"Absolut kontinuierliche Zufallsvariable" vs. "Kontinuierliche Zufallsvariable"?

In dem Buch "Limit Theorems of Probability Theory" von Valentin V. Petrov sah ich eine Unterscheidung zwischen den Definitionen einer Verteilung als "kontinuierlich" und "absolut kontinuierlich", die wie folgt lautet:

X P ( X ∈ B ) = 0 B P ( X ∈ B ) = 0 B.$(*)$ "... Die Verteilung der Zufallsvariablen gilt als stetig, wenn für eine endliche oder zählbare Menge von Punkten der realen Linie ist absolut stetig sein, wenn für alle Borel-Mengen von Lebesgue ist, messen Sie Null ... "$X$$P\left(X \in B\right)=0$$B$$P\left(X \in B\right)=0$$B$

Das Konzept, mit dem ich vertraut bin, ist:

$(\#)$ "Wenn eine Zufallsvariable eine kontinuierliche kumulative Verteilungsfunktion hat, ist sie absolut kontinuierlich."

$\textbf{My questions are:}$ Sprechen die beiden Beschreibungen über "absolute Kontinuität" in und über dasselbe? Wenn ja, wie kann ich eine Erklärung in die andere übersetzen?( # $(*)$$(\#)$

Vielen Dank!

Die Beschreibungen unterscheiden sich: Nur die erste ist korrekt. Diese Antwort erklärt, wie und warum.$(*)$

Kontinuierliche Verteilungen

Eine "kontinuierliche" Verteilung ist kontinuierlich im üblichen Sinne einer kontinuierlichen Funktion . Eine Definition (normalerweise die erste, der Menschen in ihrer Ausbildung begegnen) ist, dass für jedes und für jede Zahl ein (abhängig von und ) existiert, für das die Werte von im -nachbarschaft von variiert um nicht mehr als von .$F$x ϵ > 0 δ x ϵ F δ x ϵ F ( x )$x$$\epsilon\gt 0$$\delta$$x$$\epsilon$$F$$\delta$$x$$\epsilon$$F(x)$

Dies ist ein kurzer Schritt, um zu demonstrieren, dass, wenn ein stetiges die Verteilung einer Zufallsvariablen , für eine beliebige Zahl . Schließlich impliziert die Kontinuitätsdefinition, dass Sie verkleinern können , um so klein wie jedes und da (1) diese Wahrscheinlichkeit nein ist kleiner als und (2) kann beliebig klein sein, daraus folgt, dass . Die zählbare Additivität Wahrscheinlichkeits erstreckt , dieses Ergebnis zu jedem endlichen oder zählbaren Satz .$F$$X$$\Pr(X=x)=0$$x$$\delta$$\Pr(X\in (x-\delta, x+\delta))$$\epsilon \gt 0$$\Pr(X=x)$$\epsilon$$\Pr(X=x)=0$$B$

Absolut kontinuierliche Verteilungen

Alle Verteilungsfunktionen definieren positive, endliche Maße bestimmt durch$F$ $\mu_F$

Absolute Kontinuität ist ein Konzept der Maßtheorie. Eine Maßnahme ist absolut kontinuierlich mit Bezug auf eine andere Maßnahme (beide auf der gleichen definierten Algebra Sigma) , wenn für jede meßbare Menge , impliziert ist . Mit anderen Worten, relativ zu gibt es keine "kleinen" (Maß Null) Mengen, denen eine "große" Wahrscheinlichkeit (ungleich Null) zuweist.$\mu_F$$\lambda$$E$$\lambda(E)=0$$\mu_F(E)=0$$\lambda$$\mu_F$

Wir nehmen als das übliche Lebesgue-Maß, für das die Länge eines Intervalls ist. Die zweite Hälfte von gibt an, dass das Wahrscheinlichkeitsmaß ist in Bezug auf das Lebesgue-Maß absolut stetig.$\lambda$$\lambda((a,b]) = b-a$$(*)$$\mu_F(B)=\Pr(X\in B)$

Absolute Kontinuität hängt mit Differenzierbarkeit zusammen. Die Ableitung eines Maßes in Bezug auf ein anderes (irgendwann ) ist ein intuitives Konzept: Nehmen Sie eine Reihe messbarer Nachbarschaften von , die auf schrumpfen, und vergleichen Sie die beiden Maße in diesen Nachbarschaften. Wenn sie sich immer der gleichen Grenze nähern, unabhängig davon, welche Folge von Nachbarschaften gewählt wird, ist diese Grenze die Ableitung. (Es gibt ein technisches Problem: Sie müssen diese Nachbarschaften einschränken, damit sie keine "pathologischen" Formen haben. Dies kann erreicht werden, indem jede Nachbarschaft einen nicht zu vernachlässigenden Teil der Region einnehmen muss, in der sie liegt.)$x$$x$$x$

Differenzierung in diesem Sinne ist genau die Frage unter Was ist die Definition der Wahrscheinlichkeit für eine kontinuierliche Verteilung? adressiert.

Schreiben wir für die Ableitung von in Bezug auf . Der relevante Satz - es ist eine messungstheoretische Version des Fundamentalsatzes des Kalküls - führt$D_\lambda(\mu_F)$$\mu_F$$\lambda$

$\mu_F$ ist in Bezug auf genau dann absolut stetig, wenn für jede messbare Menge . [Rudin, Satz 8.6]$\lambda$

$$\mu_F(E) = \int_E \left(D_\lambda \mu_F\right)(x)\,\mathrm{d}\lambda$$ $E$

Mit anderen Worten entspricht die absolute Kontinuität (von in Bezug auf ) der Existenz einer Dichtefunktion .$\mu_F$$\lambda$ $D_\lambda(\mu_F)$

Zusammenfassung

1. Eine Verteilung ist stetig, wenn als Funktion stetig ist: intuitiv hat sie keine "Sprünge".$F$$F$

2. Eine Verteilung ist absolut stetig, wenn sie eine Dichtefunktion hat (in Bezug auf das Lebesgue-Maß).$F$

Dass die beiden Arten der Kontinuität nicht gleichwertig sind, zeigen Beispiele wie das unter /stats//a/229561/919 beschriebene . Dies ist die berühmte Cantor-Funktion . Für diese Funktion ist fast überall horizontal (wie sein Graph deutlich macht), woher fast überall Null ist, und daher . Dies ergibt offensichtlich nicht den korrekten Wert von (gemäß dem Axiom der Gesamtwahrscheinlichkeit).$F$$D_\lambda(\mu_F)$$\int_{\mathbb{R}} D_\lambda(\mu_F)(x)d\lambda = \int_{\mathbb{R}}0 d\lambda = 0$$1$

Bemerkungen

Praktisch alle in statistischen Anwendungen verwendeten Verteilungen sind absolut kontinuierlich, nirgends kontinuierlich (diskret) oder Gemische davon, so dass die Unterscheidung zwischen Kontinuität und absoluter Kontinuität häufig ignoriert wird. Wenn diese Unterscheidung jedoch nicht gewürdigt wird, kann dies zu schlammigem Denken und schlechter Intuition führen, insbesondere in den Fällen, in denen Genauigkeit am dringendsten erforderlich ist: Wenn eine Situation verwirrend oder nicht intuitiv ist, verlassen wir uns auf die Mathematik, um die richtigen Ergebnisse zu erzielen. Deshalb machen wir in der Praxis normalerweise nicht viel aus diesem Zeug, aber jeder sollte es wissen.

Referenz

Rudin, Walter. Reale und komplexe Analyse . McGraw-Hill, 1974: Abschnitte 6.2 (Absolute Kontinuität) und 8.1 (Ableitungen von Maßnahmen).