Warum in lateinischen Quadraten die Zeilen, Behandlungen und Spalten orthogonal sein sollen

Ich habe im Bereich der Geometrie immer "orthogonal" gehört (bitte beachten Sie auch, dass ich kein englischer Muttersprachler bin). Ich verstehe Folgendes für lateinische Quadrate (ein Zitat aus einem Lehrbuch) nicht:

Jede Behandlung (ABCD) erscheint einmal in jeder Reihe. Daher sind die Behandlungen und Reihen orthogonal. ... Zeilen und Spalten sind orthogonal zu Behandlungen.

$\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & A & B & C & D \\ 2 & B & C & D & A \\ 3 & C & D & A & B \\ 4 & D & A & B & C \end{matrix}$ $\begin{matrix}\,&1&2&3&4\\1&A&B&C&D\\2&B&C&D&A\\3&C&D&A&B\\4&D&A&B&C\end{matrix}$

Was ist hier mit Orthogonalität gemeint?

experiment-design combinatorics latin-square

— Steeliana
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Mögliches Duplikat: stats.stackexchange.com/questions/228797/…

— Glen_b -Reinstate Monica

Diese Frage bezieht sich speziell auf lateinische Quadrate, das "Duplikat" fragt nach der Orthogonalität im Allgemeinen. Ich würde denken, dass die positiven Stimmen und die fehlende Antwort darauf hinweisen, dass die von Ihnen angegebene Antwort nicht beantwortet wird.

— John V

Siehe Antwort in stats.stackexchange.com/questions/286675/…

— F. Tusell

was es bedeutet oder was das lateinische Quadrat tut

Die Orthogonalität der Spalten und Zeilen bedeutet, dass ihre Wirkung aus den Erwartungswerten für einige Behandlungen (A, B, C, D) entfernt wird. $i$ $j$ $k$

Siehe die Formel (für ein Modell ohne Kreuzeffekte)

$Y_{ijk} = \alpha + c_i + r_j + \beta_k + \epsilon_{ijk}$

deren Erwartung für ein bestimmtes Niveau von (A, B, C oder D) wird die folgende $k$

$E(Y_{ijk} \vert k) = \alpha + \beta_k$

vorausgesetzt , die Behandlung korreliert nicht (ist orthogonal zu) mit den Zeilen und Spalten.

Die Behandlung für A (und ähnlich für B, C und D) wird in jeder Reihe gleich oft getestet, sodass Sie die Auswirkung der Reihe auf den Erwartungswert der Behandlung A eliminieren (herausrechnen) können.

Orthogonalität

Ich bin mir nicht sicher, ob dies der Ursprung der Etymologie ist, aber das stelle ich mir mit Orthogonalität vor

Im Beispiel haben Sie folgende Tests (Spalte, Zeile, Behandlung):

1,1,A
1,2,B
1,3,C
1,4,D
2,1,B
2,2,C
2,3,D
2,4,A
3,1,C
3,2,D
3,3,B
3,4,A
4,1,D
4,2,A
4,3,B
4,4,C

Wenn Sie dies als Matrix und berechnen , erhalten Sie in den nicht diagonalen Elementen eine Summe von Produkten, in denen jeder Term gleich oft vorkommt. $M$ $M^TM$

zum Beispiel das Produkt der ersten und dritten Spalte $(1,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4) \cdot (A,B,C,D,B,C,D,A,C,D,A,B,D,A,B,C) = (1+2+3+4)(A+B+C+D) = 16 \mu_i \mu_j$

und diese Eigenschaft kann mit der Orthogonalität von Spalten in einer Matrix verbunden sein

— Sextus Empiricus
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