Wie kann gezeigt werden, dass eine ausreichende Statistik NICHT minimal ausreichend ist?

Mein Hausaufgabenproblem besteht darin, ein Gegenbeispiel zu geben, bei dem eine bestimmte Statistik im Allgemeinen nicht minimal ausreichend ist. Unabhängig von den Einzelheiten der Suche nach einem bestimmten Gegenbeispiel für diese bestimmte Statistik wirft dies für mich die folgende Frage auf:

Frage: Wie kann man die Bedingung formulieren, keine minimale ausreichende Statistik zu sein, so dass nachgewiesen werden kann, dass eine ausreichende Statistik die Bedingung erfüllt?

Bisherige Arbeit: Die Definition der minimal ausreichenden Statistik in meinem Lehrbuch (Keener, Theoretische Statistik: Themen für einen Kernkurs ) lautet wie folgt:

• Eine Statistik ist minimal ausreichend, wenn ausreichend ist, und für jede ausreichende Statistik existiert eine Funktion so dass ae .$T$$T$$\tilde{T}$$f$$T = f(\tilde{T})$$\mathcal{P}$

Beachten Sie, dass (ae ) bedeutet, dass die Menge, bei der die Gleichheit fehlschlägt, eine Nullmenge für jede Wahrscheinlichkeitsverteilung im statistischen Modell , .$\mathcal{P}$$P$$\mathcal{P}$$P \in \mathcal{P}$

Beim Versuch, dies zu negieren, komme ich zu:

• Eine Statistik ist nicht minimal ausreichend, wenn mindestens eine der folgenden Aussagen zutrifft: $T$
  1. $T$ ist nicht ausreichend.
  2. Es gibt mindestens eine ausreichende Statistik für die es keine Funktion so dass$\tilde{T}$$f$$T = f(\tilde{T})$ ae$\mathcal{P}$ .

Also , wenn eine Statistik ist ausreichend, so scheint es , wie wäre es äußerst schwierig , zu zeigen , dass es nicht ausreichend ist , minimal, auch wenn es nicht minimal ausreichend ist. (Weil man 2. statt 1. zeigen müsste, da 1. falsch ist - aber 2. wäre sehr schwer zu zeigen, denn selbst wenn man eine Gegenbeispielstatistik im Sinn hat, muss man immer noch das zeigen Nichtexistenz einer Funktion mit dieser Eigenschaft. Und Nichtexistenz ist oft schwer nachzuweisen.)$\tilde{T}$

Mein Lehrbuch enthält keine äquivalenten (dh notwendigen und ausreichenden) Bedingungen dafür, dass eine Statistik eine minimal ausreichende Statistik ist. Es gibt nicht einmal alternative notwendige Bedingungen für eine Statistik, die minimal ausreichend ist (abgesehen davon, dass sie eine ausreichende Statistik ist).

Wenn ich für mein Hausaufgabenproblem nicht zeigen kann, dass die Statistik nicht ausreicht (weil sie es ist), wie könnte ich dann jemals möglicherweise zeigen, dass sie nicht minimal ausreicht?

Wie Sie sagten:

Wenn $x1,x2∈X$ so dass $f(x1)=f(x2)$ aber $g(x1)≠g(x2)$ , dann kann $g$ nicht als Funktion von $f$ , dh dort existiert keine Funktion $h$ mit $g=h∘f$ .

So zum Beispiel in dem Fall, in dem $X_1, ...., X_n$ sind unabhängige Bernoulli-Zufallsvariablen. Das können wir beweisen , $(x_1, ...., x_n)$ ist nicht ausreichend , um minimal zeigt , dass es nicht eine Funktion von ist , $\sum x_i$ . Dies ist offensichtlich, da die Funktion $1$ sowohl $(1,0,0...,0,0,0)$ als auch 1 zuordnen muss$(0,0,0...,0,0,1)$ .

Ich habe in letzter Zeit über dieses Problem nachgedacht, und hier ist, was ich mir ausgedacht habe.

Sei ein Wahrscheinlichkeitsraum, dann ist eine Zufallsvariable X eine messbare Funktion X : Ω → X , wobei X ein messbarer Raum ist ( X hat eine bezeichnete σ- Algebra und X ist in Bezug auf diese σ- Algebra und die messbar σ- Algebra auf Ω ). Die Verteilung von X ist nur das Pullback-Maß für X , dh P X ( A ) = P Ω ( X $\Omega$ $X$$X: \Omega \to \mathcal{X}$$\mathcal{X}$$\mathcal{X}$$\sigma$$X$$\sigma$$\sigma$$\Omega$$X$$\mathcal{X}$. Dann ist eineStatistikvonXeine beliebige messbare * Funktionf: X → Y , wobei Y ein weiterer beliebiger messbarer Raum ist.$\mathbb{P}_{\mathcal{X}}(A) = \mathbb{P}_{\Omega}(X^{-1}(A))$$X$$f: \mathcal{X} \to \mathcal{Y}$$\mathcal{Y}$

Was bedeutet es bei zwei Statistiken , g : X → Z , dass " g eine Funktion von f ist "?$f: \mathcal{X} \to \mathcal{Y}$$g: \mathcal{X} \to \mathcal{Z}$$g$$f$

Soweit ich das beurteilen kann, scheint es zu bedeuten , dass es eine messbare ** Funktion existiert , so dass g = h ∘ f , das heißt , dass g werden kann einkalkuliert durch von f .$h: \mathcal{Y} \to \mathcal{Z}$$g = h \circ f$$g$$f$

(Mit anderen Worten, " muss als Funktion von f ( X ) ⊆ Y gut definiert sein ".)$g$$f(\mathcal{X}) \subseteq \mathcal{Y}$

Wann ist ein solches Factoring möglich? Denken wir an Äquivalenzbeziehungen. Definieren Sie insbesondere die Äquivalenzbeziehung auf X durch x 1 ∼ f x $\sim_f$$\mathcal{X}$ definieren ebenfalls die Äquivalenzbeziehung ∼ g auf X durch x 1 ∼ g x $x_1 \sim_f x_2 \iff f(x_1) = f(x_2)$$\sim_g$$\mathcal{X}$ .$x_1 \sim_g x_2 \iff g(x_1) = g(x_2)$

Damit durch f faktorisierbar ist , müssen die Äquivalenzbeziehungen ∼ f und ∼ g in dem Sinne *** kompatibel sein, dass für jedes x 1 , x 2 ∈ X , x 1 ∼ f x $g$$f$$\sim_f$$\sim_g$$x_1, x_2 \in \mathcal{X}$ , dh g kann nicht zwei Elemente nehmen, die unter f äquivalent sind,und sie Werten zuordnen, die unter g nicht äquivalent sind, dh " g kann die zuvor von f durchgeführte Informationsreduktion nicht rückgängig machen".$x_1 \sim_f x_2 \implies x_1 \sim_g x_2$$g$$f$$g$$g$$f$

Mit anderen Worten, muss als eine Funktion auf X / ∼ f ≅ f ( X ) gut definiert sein , dh es muss eine Funktion ˜ g : X / ∼ f → Z existieren, so dass g = ˜ g ∘ π ist f , wobei π f die kanonische Projektion X → X / ∼ f ist . (Für diejenigen, die sich mit abstraktem Unsinn nicht wohl fühlen, ist π f im Wesentlichen f und$g$$\mathcal{X}/\sim_f \cong f(\mathcal{X})$$\tilde{g}: \mathcal{X}/\sim_f \to \mathcal{Z}$$g = \tilde{g} \circ \pi_f$$\pi_f$$\mathcal{X} \to \mathcal{X}/\sim_f$$\pi_f$$f$ ist im wesentlichenh. Die obige Formulierung macht nur Analogien zu anderen Situationen klarer.)$\tilde{g}$$h$

In einfachsten möglichen Worten kann als Funktion geschrieben werden f , wenn und nur wenn für jeden x 1 , x 2 ∈ X , f ( x 1 ) = f ( x 2$g$$f$$x_1, x_2 \in \mathcal{X}$ .$f(x_1) = f(x_2) \implies g(x_1) = g(x_2)$

Nehmen wir zum Beispiel und X eine beliebige reelle Zufallsvariable, dann kann g : x ↦ x 2 als Funktion von f : x ↦ x geschrieben werden , aber nicht umgekehrt, weil x 1 = x $\mathcal{X} = \mathcal{Y} = \mathcal{Z} = \mathbb{R}$$X$$g: x \mapsto x^2$$f: x \mapsto x$ , aber 1 2 = ( - 1 ) 2 aber 1 ≠ - 1 .$x_1 = x_2 \implies x_1^2 = x_2^2$$1^2 = (-1)^2$$1 \not= -1$

Nehmen wir insbesondere an, dass jede Äquivalenzklasse unter ein Singleton ist (dh f ist injektiv ). Dann kann g immer als Funktion von f geschrieben werden , da X / ∼ f ≅ X , dh f ( x 1 ) = f ( x 2$\sim_f$$f$$g$$f$$\mathcal{X}/\sim_f \cong \mathcal{X}$ bedeutet, dass x 1 = x $f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2$ (im Allgemeinen gilt für nicht notwendigerweise injektives f nur eine Richtung), so dass unser Zustand x 1 = x $x_1 = x_2 \iff f(x_1) = f(x_2)$$f$ , was fürjedes g : X → Z trivial erfüllt ist. (Um h zu definieren, kann es auf Y ∖ f ( X ) alles tun, was es will,solange es messbar ist, und dann für jedes y ∈ f ( X ) , dh so, dass y = f ( x ) für einige x ∈ X ist , definiere h als$x_1 = x_2 \implies g(x_1) = g(x_2)$ $g: \mathcal{X} \to \mathcal{Z}$$h$$\mathcal{Y} \setminus f(\mathcal{X})$$y \in f(\mathcal{X})$$y = f(x)$$x \in \mathcal{X}$$h$ . Dies ist gut definiert, wenn f injektiv ist, da es eineindeutiges x ∈ X gibt, so dass f ( x ) = y ist . Allgemeiner wird dies nur definiert, wenn g ( x ) unabhängig davon, welches x wir in f - 1 ( y ) wählen,immer noch der gleiche Wert ist, dh f ( x 1 ) = $h: y = f(x) \mapsto g(x)$$f$ $x \in \mathcal{X}$$f(x) = y$$x$$f^{-1}(y)$$g(x)$ .)$f(x_1)=f(x_2)\ (=y) \implies g(x_1)=g(x_2)$

Wenn man sich Satz 3.11 in Keener ansieht, ist seine Aussage etwas klobig, aber wenn man in den obigen Begriffen denkt, glaube ich, dass sie wie folgt umgeschrieben werden kann:

Angenommen, ist eine ausreichende Statistik ****. Dann ist eine ausreichende Bedingung, damit T minimal ausreichend ist, dass es als Funktion des Wahrscheinlichkeitsverhältnisses geschrieben werden kann.$T$$T$

Daraus wird sofort klar, dass das Wahrscheinlichkeitsverhältnis selbst minimal ausreichend sein muss.

Dies führt auch zu dem Schluss, dass:

Wenn so dass f ( x 1 ) = f ( x 2 ), aber g ( x 1 ) ≠ g ( x 2 ) , dann kann g nicht als Funktion von f geschrieben werden , dh dort existiert keine Funktion h mit g = h ∘ f .$x_1, x_2 \in \mathcal{X}$$f(x_1)=f(x_2)$$g(x_1) \not= g(x_2)$$g$$f$$h$$g = h \circ f$

Daher ist der Zustand nicht so schwer zu zeigen, wie ich gedacht hatte.

* Keener geht nicht auf die Frage ein, ob eine Statistik eine messbare oder nur eine willkürliche Funktion sein muss oder nicht. Aber ich bin ziemlich sicher , dass eine Statistik hat eine messbare Funktion sein, denn sonst könnten wir nicht eine Verteilung für sie definieren , dh eine Pullback Maßnahme.

$h$$f$$g$$h$$f(\mathcal{X}) \subseteq \mathcal{Y}$$h$$f(\mathcal{X})$$\mathcal{Y}$$h|_{f(\mathcal{X})}$$f(\mathcal{X})$$z$$Y \setminus f(\mathcal{X})$$z \in \mathcal{Z}$$f(\mathcal{X})$$Y \setminus f(\mathcal{X})$$Y$$h$$\mathcal{Y}$

$g$$f$$f$$g$$\mathcal{Y} \to \mathcal{Z}$

$T$