Wie ist die Verteilung der Summe der quadratischen Chi-Quadrat-Zufallsvariablen?

Wie wäre die Verteilung der folgenden Gleichung:

y = a^{2} + 2 a d + d^{2}

$y = a^2 + 2ad + d^2$

Dabei sind und unabhängige nicht zentrale Chi-Quadrat-Zufallsvariablen mit Freiheitsgraden. $a$ $d$ $2 \textbf{M}$

OBS.: Die RVs, die sowohl als auch erzeugen, haben und , sagen wir . $a$ $d$ $\mu = 0$ $\sigma^2 \neq 1$ $\sigma^2 = c$

distributions chi-squared pdf

— Felipe Augusto de Figueiredo
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1. Wie hängen und zusammen? 2. Chi-Quadrat-Zufallsvariablen haben bereits einen Mittelwert> 0 Warum sollten Sie ihn explizit angeben müssen? (Oder versuchen Sie, sich auf ein nicht zentrales Chi-Quadrat zu beziehen?)

a

$a$

d

$d$

— Glen_b -State Monica

Ich habe der Frage gerade einige weitere Informationen hinzugefügt. Sie sind nicht zentrale Chi-Quadrat-RVs, da sie durch nicht standardmäßige kreisförmige symmetrische komplexe Gaußsche Zufallsvariablen erzeugt wurden.

— Felipe Augusto de Figueiredo

2M sind die Freiheitsgrade für jeden der beiden?

— Alecos Papadopoulos

Felipe, in Ihrer Frage geben Sie und tun „haben “ , aber in ihrem neuesten Kommentar , den Sie angeben , sie nicht diese Eigenschaft haben. Welches ist es??

a

$a$

d

$d$

μ = 0

$\mu=0$

— whuber

Danke, dass Sie versucht haben zu erklären, aber ich kann es immer noch nicht verstehen. Wenn Sie schreiben, dass " und unabhängige nicht zentrale Chi-Quadrat-Zufallsvariablen sind", klingt es so, als würden Sie Quadrate normaler Zufallsvariablen mit einem Mittelwert ungleich Null summieren , da auf diese Weise normalerweise nicht zentrale Chi-Quadrat-Variablen entstehen. Aber später schreiben Sie "Die RVs, die sowohl als auch erzeugen, haben ", was darauf hindeutet, dass Sie mit zentralen Chi-Quadrat-Variablen arbeiten. Ich vermute, dass dies die Inkonsistenzen sind, die den ersten Kommentar von @Glen_b ausgelöst haben. Könnten Sie explizit zeigen, was und

a

$a$

d

$d$

a

$a$

d

$d$

μ = 0

$\mu=0$

a

$a$

d

$d$ sind?

— whuber

Antworten:

Wenn unabhängig sind, hat eine -Verteilung. Da nicht negativ ist, kann CDF von durch Notieren vonDaher ist $a, d\sim\chi^2_{2M}$ $X=a+d$ $\chi^2_{4M}$ $X$ $Y=a^2+2ad+d^2=(a+d)^2=X^2$

F_{Y} (y) = P (Y \leq y) = P (X^{2} \leq y) = P (X \leq \sqrt{y}) = F_{X} (\sqrt{y}) .

$F_Y(y)=P(Y\leq y)=P(X^2\leq y)=P(X\leq \sqrt{y})=F_X(\sqrt{y}).$

f_{Y} (y) = \frac{1}{2 \sqrt{y}} f_{X} (\sqrt{y}) = \frac{1}{2^{2 M + 1} Γ (2 M)} y^{M - 1} e^{- \sqrt{y} / 2} .

$f_Y(y)=\frac{1}{2\sqrt{y}}f_X(\sqrt{y})=\frac{1}{2^{2M+1}\Gamma(2M)}y^{M-1}e^{-\sqrt{y}/2}.$

Wenn und korreliert sind, sind die Dinge viel komplizierter. Siehe zum Beispiel die kumulative Verteilungsfunktion von NH Gordon & PF Ramig für die Summe der korrelierten Chi-Quadrat-Zufallsvariablen (1983) für eine Definition des multivariaten Chi-Quadrats und die Verteilung seiner Summe. $a$ $d$

Wenn dann haben Sie es mit nicht zentralem Chi-Quadrat zu tun, so dass das oben Genannte nicht mehr gültig ist. Dieser Beitrag kann einige Einblicke geben. $\mu\neq 2M$

BEARBEITEN: Basierend auf den neuen Informationen scheinen und durch Summieren des normalen rv mit einer Varianz von nicht Einheiten gebildet zu werden. Denken Sie daran, wenn dann . Da jetzt beide eine Chi-Quadrat-Verteilung, die durch skaliert ist , dh -Verteilung. In diesem Fall wird verteilt. Als Ergebnis haben wir für $a$ $d$ $Z\sim N(0, 1)$ $\sqrt{c}Z\sim N(0, c)$

a = c \sum_{i = 1}^{2 M} Z_{i}^{2} = d,

$a=c\sum_{i=1}^{2M}Z_i^2=d,$

a, d

$a,d$

c

$c$

Γ (M, 2 c)

$\Gamma(M, 2c)$

X = a + d

$X=a+d$

Γ (2 M, 2 c)

$\Gamma(2M, 2c)$

Y = X^{2}

$Y=X^2$

f_{Y} (y) = \frac{1}{2 (2 c)^{2 M} Γ (2 M)} y^{M - 1} e^{- \sqrt{y} / 2 c} .

$f_Y(y)=\frac{1}{2(2c)^{2M}\Gamma(2M)}y^{M-1}e^{-\sqrt{y}/2c}.$

— Francis
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Wie tritt ich ein? Soll es der Mittelwert einer der Chi-Quadrat-Variablen sein? Ich vermute, es hat nichts mit dem Problem zu tun.

— Michael R. Chernick

@ MichaelChernick: Bedeutet wahrscheinlich, dass nicht zentrales Chi-Quadrat sein kann?

a, d

$a, d$

— Francis

Ich nehme an, Sie können diese Annahme treffen, aber das OP stellt keine Verbindung her. Ich denke, Sie haben den richtigen Ansatz gewählt, der Nicht-Zentrale konnte nicht auf dieses Problem eingehen. X ist hier das Quadrat eines Chi-Quadrats. Wie heißt diese Verteilung im Falle der Unabhängigkeit, die Sie hier verwendet haben?

— Michael R. Chernick

@MichaelChernick Ich bin mir nicht sicher, ob der Distribution ein spezieller Name zugeordnet ist. "Chi-Tesseracted" vielleicht?

— Francis

a

$a$ und sind nicht zentrale Chi-Quadrate.

d

$d$

— Felipe Augusto de Figueiredo

Da ein nicht zentrales Chi-Quadrat eine Summe unabhängiger rvs ist, ist die Summe zweier unabhängiger nicht zentraler Chi-Quadrate auch ein nicht zentrales Chi-Quadrat mit Parametern, die die Summe der entsprechenden Parameter von die beiden Komponenten (Freiheitsgrade), (Nicht-Zentralitätsparameter). $X = a+b$ $k_x = k_a+k_b$ $\lambda_x = \lambda_a+\lambda_b$

Um die Verteilungsfunktion seines Quadrats , kann man die "CDF-Methode" anwenden (wie in der Antwort von @francis). $Y =X^2$

F_{Y} (y) = P (Y \leq y) = P (X^{2} \leq y) = P (X \leq \sqrt{y}) = F_{X} (\sqrt{y})

$F_Y(y)=P(Y\leq y)=P(X^2\leq y)=P(X\leq \sqrt{y})=F_X(\sqrt{y})$

und wo

F_{X} (x) = 1 - Q_{k_{x} / 2} (\sqrt{λ_{x}}, \sqrt{x})

$F_X(x)=1 - Q_{k_x/2} \left( \sqrt{\lambda_x}, \sqrt{x} \right)$

damit

F_{Y} (y) = 1 - Q_{k_{x} / 2} (\sqrt{λ_{x}}, y^{1 / 4})

$F_Y(y)=1 - Q_{k_x/2} \left( \sqrt{\lambda_x}, y^{1/4} \right)$

wo hier ist Marcums Q-Funktion . $Q$

Das Obige gilt für nicht zentrale Chi-Quadrate, die als Summen unabhängiger quadratischer Normalen mit jeweils einheitlicher Varianz, aber unterschiedlichem Mittelwert gebildet werden.

ADDENDUM FÜR DIE BEARBEITUNG DER FRAGE

Wenn die Basis-RV , ist das Quadrat von jedem ein siehe https://stats.stackexchange.com/a/122864/28746 . $N(0,c)$ $Gamma (1/2,2c)$

Also das rv und also auch (Formskalenparametrisierung, und siehe den Wikipedia-Artikel für die additive Eigenschaften für Gamma). $a \sim Gamma (M, 2c)$ $b \sim Gamma (M, 2c)$ $X = a+b \sim Gamma(2M, 2c)$

Dann kann man die CDF-Methode erneut anwenden, um die CDF des Quadrats $Y = X^2$

— Alecos Papadopoulos
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@FelipeAugustodeFigueiredo Entschuldigung, ich bin nicht mit komplexen Wohnmobilen vertraut. Meine Antwort ging davon aus, dass wir von nicht zentralen Chi-Quadraten ausgehen.

— Alecos Papadopoulos

Was ist, wenn die RVs kreisförmige symmetrische komplexe Gaußsche Zufallsvariablen mit und ?

μ = 0

$\mu = 0$

σ = c I

$\sigma = cI$

— Felipe Augusto de Figueiredo

a

$a$

d

$d$

μ = 0

$\mu = 0$

σ \neq 1

$\sigma \neq 1$

c

$c$

Könnten Sie mir bitte bei der folgenden Frage helfen: stats.stackexchange.com/questions/253764/… . Jeder Hinweis wäre sehr dankbar. Vielen Dank!

— Felipe Augusto de Figueiredo

@FelipeAugustodeFigueiredo Ich fürchte, ich habe für diese Frage nichts zu bieten.

— Alecos Papadopoulos