edu/~hildebr/370/370mgfproblemssol.pdf Durchsuchen Sie das Internet mit "Moment Generating Function Actuarial" viele ähnliche Beispiele. Die Aktuare scheinen mgfs zu verwenden, um einige Probleme zu lösen (die beispielsweise bei Prämienberechnungen auftreten), die sonst schwer zu lösen sind. Ein Beispiel in Abschnitt 3.5 Seite 21 und Bücher zur versicherungsmathematischen Risikotheorie . Eine Quelle für (geschätzte) mgfs für solche Anwendungen könnten empirische mgfs sein (seltsamerweise kann ich hier nicht einmal einen Beitrag über empirische Momenterzeugungsfunktionen finden).

— kjetil b halvorsen
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Die versicherungsmathematischen Anwendungsfälle in den verknüpften PDF-Fragen gehen davon aus, dass man auf mysteriöse Weise den MGF einer Verteilung aus einer scheinbar dünnen Luft erhält und daher nicht besonders aufschlussreich ist. Das Googeln von „versicherungsmathematischem MGF“ führt ebenfalls zirkulär nur zu anderen akademischen Fragen, die darauf beruhen, dass der MGF einer mysteriösen Verteilung bereits bekannt ist. Wie könnte man so etwas ableiten, wenn es unbekannt ist? Ihre anderen Beispiele sind jedoch anschaulicher.

— Ijoseph

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Gibt es Beispiele für Verteilungen im wirklichen Leben, bei denen es schwierig ist, die Erwartung und Varianz analytisch zu finden, und daher die Verwendung von mgf erforderlich war?

Es gibt viele Probleme, bei denen es schwierig ist, den Mittelwert und die Varianz unter Verwendung ihrer Standardformeln als Summe / Integral über die Masse / Dichte zu finden. Ein Beispiel, bei dem dies schwierig, aber nicht unmöglich ist, ist die Verteilung des Couponsammlers , die eine Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion hat:

P (T = t) = \frac{m!}{m^{t}} \cdot S (t - 1, m - 1) for all integers t ⩾ m,

$\mathbb{P}(T=t) = \frac{m!}{m^t} \cdot S(t-1, m-1) \quad \quad \quad \text{for all integers } t \geqslant m,$

wobei die Funktion die Stirling-Zahlen der zweiten Art bezeichnet . Wenn Sie versuchen, die Standardmethode hier zu verwenden, erhalten Sie eine rekursive Formel mit den Stirling-Zahlen. Die Arbeit mit dieser Methode ist umständlich. Eine einfachere Methode, um den Mittelwert und die Varianz zu erhalten, besteht darin, die kumulative Erzeugungsfunktion (Logarithmus der Momenterzeugungsfunktion) abzuleiten, die die Stirling-Zahlen nicht mehr enthält. Es ist dann relativ einfach, die Kumulanten der Verteilung zu erhalten. Ich empfehle Ihnen, diese Übung mit beiden Methoden auszuprobieren, um zu sehen, was ich meine. $S$

— Ben - Monica wieder einsetzen
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