Wenn

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Wenn $\mathbb{E}|X_n|=O(a_n)$ , wo $a_n\to 0$ und $X_n$ ist eine Folge von positiven Zufallsvariablen, wie groß sie sind $Y_n = X_n\ln\left(\frac{1}{X_n}\right)$ ?

Mein Versuch: durch Markovs Ungleichung $\mathbb{E}|X_n|=O(a_n)$ impliziert $X_n=O_p(a_n)$ und $Y_n = O_p(a_n)\ln\left(\frac{1}{X_n}\right)$ . Es bleibt zu beurteilen $\ln\left(\frac{1}{X_n}\right)$ . Für eine positive Folge von Zufallsvariablen $Z_n=O_p(1)$

\begin{aligned} X_{n} = a_{n} Z_{n} & ⟺ \ln (X_{n}) = \ln (a_{n}) + \ln (Z_{n}) \\ ⟺ \frac{\ln (\frac{1}{X_{n}})}{\ln (\frac{1}{a_{n}})} = \frac{\ln (Z_{n})}{\ln (a_{n})} + 1 \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{aligned} X_n = a_nZ_n& \iff \ln(X_n) = \ln(a_n) + \ln(Z_n) \\ & \iff \frac{\ln\left(\frac{1}{X_n}\right)}{\ln\left(\frac{1}{a_n}\right)} = \frac{\ln(Z_n)}{\ln(a_n)} + 1 \end{aligned} \end{equation}$ Wenn wir also zeigen, dass die rechte Seite in der Wahrscheinlichkeit begrenzt ist, sind wir fertig, da

a_{n} \to 0

$a_n\to 0$ .

Per Definition $Z_n = O_p(1)$ wenn überhaupt $\varepsilon>0$ gibt es $M<\infty$ so dass

sup_{n \in N} Pr (Z_{n} > M) < ε .

$\sup_{n\in\mathbb{N}}\Pr\left(Z_n>M\right)<\varepsilon.$

Daraus folgt , dass für jede ist , existiert derart , dass also und $\varepsilon>0$ $L=\ln(M)$

sup_{n \in N} Pr (\ln Z_{n} > L) < ε,

$\sup_{n\in\mathbb{N}}\Pr\left(\ln Z_n>L\right)<\varepsilon,$

\ln Z_{n} = O_{p} (1)

$\ln Z_n = O_p(1)$

Y_{n} = O_{p} (a_{n} \ln (\frac{1}{a_{n}})) .

$Y_n = O_p\left(a_n\ln\left(\frac{1}{a_n}\right)\right).$

Gibt es Fehler in meiner Argumentation? Gibt es eine einfachere Möglichkeit, dieses Ergebnis zu sehen?

Meine zweite Frage ist, ob wir etwas über die Reihenfolge in Erwartung sagen können

E | X_{n} \ln (\frac{1}{X_{n}}) | = O (?) ?

$\mathbb{E}\left|X_n\ln\left(\frac{1}{X_n}\right)\right| = O(?)?$

Da sieht es so aus, als hätte man nur den ersten Moment in Erwartung ist nicht ausreichend. Ist das richtig?

\ln (x) = \sum_{j = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{j + 1}}{j} (x - 1)^{j},

$\ln(x) = \sum_{j=1}^\infty\frac{(-1)^{j+1}}{j}(x-1)^j,$

— Laimond
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Ich habe Whubers Berechnung nicht durchlaufen, aber ich denke, Sie sollten nicht jedes Bit von einzeln betrachten

x l o g (x) \to 0

$x log (x) \rightarrow 0$

Y_{n}

$Y_n$

— seanv507

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Ich glaube, viel könnte sich zeigen, wenn man eine Reihe von Zufallsvariablen wie die folgenden betrachtet:

{X.}_{n} = {\begin{aligned} \frac{1}{n} & mit Wahrscheinlichkeit 1 - - \frac{1}{f (n)^{2}} e^{- - G (n)} \\ f (n) e^{G (n)} & mit Wahrscheinlichkeit \frac{1}{f (n)^{2}} e^{- - G (n)} . \end{aligned}

$X_n = \left\{\eqalign{\frac{1}{n} & \text{ with probability } 1 - \frac{1}{f(n)^2}e^{-g(n)}\\ f(n)e^{g(n)} & \text{ with probability } \frac{1}{f(n)^2}e^{-g(n)}.}\right.$

Später werden wir geeignete Funktionen und identifizieren, nachdem wir die Rollen analysiert haben, die sie in den asymptotischen Erwartungen spielen. Nehmen wir zunächst an, dass ungleich Null ist und beide divergieren, wenn groß wird, wobei für alle . $f$ $g$ $f(n)$ $n$ $g(n) \ge n$ $n\gt 0$

Per Definition der Erwartung,

\begin{aligned} E. ({X.}_{n}) & = \frac{1}{n} (1 - - \frac{1}{f (n)^{2}} e^{- - G (n)}) + f (n) e^{G} (n) (\frac{1}{f (n)^{2}} e^{- - G (n)}) \\ = \frac{1}{f (n)} + \frac{1}{n} - - \frac{1}{n f (n)^{2}} e^{- - G (n)} . \end{aligned}

$\eqalign{ \mathbb{E}(X_n) &= \frac{1}{n}\left(1-\frac{1}{f(n)^2}e^{-g(n)}\right) + f(n)e^g(n) \left(\frac{1}{f(n)^2}e^{-g(n)}\right) \\&= \frac{1}{f(n)} + \frac{1}{n} - \frac{1}{nf(n)^2}e^{-g(n)}.}$

Offensichtlich

E. ({X.}_{n}) = Ö (n^{- - 1} + f (n)^{- - 1}),

$\mathbb{E}(X_n) = O\left(n^{-1} + f(n)^{-1}\right),$

Erlaubt uns, , das nach Bedarf gegen konvergiert . (Da dies der Fall ist und als , beachten Sie, dass ) Trotzdem die Berechnung von enthält einen Begriff $a_n = n^{-1} + f(n)^{-1}$ $0$ $x \log(1/x)\to 0$ $x\to 0$ $a_n\log(1/a_n)\to 0$ $\mathbb{E}(Y_n)$

\begin{matrix} (1) & f (n) e^{g} (n) \log (\frac{1}{f (n) e^{g (n)}}) \times \frac{1}{f (n)^{2}} e^{- g (n)} = - \frac{\log (f (n))}{f (n)} - \frac{g (n)}{f (n)} \end{matrix}

$f(n)e^g(n)\log\left(\frac{1}{f(n)e^{g(n)}}\right) \times \frac{1}{f(n)^2}e^{-g(n)}=-\frac{\log(f(n))}{f(n)} - \frac{g(n)}{f(n)}\tag{1}$

Der andere Begriff ist gleich

\begin{matrix} (2) & \frac{1}{n} Log (\frac{1}{1 /. n}) \times (1 - - \frac{1}{f (n)^{2}} e^{- - G (n)}) = \frac{Log n}{n} (1 - - \frac{1}{f (n)^{2}} e^{- - G (n)})), \end{matrix}

$\frac{1}{n}\log\left(\frac{1}{1/n}\right) \times \left(1 - \frac{1}{f(n)^2}e^{-g(n)}\right) = \frac{\log{n}}{n}\left(1-\frac{1}{f(n)^2}e^{-g(n)})\right),\tag{2}$

bleibt begrenzt (und konvergiert gegen Null).

Nehmen wir an, divergiert langsamer als ; $f$ $g$ das heißt, wählen Sie für das divergiert. Die Summe von und asymptotisch $f$ $g(n)/f(n)$ $(1)$ $(2)$

E. ({Y.}_{n}) = Ö (\frac{G (n)}{f (n)}) \to \infty .

$\mathbb{E}(Y_n) = O\left(\frac{g(n)}{f(n)}\right) \to \infty.$

Es gibt solche und die alle an sie gestellten Bedingungen erfüllen (positiv, divergent, wobei divergent sind): zum Beispiel (mit ) und funktioniert für jedes . Folglich ist für alle und für alle Funktionen die unten durch begrenzt sind . $f$ $g$ $g(n)/f(n)$ $g(n)=nh(n)$ $h(n) \ge 1$ $f(n) = n^\epsilon$ $0 \lt \epsilon \lt 1$ $\mathbb{E}(Y_n)=O(h(n)n^{1-\epsilon})$ $\epsilon\gt 0$ $h$ $1$

Dies zeigt, dass es überhaupt keine Begrenzung für die Rate gibt, mit der divergieren kann. $\mathbb{E}(Y_n)$

— whuber
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Da positive Zufallsvariablen sind, benötigen wir den Absolutwert nicht. Wir haben $X_n$

{E. {X.}_{n}}} = Ö ({ein}_{n}) ⟹ lim_{n \to \infty} \frac{E. {X.}_{n}}{{ein}_{n}} < K. \in {R.}_{+ +}

$\{\mathbb{E}X_n\}=O(a_n) \implies \lim_{n\to \infty}\frac{\mathbb{E}X_n}{a_n} < K \in \mathbb R_{++}$

Dann da auch

{ein}_{n} \to 0 ⟹ E. {X.}_{n} \to 0 ⟹ {X.}_{n} \to 0, n \to \infty

$a_n \to 0 \implies \mathbb{E}X_n \to 0 \implies X_n \to 0,\;\;\; n\to \infty$

da sie positiv sind r.v. Die Folge von konvergiert also gegen die Konstante Null. $X$

Aber dann

{Y.}_{n} = - - {X.}_{n} \ln {X.}_{n} ⟹ lim_{n \to \infty} {Y.}_{n} = 0

$Y_n = -X_n \ln X_n \implies \lim_{n \to \infty} Y_n =0$

... oder vielleicht plims.

Vermisse ich etwas

— Alecos Papadopoulos
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Der ursprüngliche Beitrag scheint zwei verwandte, aber heikelere Fragen zu stellen als die, die Sie hier ansprechen. Der erste betrifft die Rate, mit der gegen Null konvergiert. Der zweite betrifft, was mit seiner Erwartung passiert.

Y_{n}

$Y_n$

— whuber