Moment / mgf Kosinus der Richtungsvektoren?

Kann jemand vorschlagen, wie ich das zweite Moment (oder die gesamte Momenterzeugungsfunktion) des Kosinus von zwei Gaußschen Zufallsvektoren berechnen kann, die jeweils als unabhängig voneinander verteilt sind? IE, Moment für die folgende Zufallsvariable $x,y$ $\mathcal N (0,\Sigma)$

\frac{⟨ x, y ⟩}{‖ x ‖ ‖ y ‖}

$\frac{\langle x, y\rangle}{\|x\|\|y\|}$

Die nächste Frage ist die Momenterzeugungsfunktion des inneren Produkts zweier Gaußscher Zufallsvektoren, die MGF für das innere Produkt ableitet. Es gibt auch diese Antwort von mathoverflow, die diese Frage mit der Verteilung von Eigenwerten von Stichproben-Kovarianzmatrizen verknüpft, aber ich sehe nicht sofort, wie man diese verwendet, um den zweiten Moment zu berechnen.

Ich vermute, dass der zweite Moment proportional zur halben Norm der Eigenwerte von skaliert, $\Sigma$ da ich dieses Ergebnis durch algebraische Manipulation für 2 Dimensionen und auch für 3 Dimensionen durch Erraten und Prüfen erhalte. Für die Eigenwerte $a,b,c$ die sich zu 1 addieren, ist der zweite Moment:

(\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c})^{- 2}

$(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^{-2}$

Verwenden Sie Folgendes zur numerischen Überprüfung

val1[a_, b_, c_] := (a + b + c)/(Sqrt[a] + Sqrt[b] + Sqrt[c])^2
val2[a_, b_, c_] := Block[{},
  x := {x1, x2, x3};
  y := {y1, y2, y3};
  normal := MultinormalDistribution[{0, 0, 0}, ( {
      {a, 0, 0},
      {0, b, 0},
      {0, 0, c}
     } )];
  vars := {x \[Distributed] normal, y \[Distributed] normal};
  NExpectation[(x.y/(Norm[x] Norm[y]))^2, vars]]

  val1[1.5,2.5,3.5] - val2[1.5,2.5,3.5]

Überprüfen der Formel auf 4 Variablen (innerhalb numerischer Grenzen):

val1[a_, b_, c_, 
  d_] := (a + b + c + d)/(Sqrt[a] + Sqrt[b] + Sqrt[c] + Sqrt[d])^2
val2[a_, b_, c_, d_] := Block[{},
  x := {x1, x2, x3, x4};
  y := {y1, y2, y3, y4};
  normal := 
   MultinormalDistribution[{0, 0, 0, 
     0}, {{a, 0, 0, 0}, {0, b, 0, 0}, {0, 0, c, 0}, {0, 0, 0, d}}];
  vars := {x \[Distributed] normal, y \[Distributed] normal};
  NExpectation[(x.y/(Norm[x] Norm[y]))^2, vars]]

val1[0.5, 1.5, 2.5, 3.5] - val2[0.5, 1.5, 2.5, 3.5]

— Jaroslaw Bulatow
quelle

Aufgrund der Rotationsfreiheit kann angenommen werden, dass einer der Vektoren ein Einheitsvektor in jeder Richtung ist, die am bequemsten ist, da der Kosinus unter Rotationen invariant ist. Dies sollte das Problem bis zum zweiten Moment des Kosinus von in Bezug auf . EDIT: Eigentlich hängt dies von der Symmetrie von .

x \in N (0, Σ)

$x \in \mathcal{N}(0,\Sigma)$

(1, 0, 0, \dots)

$(1,0,0,\ldots)$

Σ

$\Sigma$

— Jwimberley

Die Antwort von w huber hier könnte von Interesse sein: stats.stackexchange.com/a/85977/37483

— ekvall

@ Student001 in der Tat scheint die in dieser Frage abgeleitete 1 / n-Rate ein Sonderfall dieser Formel zu sein, da wir einen Freiheitsgrad entfernen, indem wir die Spur der Kovarianzmatrix auf 1

— Jaroslaw Bulatow

Nebenbei: Beachten Sie, dass wlog, diagonal ist.

Σ

$\Sigma$

— Kardinal

Ich fand die Frage , ob die Verteilung von mindestens dreimal bei Kreuzvalidierung gestellt wird. Hoffentlich wird dieser Beitrag den Begriff der "projizierten Normalverteilung" populär machen, sodass es sich nicht mehr um eine Frage handelt ! :)

\frac{x}{‖ x ‖}

$\frac{x}{\|x\|}$

— Henry.L

Hey Yaroslav, du musst dich wirklich nicht beeilen, meine Antwort auf MO anzunehmen und bist mehr als willkommen, weitere Details zu fragen :).

Da Sie die Frage in 3-dim umformulieren, kann ich genau sehen, was Sie tun möchten. In MO post dachte ich, Sie müssen nur den größten Kosinus zwischen zwei Zufallsvariablen berechnen. Jetzt scheint das Problem schwieriger zu sein.

Zuerst berechnen wir den normalisierten Gaußschen , was kein trivialer Job ist, da er tatsächlich den Namen "projizierte Normalverteilung" hat, da wir die multivariate Normaldichte in Bezug auf ihre umschreiben können Polarkoordinate . Und die Grenzdichte für kann in $\frac{X}{\|X\|}$ $X$ $(\|X\|,\frac{X}{\|X\|})=(r,\boldsymbol{\theta})$ $\boldsymbol{\theta}$

\int_{R^{+}} f (r, θ) d r

$\int_{\mathbb{R}^{+}}f(r,\boldsymbol{\theta})dr$

Ein wichtiger Fall ist der, in dem eine bivariate Normalverteilung , in dem eine projizierte Normalen ( oder Winkel-Gaußsche oder versetzte Normalen ) haben soll. Verteilung. [Mardia & Peter] S.46 $x$ $N_2(\mu,\Sigma)$ $\|x\|^{-1}x$

In diesem Schritt können wir Verteilungen für und damit deren Gelenkdichte erhalten aufgrund der Unabhängigkeit. Bezüglich einer konkreten Dichtefunktion der projizierten Normalverteilung siehe [Mardia & Peter], Kapitel 10. oder [2] Gleichung (4) oder [1]. (Beachten Sie, dass sie in [2] auch eine spezielle Form der Kovarianzmatrix annehmen ) $\mathcal{PN}_{k}$ $\frac{X}{\|X\|}\perp\frac{Y}{\|Y\|}$ $(\frac{X}{\|X\|},\frac{Y}{\|Y\|})$ $\Sigma=\left(\begin{array}{cc} \Gamma & \gamma\\ \gamma' & 1 \end{array}\right)$

Zweitens, da wir bereits ihre Gelenkdichte erhalten haben, kann ihr inneres Produkt leicht unter Verwendung der Transformationsformel . Siehe auch [3].

(\frac{X}{‖ X ‖}, \frac{Y}{‖ Y ‖}) \mapsto \frac{X}{‖ X ‖} \cdot \frac{Y}{‖ Y ‖}

$(\frac{X}{\|X\|},\frac{Y}{\|Y\|})\mapsto\frac{X}{\|X\|}\cdot\frac{Y}{\|Y\|}$

Solange wir die Dichte berechnet haben, ist der zweite Moment nur ein Problem der Integration.

Referenz

[Mardia & Peter] Mardia, Kanti V. und Peter E. Jupp. Richtungsstatistik. Vol. 494. John Wiley & Sons, 2009.

[1] Wang, Fangpo und Alan E. Gelfand. "Richtungsdatenanalyse unter der allgemein projizierten Normalverteilung." Statistical Methodology 10.1 (2013): 113-127.

[2] Hernandez-Stumpfhauser, Daniel, F. Jay Breidt und Mark J. van der Woerd. "Die allgemein projizierte Normalverteilung beliebiger Dimensionen: Modellierung und Bayes'sche Inferenz." Bayesianische Analyse (2016). https://projecteuclid.org/download/pdfview_1/euclid.ba/1453211962

[3] Momenterzeugungsfunktion des inneren Produkts zweier Gaußscher Zufallsvektoren

— Henry.L
quelle

@YaroslavBulatov Hoffentlich ist dies Ihr Kopfgeld wert!

— Henry.L

Die Antwort, die ich auf MO gepostet habe, ist nicht genau das, was das OP wollte, weil ich dachte, dass er nach dem kanonischen Winkel sucht. mein Fehler.

— Henry.L

Könnten Sie einen Beweis dafür liefern, dass die Annahme einer Identitätskovarianzmatrix wlog ist? Es ist mir nicht klar. Es ist "einfach", Kardinals Behauptung zu zeigen, dass die Diagonalmatrix wlog ist, aber wie werden Sie die Eigenwerte los?

— Ekvall

@ Student001 Wenn , dann hat eine Identitätskovarianzmatrix.

Σ = P^{'} Λ P

$\Sigma=P'\Lambda P$

P X

$PX$

— Henry.L

Nein, wenn die spektrale Zerlegung von , dann als Kovarianzmatrix , die nicht die Identität sein muss, also rechtfertigt zumindest dieser Schritt nicht wlog Vielleicht tut es Ihr letzter Kommentar , Ich bin mir nicht sicher.

P^{'} Λ P

$P'\Lambda P$

Σ

$\Sigma$

P X

$PX$

Λ

$\Lambda$

Σ = I

$\Sigma = I$

— Ekvall