Was ist der Unterschied zwischen der Momenterzeugungsfunktion und der Wahrscheinlichkeitserzeugungsfunktion?

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Ich bin verwirrt zwischen den beiden Begriffen "Wahrscheinlichkeitsfunktion" und "Momentenfunktion". Wie unterscheiden sich diese Begriffe?

— Manashi
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Die Wahrscheinlichkeitsfunktion wird normalerweise für (nichtnegative) ganzzahlige Zufallsvariablen verwendet, ist aber eigentlich nur ein Umpacken der Momentgenerierungsfunktion. Die beiden enthalten also die gleichen Informationen.

Sei eine nicht negative Zufallsvariable. Dann (siehe https://en.wikipedia.org/wiki/Probability-generating_function ) ist die Wahrscheinlichkeitsfunktion definiert als und die Momentenerzeugungsfunktion ist nun definieren , so dass . Dann ist $X$

G (z) = E z^{X}

$\DeclareMathOperator{\P}{\mathbb{P}} \DeclareMathOperator{\E}{\mathbb{E}} G(z) = \E z^X$

M_{X} (t) = E e^{t X}

$M_X(t) = \E e^{t X}$

\log z = t

$\log z=t$

e^{t} = z

$e^t=z$

Also, zu schließen, ist die Beziehung einfach:

G (z) = E z^{X} = E (e^{t})^{X} = E e^{t X} = M_{X} (t) = M_{X} (\log z)

$G(z)=\E z^X = \E (e^t)^X = \E e^{t X} =M_X(t)=M_X(\log z)$

G (z) = M_{X} (\log z)

$G(z) = M_X(\log z)$

EDIT

$G(z) = M_X(\log z)$ $z$ gegeben werden müssen. Ich dachte, der Posten wäre ohne diese Formalitäten klar genug, aber ja, manchmal bin ich zu informell. Aber es gibt noch einen anderen Punkt: Ja, die Wahrscheinlichkeitsfunktion wird hauptsächlich für (nichtnegative Argumente) Wahrscheinlichkeitsmassenfunktionen verwendet, von denen der Name stammt. Aber es gibt nichts in der Definition, was dies voraussetzt, es kann auch für eine beliebige nichtnegative Zufallsvariable verwendet werden! Nehmen wir als Beispiel die Exponentialverteilung mit der Rate 1, so können wir berechnen

G (z) = E z^{X} = \int_{0}^{\infty} z^{x} e^{- x} d x = \dots = \frac{1}{1 - \log z}

$G(z)=\E z^X=\int_0^\infty z^x e^{-x}\; dx=\dots=\frac1{1-\log z}$

— kjetil b halvorsen
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(+1) Auch wenn ich eine konkurrierende Antwort habe.

— Carl

(+1) Wieder. Seltsam, ich denke, wenn ich bearbeite, kann ich wieder abstimmen.

— Carl

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Definieren wir zuerst beide und spezifizieren dann den Unterschied.

1) In der Wahrscheinlichkeitstheorie und -statistik ist die momenterzeugende Funktion (mgf) einer realwertigen Zufallsvariablen eine alternative Spezifikation ihrer Wahrscheinlichkeitsverteilung.

2) In der Wahrscheinlichkeitstheorie ist die Wahrscheinlichkeitserzeugungsfunktion (pgf) einer diskreten Zufallsvariablen eine Potenzreihendarstellung (die Erzeugungsfunktion) der Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion der Zufallsvariablen.

Die mgf kann als eine Verallgemeinerung der pgf angesehen werden. Der Unterschied besteht unter anderem darin, dass die Wahrscheinlichkeitsfunktion für diskrete Zufallsvariablen gilt, während die Momentenfunktion für diskrete Zufallsvariablen sowie für einige kontinuierliche Zufallsvariablen gilt. Beispielsweise könnten beide auf die Poisson-Verteilung angewendet werden, da sie diskret ist. In der Tat ergeben sie ein Ergebnis der gleichen Form; $e^{\lambda(z - 1)}$

Edit

Wie @kjetilbhalvorsen hervorhebt, gilt die pgf nicht nur für diskrete Zufallsvariablen, sondern für nicht negative Variablen. Daher hat der aktuelle Wikipedia-Eintrag in der Wahrscheinlichkeitsfunktion einen Auslassungsfehler und sollte verbessert werden.

— Carl
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Die pgf und mgf der Poisson-Verteilung sind zwar eng miteinander verwandt (wie in der Antwort von Kjetil Halvorsen erläutert), aber definitiv nicht "gleich".

— Whuber

G (z) = M_{X} (\log z)

$G(z) = M_X(\log z)$

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@whuber Eine Antwort auf diese implizite Frage finden Sie in der Bearbeitung meiner Antwort (wird in wenigen Minuten veröffentlicht).

— kjetil b halvorsen