Erwartete Fisher-Informationsmatrix für die T-Verteilung des Schülers?

Ich habe Probleme, online eine Ressource zu finden, die die erwartete Fisher-Informationsmatrix für die T-Verteilung des univariaten Schülers ableitet. Kennt jemand eine solche Ressource?

Da keine Ressource vorhanden ist, die die erwartete Fisher-Informationsmatrix für die T-Verteilung ableitet, versuche ich, sie selbst abzuleiten, stecke aber fest. Hier ist meine bisherige Arbeit:

$y_i \sim t(\mu, \sigma^2, v)$ wobei der Parameter für die Freiheitsgrade (df) ist (als fest angenommen). Dann: $v$

\begin{aligned} f (y_{i}) & = \frac{Γ (\frac{v + 1}{2})}{Γ (\frac{v}{2}) \sqrt{π v σ^{2}}} (1 + \frac{1}{v σ^{2}} (y_{i} - μ)^{2})^{\frac{- (v + 1)}{2}} \end{aligned}

$\begin{align*} f(y_i) &= \frac{\Gamma(\frac{v+1}{2})}{\Gamma(\frac{v}{2})\sqrt{\pi v \sigma^2}}\big(1+\frac{1}{v\sigma^2}(y_i-\mu)^2\big)^{\frac{-(v+1)}{2}} \end{align*}$

Wir haben also die folgende Log-Likelihood-Funktion :

\begin{aligned} l o g f (y_{i}) = l o g Γ (\frac{v + 1}{2}) - l o g Γ (\frac{v}{2}) - \frac{1}{2} l o g (π v σ^{2}) + \frac{- (v + 1)}{2} l o g [1 + \frac{1}{v σ^{2}} (y_{i} - μ)^{2}] \end{aligned}

$\begin{align*} log f(y_i)=log\Gamma(\frac{v+1}{2})-log\Gamma(\frac{v}{2})-\frac{1}{2}log(\pi v \sigma^2)+ \frac{-(v+1)}{2}log\big[1+\frac{1}{v\sigma^2}(y_i-\mu)^2\big] \end{align*}$

Hier die ersten abgeleiteten Gleichungen :

\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial μ} l o g f (y_{i}) = \frac{v + 1}{2} \frac{\frac{2}{v σ^{2}} (y_{i} - μ)}{1 + \frac{1}{v σ^{2}} (y_{i} - μ)^{2}} \\ \frac{\partial}{\partial σ^{2}} l o g f (y_{i}) = \frac{- 1}{2 σ^{2}} - \frac{(v + 1)}{2} \frac{\frac{- 1}{v σ^{4}} (y_{i} - μ)^{2}}{1 + \frac{1}{v σ^{2}} (y_{i} - μ)^{2}} \end{aligned}

$\begin{align*} &\frac{\partial}{\partial \mu}logf(y_i)=\frac{v+1}{2}\frac{\frac{2}{v\sigma^2}(y_i-\mu)}{1+\frac{1}{v\sigma^2}(y_i-\mu)^2} \\ & \frac{\partial}{\partial \sigma^2}logf(y_i)= \frac{-1}{2\sigma^2}-\frac{(v+1)}{2} \frac{\frac{-1}{v\sigma^4}(y_i-\mu)^2}{1+\frac{1}{v\sigma^2}(y_i-\mu)^2} \end{align*}$

Und hier sind die Gleichungen der 2. Ableitung:

\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial μ^{2}} l o g f (y_{i}) = \frac{v + 1}{2} \frac{\frac{- 2}{v σ^{2}} + \frac{2}{d v^{2} σ^{4}} (y_{i} - μ)^{2}}{(1 + \frac{1}{v σ^{2}} (y_{i} - μ)^{2})^{2}} \\ \frac{\partial}{\partial μ \partial σ^{2}} l o g f (y_{i}) = \frac{v + 1}{2} {[\frac{2}{v σ^{2}} - \frac{4}{v^{2} σ^{6}} (y_{i} - μ)^{2}] [1 + \frac{1}{v σ^{2}} (y_{i} - μ)^{2}]^{2} - [\frac{- 2}{v σ^{2}} + \frac{2}{v^{2} σ^{4}} (y_{i} - μ)^{2}] * 2 [1 + \frac{1}{v σ^{2}} (y_{i} - μ)^{2}] [\frac{- 1}{v σ^{4}} (y_{i} - μ)^{2}]} / {[1 + \frac{1}{v σ^{2}} (y_{i} - μ)^{2}]^{4}} . . . . . really messy! \\ \frac{\partial}{\partial (σ^{2})^{2}} l o g f (y_{i}) = \frac{1}{2 σ^{4}} - \frac{(v + 1)}{2} \frac{\frac{1}{v σ^{6}} (y_{i} - μ)^{2}}{[1 + \frac{1}{v σ^{2}} (y_{i} - μ)^{2}]^{2}} \end{aligned}

$\begin{align*} &\frac{\partial}{\partial \mu^2}logf(y_i)=\frac{v+1}{2}\frac{\frac{-2}{v\sigma^2}+\frac{2}{dv^2\sigma^4}(y_i-\mu)^2}{\big(1+\frac{1}{v\sigma^2}(y_i-\mu)^2\big)^2} \\ & \frac{\partial}{\partial \mu \partial \sigma^2}logf(y_i) =\frac{v+1}{2} \Big\{[\frac{2}{v\sigma^2}-\frac{4}{v^2\sigma^6}(y_i-\mu)^2][1+\frac{1}{v\sigma^2}(y_i-\mu)^2]^2-[\frac{-2}{v\sigma^2}+\frac{2}{v^2\sigma^4}(y_i-\mu)^2]*2[1+\frac{1}{v\sigma^2}(y_i-\mu)^2][\frac{-1}{v\sigma^4}(y_i-\mu)^2]\Big\}/\Big\{ [1+\frac{1}{v\sigma^2}(y_i-\mu)^2]^4\Big\}.....\text{really messy!} \\ &\frac{\partial}{\partial (\sigma^2)^2}logf(y_i)=\frac{1}{2\sigma^4}-\frac{(v+1)}{2}\frac{\frac{1}{v\sigma^6}(y_i-\mu)^2}{[1+\frac{1}{v\sigma^2}(y_i-\mu)^2]^2} \end{align*}$

Schließlich wird die erwartete Fischerinformationsmatrix wie folgt berechnet:

\begin{aligned} I = - E ([\begin{matrix} \frac{\partial^{2}}{\partial μ^{2}} l o g f (y_{i}) & \frac{\partial}{\partial μ \partial σ^{2}} l o g f (y_{i}) \\ \frac{\partial}{\partial μ \partial σ^{2}} l o g f (y_{i}) & \frac{\partial^{2}}{\partial (σ^{2})^{2}} l o g f (y_{i}) \end{matrix}]) \end{aligned}

$\begin{align*} \boldsymbol{I}= -\mathbb{E}\Big(\begin{bmatrix} \frac{\partial^2}{\partial \mu^2}logf(y_i) & \frac{\partial}{\partial \mu \partial \sigma^2}logf(y_i) \\ \frac{\partial}{\partial \mu \partial \sigma^2}logf(y_i) & \frac{\partial^2}{\partial (\sigma^2)^2}logf(y_i) \end{bmatrix}\Big) \end{align*}$

Ich habe jedoch keine Ahnung, wie ich diese Erwartungen berechnen soll. Ist jemandem eine Ressource bekannt, die dies getan hat? Ehrlich gesagt, die einzige Menge, die mich interessiert, ist: , würde kann mir wenigstens jemand helfen, das zu berechnen? $-\mathbb{E}\big[\frac{\partial^2}{\partial (\sigma^2)^2}logf(y_i)\big]$

probability t-distribution fisher-information

— bayes003
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Antworten:

Ich wurde darauf aufmerksam gemacht, dass Lange et al. 1989 die erwarteten Fisher-Informationen für die multivariate t-Verteilung in Anhang B abgeleitet haben. Daher habe ich die gewünschte Antwort erhalten. Sie können diese Frage als beantwortet betrachten!

Insbesondere habe ich unter Verwendung des Ergebnisses von Lange et al. Die folgende Fisher-Informationsmatrix für die univariate t-Verteilung (mit festem Freiheitsgradparameter ) abgeleitet: $v$

\begin{aligned} I = [\begin{matrix} \frac{v + 1}{(v + 3) σ^{2}} & 0 \\ 0 & \frac{v}{2 (v + 3) σ^{4}} \end{matrix}] \end{aligned}

$\begin{align*} \boldsymbol{I}=\begin{bmatrix} \frac{v+1}{(v+3)\sigma^2} & 0 \\ 0 & \frac{v}{2(v+3)\sigma^4} \end{bmatrix} \end{align*}$

— bayes003
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Gibt es eine Referenz, in der die Fisher-Informationsmatrix für Parameter mit variablen Freiheitsgraden abgeleitet wurde, dh eine dreidimensionale Fisher-Informationsmatrix, in der Maßstab, Ort und Freiheitsgrade angegeben sind?

— uday

Ich habe die gleiche Frage. Haben wir eine 3x3 Fisher-Matrix, die den nu-Parameter enthält?

— Riemann1337

Das FisherInformationmathStatica

— obige

Es ist nicht schwierig (aber ein bisschen langweilig), die Formel Beachten Sie zunächst, dass durch die Änderung der Variablen in einem beliebigen beteiligten Integral in die Berechnungen einbezogen werden kann .

I (μ, σ^{2}) = E [(\begin{matrix} {(\frac{\partial}{\partial μ} \log f (Y))}^{2} & (\frac{\partial}{\partial μ} \log f (Y)) (\frac{\partial}{\partial σ} \log f (Y)) \\ (\frac{\partial}{\partial μ} \log f (Y)) (\frac{\partial}{\partial σ} \log f (Y)) & {(\frac{\partial}{\partial σ^{2}} \log f (Y))}^{2} \end{matrix})] .

$\mathcal{I}(\mu, \sigma^2) = \mathbb{E}\left[\begin{pmatrix}{\left(\frac{\partial}{\partial\mu} \log f(Y)\right)}^2 & \left(\frac{\partial}{\partial\mu} \log f(Y)\right)\left(\frac{\partial}{\partial\sigma} \log f(Y)\right) \\ \left(\frac{\partial}{\partial\mu} \log f(Y)\right)\left(\frac{\partial}{\partial\sigma} \log f(Y)\right) & {\left(\frac{\partial}{\partial\sigma^2} \log f(Y)\right)}^2 \end{pmatrix} \right].$

y \mapsto y - μ

$y \mapsto y-\mu$

μ = 0

$\mu=0$

Die Berechnungen beruhen auf dem folgenden Integral: Diese Gleichheit wird durch die Änderung der Variablen und mit Hilfe der Dichte der Beta-Primverteilung erhalten .

I (λ, a, b) := \int_{0}^{\infty} y^{2 a - 1} {(1 + \frac{1}{λ} y^{2})}^{- \frac{2 a + b}{2}} d y = \frac{λ^{a}}{2} B (a, \frac{b}{2}) .

$I(\lambda, a, b) := \int_0^\infty y^{2a-1}\left(1+\frac{1}{\lambda}y^2\right)^{-\frac{2a+b}{2}} \textrm{d}y = \frac{\lambda^a}{2} B\left(a, \frac{b}{2}\right).$

y \mapsto y^{2}

$y \mapsto y^2$

Beachten Sie, dass der Integrand eine gerade Funktion ist, wenn eine gerade ganze Zahl ist, daher $2a-1$

J (λ, a, b) := \int_{- \infty}^{+ \infty} y^{2 a - 1} {(1 + \frac{1}{λ} y^{2})}^{- \frac{p + 1 + b}{2}} d y = 2 I (λ, a, b) = λ^{a} B (a, \frac{b}{2}) .

$J(\lambda, a, b) := \int_{-\infty}^{+\infty} y^{2a-1}\left(1+\frac{1}{\lambda}y^2\right)^{-\frac{p+1+b}{2}} \textrm{d}y = 2 I(\lambda, a, b) = \lambda^a B\left(a, \frac{b}{2}\right).$

Ich werde nur die erste Berechnung detaillieren. Setze die Normalisierungskonstante der Dichte.

K (ν, σ) = \frac{1}{B (\frac{1}{2}, \frac{ν}{2})} \frac{1}{\sqrt{ν σ^{2}}},

$K(\nu, \sigma)=\frac{1}{B\left(\frac12,\frac{\nu}{2}\right)}\frac{1}{\sqrt{\nu \sigma^2}},$

Man hat Da , wir finden Die zweite Berechnung ist einfach:

\begin{aligned} E [{(\frac{\partial}{\partial μ} \log f (Y))}^{2}] = K (ν, σ) {(\frac{ν + 1}{ν σ^{2}})}^{2} J (ν σ^{2}, \frac{3}{2}, ν + 2) . \end{aligned}

$\begin{align} \mathbb{E}\left[{\left(\frac{\partial}{\partial\mu} \log f(Y)\right)}^2 \right] = K(\nu, \sigma){\left(\frac{\nu+1}{\nu\sigma^2}\right)}^2 J\left(\nu\sigma^2, \frac{3}{2}, \nu+2\right). \end{align}$

\frac{B (\frac{1}{2}, \frac{ν}{2})}{B (\frac{3}{2}, \frac{ν + 2}{2})} = \frac{B (\frac{1}{2}, \frac{ν}{2})}{B (\frac{3}{2}, \frac{ν}{2})} \frac{B (\frac{3}{2}, \frac{ν}{2})}{B (\frac{3}{2}, \frac{ν + 2}{2})} = \frac{(ν + 1)}{1} \frac{(ν + 3)}{ν}

$\frac{B\left(\frac12,\frac{\nu}{2}\right)}{B\left(\frac{3}{2},\frac{\nu+2}{2}\right)} = \frac{B\left(\frac12,\frac{\nu}{2}\right)}{B\left(\frac{3}{2},\frac{\nu}{2}\right)}\frac{B\left(\frac{3}{2},\frac{\nu}{2}\right)}{B\left(\frac{3}{2},\frac{\nu+2}{2}\right)} = \frac{(\nu+1)}{1}\frac{(\nu+3)}{\nu}$

E. [{(\frac{\partial}{\partial μ} Log f (Y.))}^{2}]] = \frac{ν}{ν + 3} (ν + 1) {(ν σ^{2})}^{- - 1 /. 2 - - 2 + 3 /. 2} = \frac{ν + 1}{(ν + 3) σ^{2}} .

$\mathbb{E}\left[{\left(\frac{\partial}{\partial\mu} \log f(Y)\right)}^2 \right] = \frac{\nu}{\nu+3}(\nu+1){(\nu\sigma^2)}^{-1/2-2+3/2} = \frac{\nu+1}{(\nu+3)\sigma^2}.$

E. [(\frac{\partial}{\partial μ} Log f (Y.)) (\frac{\partial}{\partial σ} Log f (Y.))]] = 0

$\mathbb{E}\left[ \left(\frac{\partial}{\partial\mu} \log f(Y)\right)\left(\frac{\partial}{\partial\sigma} \log f(Y)\right)\right] = 0$ da es sich nur um Integrale ungerader Funktionen handelt.

Schließlich ist die Berechnung von umso mühsamer und Ich überspringe es. Seine Berechnung beinhaltet Integrale mit gerader Ganzzahl, deren Wert oben angegeben ist.

E. [{(\frac{\partial}{\partial σ^{2}} Log f (Y.))}^{2}]]

$\mathbb{E}\left[{\left(\frac{\partial}{\partial\sigma^2} \log f(Y)\right)}^2 \right]$

J (ν σ^{2}, a, b)

$J(\nu\sigma^2, a, b)$

2 a - 1

$2a-1$

Ich habe die Berechnungen durchgeführt und und dies vereinfacht sich zu

\frac{{(ν + 1)}^{2}}{4 {(ν σ^{4})}^{2}} K. (ν, σ^{2}) J. (ν σ^{2}, \frac{5}{2}, ν) - - \frac{ν + 1}{2 ν σ^{6}} K. (ν, σ^{2}) J. (ν σ^{2}, \frac{3}{2}, ν) + \frac{1}{4 σ^{4}}

$\frac{{(\nu+1)}^2}{4{(\nu\sigma^4)}^2} K(\nu, \sigma^2) J\left(\nu\sigma^2, \frac{5}{2},\nu\right) - \frac{\nu+1}{2\nu\sigma^6} K(\nu, \sigma^2) J\left(\nu\sigma^2, \frac{3}{2},\nu\right) + \frac{1}{4\sigma^4}$

\frac{ν}{2 (ν + 3) σ^{4}} .

$\frac{\nu}{2(\nu+3)\sigma^4}.$

— Stéphane Laurent
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