Generierung korrelierter binomialer Zufallsvariablen

Ich habe mich gefragt, ob es nach einem linearen Transformationsansatz möglich sein könnte, korrelierte binomische Zufallsvariablen zu generieren.

Unten habe ich etwas Einfaches in R ausprobiert und es ergibt eine gewisse Korrelation. Aber ich habe mich gefragt, ob es einen prinzipiellen Weg gibt, dies zu tun?

X1 = rbinom(1e4, 6, .5) ; X2 = rbinom(1e4, 6, .5) ;  X3 = rbinom(1e4, 6, .5) ; a = .5

Y1 = X1 + (a*X2) ; Y2 = X2 + (a*X3) ## Y1 and Y2 are supposed to be correlated

cor(Y1, Y2)

— rnorouzian
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Y_{1}

$Y_1$ und können korreliert sein, sie sind jedoch nicht länger Binomial. Beispiel: dann daher kann keine Zufallsvariable sein. Ich würde vorschlagen, dass Sie sich die Multinomialverteilung ansehen.

Y_{2}

$Y_2$

X_{1} = X_{2} = 1

$X_1 = X_2 = 1$

Y_{1} = 1.5

$Y_1 = 1.5$

Y_{i}

$Y_i$

— knrumsey - Wiedereinsetzung von Monica

Die kurze Antwort auf die Frage lautet, nach dem Schlüsselwort zu suchen copula, mit dessen Hilfe abhängige Variablen mit festen Rändern generiert werden können.

— Xi'an

Binomialvariablen werden normalerweise durch Summieren unabhängiger Bernoulli-Variablen erstellt. Mal sehen, ob wir mit einem Paar korrelierter Bernoulli-Variablen und dasselbe tun können. $(X,Y)$

Angenommen, ist eine Bernoulli -Variable ( und ) und ist eine Bernoulli -Variable. Um ihre gemeinsame Verteilung festzulegen, müssen wir alle vier Kombinationen von Ergebnissen angeben. Wenn wir schreiben wir den Rest leicht aus den Axiomen der Wahrscheinlichkeit herausfinden: $X$ $(p)$ $\Pr(X=1)=p$ $\Pr(X=0)=1-p$ $Y$ $(q)$

Pr ((X, Y) = (0, 0)) = a,

$\Pr((X,Y)=(0,0))=a,$

Pr ((X, Y) = (1, 0)) = 1 - q - a, Pr ((X, Y) = (0, 1)) = 1 - p - a, Pr ((X, Y) = (1, 1)) = a + p + q - 1.

$\Pr((X,Y)=(1,0))=1-q-a, \\\Pr((X,Y)=(0,1))=1-p-a, \\\Pr((X,Y)=(1,1))=a+p+q-1.$

Das Einfügen in die Formel für den Korrelationskoeffizienten und das Lösen ergibt $\rho$

\begin{matrix} (1) & a = (1 - p) (1 - q) + ρ \sqrt{p q (1 - p) (1 - q)} . \end{matrix}

$a = (1-p)(1-q) + \rho\sqrt{{pq}{(1-p)(1-q)}}.\tag{1}$

Vorausgesetzt, alle vier Wahrscheinlichkeiten sind nicht negativ, ergibt dies eine gültige gemeinsame Verteilung - und diese Lösung parametrisiert alle bivariaten Bernoulli-Verteilungen. (Wenn , gibt es eine Lösung für alle mathematisch bedeutsamen Korrelationen zwischen und ) Wenn wir dieser Variablen summieren , bleibt die Korrelation gleich - aber jetzt sind die Randverteilungen Binomial und Binomial , wie gewünscht. $p=q$ $-1$ $1$ $n$ $(n,p)$ $(n,q)$

Beispiel

Es sei , , , und wir möchten, dass die Korrelation . Die Lösung ist (und die anderen Wahrscheinlichkeiten sind etwa , und ). Hier ist eine Darstellung von Realisierungen aus der gemeinsamen Verteilung: $n=10$ $p=1/3$ $q=3/4$ $\rho=-4/5$ $(1)$ $a=0.00336735$ $0.247$ $0.663$ $0.087$ $1000$

Die roten Linien geben das Mittel der Stichprobe an und die gepunktete Linie ist die Regressionslinie. Sie sind alle nahe an ihren beabsichtigten Werten. Die Punkte in diesem Bild wurden zufällig gezittert, um die Überlappungen aufzulösen: Schließlich erzeugen Binomialverteilungen nur ganzzahlige Werte, sodass es zu einer starken Überzeichnung kommt.

Eine Möglichkeit, diese Variablen zu generieren, besteht darin, mal aus mit den gewählten Wahrscheinlichkeiten abzutasten und dann jede in , jede in , jede umzuwandeln in und jeweils in . Summiere die Ergebnisse (als Vektoren), um eine Realisierung von . $n$ $\{1,2,3,4\}$ $1$ $(0,0)$ $2$ $(1,0)$ $3$ $(0,1)$ $4$ $(1,1)$ $(X,Y)$

Code

Hier ist eine RImplementierung.

#
# Compute Pr(0,0) from rho, p=Pr(X=1), and q=Pr(Y=1).
#
a <- function(rho, p, q) {
  rho * sqrt(p*q*(1-p)*(1-q)) + (1-p)*(1-q)
}
#
# Specify the parameters.
#
n <- 10
p <- 1/3
q <- 3/4
rho <- -4/5
#
# Compute the four probabilities for the joint distribution.
#
a.0 <- a(rho, p, q)
prob <- c(`(0,0)`=a.0, `(1,0)`=1-q-a.0, `(0,1)`=1-p-a.0, `(1,1)`=a.0+p+q-1)
if (min(prob) < 0) {
  print(prob)
  stop("Error: a probability is negative.")
}
#
# Illustrate generation of correlated Binomial variables.
#
set.seed(17)
n.sim <- 1000
u <- sample.int(4, n.sim * n, replace=TRUE, prob=prob)
y <- floor((u-1)/2)
x <- 1 - u %% 2
x <- colSums(matrix(x, nrow=n)) # Sum in groups of `n`
y <- colSums(matrix(y, nrow=n)) # Sum in groups of `n`
#
# Plot the empirical bivariate distribution.
#
plot(x+rnorm(length(x), sd=1/8), y+rnorm(length(y), sd=1/8),
     pch=19, cex=1/2, col="#00000010",
     xlab="X", ylab="Y",
     main=paste("Correlation is", signif(cor(x,y), 3)))
abline(v=mean(x), h=mean(y), col="Red")
abline(lm(y ~ x), lwd=2, lty=3)

— whuber
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Kann dieser Ansatz für die Generierung beliebig vieler binärer Variablen erweitert werden? - um die gegebene Korrelationsmatrix anzupassen (oder um sie maximal anzupassen)?

— TTNPHNS

@ttnphns Ja, aber die Optionen explodieren: Die Wahrscheinlichkeitstabelle muss durch Randparameter, die Summe-zu-Einheit-Bedingung und (daher) zusätzliche Parameter bestimmt werden. Offensichtlich hätten Sie viel Freiheit, diese Parameter entsprechend den zu erstellenden multivariaten Eigenschaften auszuwählen (oder einzuschränken). Ein ähnlicher Ansatz könnte auch verwendet werden, um korrelierte Binomialvariablen mit unterschiedlichen Werten ihrer " " -Parameter zu erzeugen . Parvin: Ich glaube, "wenn wir dieser Variablen addieren" erklärt eindeutig, was darstellt.

2^{k}

$2^k$

k

$k$

2^{k} - k - 1

$2^k-k-1$

n

$n$

n

$n$

n

$n$

— whuber

Das ist ein schönes Ergebnis. Nur um ein wenig über Ihren ersten Satz zu sagen. Um ein Binom aus unabhängigen Bernoulli-Variablen zu erhalten, müssen sie nicht dasselbe p haben? Dies hat keine Auswirkung auf das, was Sie getan haben, da es nur eine Motivation für Ihre Vorgehensweise ist.

— Michael R. Chernick

@Michael Danke - du hast ganz recht. Ein weiterer Grund, der für die hier beschriebene Methode keine Rolle spielt, besteht darin, dass bei dieser Methode Bernoulli-Variablen immer noch mit einem gemeinsamen Parameter summiert werden: Der Parameter ist für alle Variablen und für alle Variablen. Um den Beitrag einigermaßen kurz zu halten, habe ich keine Histogramme der Randverteilungen vorgelegt, um zu demonstrieren, dass sie tatsächlich Binomial sind (aber ich habe das in meiner ursprünglichen Analyse getan, um sicherzustellen, dass sie funktionieren!).

p

$p$

X

$X$

q

$q$

Y

$Y$

— whuber

@whuber Netter Ansatz! Können Sie mich bitte wissen lassen, ob es einen Artikel gibt, auf den ich verweisen kann?

— T Nick