Wie kann man die Wahrscheinlichkeit genau definieren?

Die Wahrscheinlichkeit kann auf verschiedene Arten definiert werden, zum Beispiel:

• die Funktion $L$ von $\Theta\times{\cal X}$ die Karten $(\theta,x)$ zu $L(\theta \mid x)$ , das heißt $L:\Theta\times{\cal X} \rightarrow \mathbb{R}$ .

• die Zufallsfunktion $L(\cdot \mid X)$

• könnten wir auch bedenken , dass die Wahrscheinlichkeit , dass nur die „beobachtet“ Wahrscheinlichkeit $L(\cdot \mid x^{\text{obs}})$

• in der Praxis bringt die Wahrscheinlichkeit Information über $\theta$ nur bis zu einer multiplikativen Konstante, daher könnten wir die Wahrscheinlichkeit eher als eine Äquivalenzklasse von Funktionen als als eine Funktion betrachten

Eine andere Frage , tritt bei Änderung der Parametrisierung Berücksichtigung wenn $\phi=\theta^2$ die neue Parametrisierung ist , wir im Allgemeinen bezeichnen die durch die Wahrscheinlichkeit auf und dies ist nicht die Auswertung der bisherigen Funktion bei aber bei . Dies ist eine missbräuchliche, aber nützliche Notation, die Anfängern Schwierigkeiten bereiten kann, wenn sie nicht betont wird.$L(\phi \mid x)$$\phi$$L(\cdot \mid x)$$\theta^2$$\sqrt{\phi}$

Was ist Ihre liebste rigorose Definition der Wahrscheinlichkeit?

Wie nennt man außerdem ? Normalerweise sage ich so etwas wie "die Wahrscheinlichkeit für wenn beobachtet wird".$L(\theta \mid x)$$\theta$$x$

BEARBEITEN: In Anbetracht einiger Kommentare unten ist mir klar, dass ich den Kontext hätte präzisieren sollen. Ich betrachte ein statistisches Modell, das durch eine parametrische Familie von Dichten in Bezug auf ein dominierendes Maß gegeben ist, wobei jedes definiert auf dem Beobachtungsfeld . Daher definieren wir und die Frage lautet: "Was ist L ?" (Bei der Frage geht es nicht um eine allgemeine Definition der Wahrscheinlichkeit.)$\{f(\cdot \mid \theta), \theta \in \Theta\}$$f(\cdot \mid \theta)$${\cal X}$$L(\theta \mid x)=f(x \mid \theta)$$L$

Ihr dritter Punkt ist der, den ich am häufigsten als strenge Definition gesehen habe.

Die anderen sind auch interessant (+1). Insbesondere die erste ist ansprechend, da die Schwierigkeit besteht, dass die Stichprobengröße (noch) nicht definiert ist, und es schwieriger ist, die "von" -Einstellung zu definieren.

Für mich ist die fundamentale Intuition der Wahrscheinlichkeit, dass es sich um eine Funktion des Modells + seiner Parameter handelt, nicht um eine Funktion der Zufallsvariablen (auch ein wichtiger Punkt für Unterrichtszwecke). Ich würde mich also an die dritte Definition halten.

Die Ursache für den Missbrauch der Notation liegt darin, dass die Menge "von" der Wahrscheinlichkeit implizit ist, was für wohldefinierte Funktionen normalerweise nicht der Fall ist. Der konsequenteste Ansatz besteht darin, zu erkennen, dass sich die Wahrscheinlichkeit nach der Transformation auf ein anderes Modell bezieht. Es ist gleichbedeutend mit dem ersten, aber noch einem anderen Modell. Die Wahrscheinlichkeitsnotation sollte also anzeigen, auf welches Modell sie sich bezieht (durch Index oder anderes). Ich mache das natürlich nie, aber zum Unterrichten vielleicht.

Um mit meinen vorherigen Antworten übereinzustimmen, sage ich schließlich die "Wahrscheinlichkeit von $\theta$ " in Ihrer letzten Formel.

I think I would call it something different. Likelihood is the probability density for the observed x given the value of the parameter $θ$ expressed as a function of $θ$ for the given $x$. I don't share the view about the proportionality constant. I think that only comes into play because maximizing any monotonic function of the likelihood gives the same solution for $θ$. So you can maximize $cL(θ∣x)$ for $c>0$ or other monotonic functions such as $\log(L(θ∣x))$ which is commonly done.

Here's an attempt at a rigorous mathematical definition:

Let $X: \Omega \to \mathbb R^n$ be a random vector which admits a density $f(x | \theta_0)$ with respect to some measure $\nu$ on $\mathbb R^n$, where for $\theta \in \Theta$, $\{f(x|\theta): \theta \in \Theta\}$ is a family of densities on $\mathbb R^n$ with respect to $\nu$. Then, for any $x \in \mathbb R^n$ we define the likelihood function $L(\theta | x)$ to be $f(x | \theta)$; for clarity, for each $x$ we have $L_x : \Theta \to \mathbb R$. One can think of $x$ to be a particular potential $x_{obs}$ and $\theta_0$ to be the "true" value of $\theta$.

A couple of observations about this definition:

1. The definition is robust enough to handle discrete, continuous, and other sorts of families of distributions for $X$.
2. We are defining the likelihood at the level of density functions instead of at the level of probability distributions/measures. The reason for this is that densities are not unique, and it turns out that this isn't a situation where one can pass to equivalence classes of densities and still be safe: different choices of densities lead to different MLE's in the continuous case. However, in most cases there is a natural choice of family of densities that are desirable theoretically.
3. I like this definition because it incorporates the random variables we are working with into it and, by design since we have to assign them a distribution, we have also rigorously built in the notion of the "true but unknown" value of $\theta$, here denoted $\theta_0$. For me, as a student, the challenge of being rigorous about likelihood was always how to reconcile the real world concepts of a "true" $\theta$ and "observed" $x_{obs}$ with the mathematics; this was often not helped by instructors claiming that these concepts weren't formal but then turning around and using them formally when proving things! So we deal with them formally in this definition.
4. EDIT: Of course, we are free to consider the usual random elements $L(\theta | X)$, $S(\theta | X)$ and $\mathcal I(\theta | X)$ and under this definition with no real problems with rigor as long as you are careful (or even if you aren't if that level of rigor is not important to you).