Drittes zentrales Moment einer Summe einer Zufallszahl von iid-Zufallsvariablen

Inspiriert von dieser Frage versuchte ich, einen Ausdruck für den dritten zentralen Moment einer Summe einer Zufallszahl von iid-Zufallsvariablen zu erhalten. Meine Frage ist, ob es richtig ist und wenn nicht, was falsch ist oder welche zusätzlichen Annahmen fehlen könnten.

Insbesondere lassen Sie:

$$S=\sum_1^N{X_i},$$ wobei$N$ eine nicht negative Zufallsvariable mit ganzzahligem Wert ist.

Angenommen, die Verteilungen von $N$ und $X$ sind bekannt (und $X_i$ ist iid), ich möchte den Wert des dritten zentralen Moments von wissen $S$.

Nach dem Gesetz der totalen Kumulanz:

$$\mu_3(S)=E[\mu_3(S|N)]+\mu_3(E[S|N])+3cov(E[S|N],V[S|N]),$$

aber $E[S|N]=N\cdot E[X]$ , $E[S|N]=N\cdot V[X]$ und, wenn ich recht habe, $\mu_3(S|N)=N\cdot \mu_3[X]$ . Daher:

$$\mu_3(S)=E[N\cdot \mu_3(X)]+\mu_3(N\cdot E[X])+3cov(N\cdot E[X],N\cdot V[X]),$$

und da die Momente von $X$ bekannt sein sollen:

$$\mu_3(S)=\mu_3(X)E[N]+E[X]^3\mu_3(N)+3E[X]V[X]cov(N,N)$$

$cov(N,N)=V[N]$

$$\mu_3(S)=\mu_3(X)E[N]+E[X]^3\mu_3(N)+3E[X]V[X]V[N]$$

Ist es richtig? Was ist falsch? Welche zusätzlichen Annahmen fehlen mir?

$\mu_3(S | X) = N \cdot \mu_3[X]$

$$\begin{align} \mu_3(S | X) &= E\left[(S - E[S])^3 | N \right] \\ &= E\left[ \left( \sum_{i=1}^N (X_i - E[X]) \right)^3 \middle| N \right] \\ &= E \left[ \sum_{i=1}^N (X_i - E[X])^3 \middle| N\right] \end{align}$$ $n$

$$\begin{align} E\left[ \left( \sum_{i=1}^n (X_i - E[X]) \right)^3 \right] &= E \left[ \sum_{\sum_{i=1}^n k_i = 3} {3 \choose{k_1, \ldots, k_n}} (X_1 - E[X])^{k_1} \cdots (X_n - E[X])^{k_n} \right] \\ &= E\left[ \sum_{i=1}^n (X_i - E[X])^3 \right], \end{align}$$ denn wenn für ein , existiert ein anderes wobei (Aufgrund der Unabhängigkeit von und und der Tatsache, dass die Erwartung von Null ist, wird dieser bestimmte Term Null). Nun sollte klar sein, dass .$k_i = 2$$i$$j$$k_j=1$$X_i$$X_j$$X_j - E[X]$$\mu_3(S | X) = N \cdot \mu_3[X]$