Was ist falsch an dieser vorgeschlagenen Resolution zum St. Petersburg Paradoxon?

Wir haben ein Spiel, bei dem Ihre Auszahlung beträgt, wobei k die Häufigkeit ist, mit der Sie eine Münze geworfen haben, um auf Köpfen zu landen (wenn Ihr erster Wurf ein Kopf ist, dann ist k = 1 ). Dann ist die erwartete Auszahlung: E = $2^k$$k$$k=1$E=1+1+1+. . . E=

Wie viel muss ich bezahlen, um dieses Spiel zu spielen?

Aus der geometrischen Verteilung wissen wir, wie viele Münzen ich voraussichtlich werfen werde, bis ich einen Kopf bekomme:

Also zahle ich weniger als mit k = 2 :$2^k$$k=2$

dh <4 Dollar

https://en.wikipedia.org/wiki/St._Petersburg_paradox als Referenz

• $K$

  • $K$

• $f(k)$

  • $f(k) = 2^k$

• $f(K)$

$f(K)$$f(\mathrm{E[}K])$$K$$f$

Beispiel, wo Ihr System absolut keinen Sinn macht

$K$$\mathcal{N}(0,10000000000000)$$f(K) = K^2$$0$$f(\mathrm{E}[K]) = 0^2 = 0$

Eine klassischere Lösung des St. Petersburg Paradox

$z$

$w$$u$$u$$2^K$

$u(x) = \log(x)$

Ein wichtiger weiterer Punkt ist, dass der Ansatz der Risikoaversion zu unterschiedlichen Sicherheitsäquivalenten führt, je nachdem, auf welcher Seite des Glücksspiels Sie sich befinden.

An dieser vorgeschlagenen Entschließung ist nichts auszusetzen.

Im ursprünglichen Paradoxon betrachten wir den erwarteten Wert (Mittelwert) des Gewinns, der unendlich ist, und daher sollten Sie einen unendlichen Betrag setzen. Nach dem ersten Münzwurf besteht jedoch eine 50% ige Chance, dass Sie Geld verloren haben, und deshalb mögen es die Leute nicht. Ihre Entschließung formalisiert dies nur, anstatt den mittleren Gewinn zu betrachten, betrachten Sie den mittleren Gewinn. Im Gegensatz zum mittleren Gewinn ist der mittlere Gewinn endlich und das Paradoxon verschwindet.

Wenn ich das richtig verstehe, lautet Ihre Analyse:

1. Berechnen Sie die erwartete Anzahl von Münzwürfen, die erforderlich sind, um einen Kopf zu erhalten.
2. Berechnen Sie die Auszahlung für das Ergebnis, bei dem Sie genau die erwartete Anzahl erhalten.
3. Bewerten Sie das Spiel gleich dieser Auszahlung.

... OK, lass uns das Spiel ein wenig modifizieren. Genau wie in der Originalversion werde ich eine Münze werfen und weiter werfen, bis ich Köpfe werfe. Nur die Auszahlungen haben sich geändert:

• Wenn ich beim zweiten Wurf die Köpfe umdrehe, bekommst du vier Dollar.
• Bei jedem anderen Ergebnis verlieren Sie alles, was Sie besitzen, und müssen für immer kostenlos für mich arbeiten.

Wie viele Münzen werden wir voraussichtlich werfen, bevor wir einen Kopf bekommen? 2, genau das gleiche wie zuvor.

Was ist die Auszahlung für das Ergebnis, bei dem wir zwei Münzen werfen, um einen Kopf zu bekommen? $ 4,00, genau wie zuvor.

Wie viel wären Sie bereit, für das "Privileg" zu zahlen, dieses Spiel zu bezahlen, das eine 75% ige Chance hat, Sie in Konkurs zu bringen, und eine 25% ige Chance, 4,00 $ zurückzugeben?

Ich vermute, die Antwort lautet nicht "bis zu vier Dollar, genau wie zuvor". Was bedeutet, dass Ihre Logik ein Loch hat.

Aus einer breiteren Perspektive betrachtet sind die erwarteten Gewinne nicht unbedingt genug Informationen, um diese Art von Frage zu beantworten. Normalerweise hängt es von einem zusätzlichen Kontext ab. Ist dies eine einmalige Gelegenheit oder erwarten Sie, dass Ihnen dieses Glücksspiel viele Male angeboten wird? Wie viel Geld hast du zur Hand? Und wie viel Geld brauchst du, um glücklich zu sein?

Wenn mein Gesamtvermögen beispielsweise 100 US-Dollar beträgt, ich aber dringend eine Million US-Dollar für eine lebensrettende Operation benötige, wäre ich bereit, mein gesamtes Geld für einen einzigen Schuss beim Glücksspiel in St. Petersburg zu bezahlen. Es gibt mir nur eine 1/2 ^ 19 Chance, das Geld zu gewinnen, das ich brauche, aber wenn ich nicht spiele, habe ich überhaupt keine Chance.

Wenn mein Gesamtvermögen 1000.000 US-Dollar beträgt und ich genau eine Million US-Dollar für diese Operation benötige, wäre ich höchstens bereit, für ein einzelnes Spiel zwei US-Dollar zu zahlen (die ich garantiert zurückgewinne). . Alles andere, und ich habe eine halbe Chance, die Millionen Dollar zu verlieren, die ich brauche, um mein Leben zu retten.

Wenn ich davon ausgehe, dass ich viele Chancen habe, solche Spiele zu spielen, möchte ich wahrscheinlich eine Strategie wählen, die mir eine hohe Wahrscheinlichkeit gibt, am Ende all dieser Spiele viel Geld zu haben. Zum Beispiel:

Spiel A erhöht garantiert mein Vermögen jedes Mal um 10%, wenn ich es spiele. (Erwarteter Gewinn: + 10% meines derzeitigen Vermögens.) Spiel B hat eine 90% ige Chance, mein Vermögen zu verdoppeln , und eine 10% ige Chance, mich bankrott zu machen. (Erwarteter Gewinn: + 70% meines aktuellen Vermögens.) [Bearbeiten: tatsächlich + 80%, weil ich bei der Grundrechenart versage, aber das Argument gilt immer noch.]

Wenn ich 100 Iterationen von Spiel A spiele, bin ich sicher, dass ich mein Vermögen mit 13.780 multiplizieren werde.

Wenn ich 100 Iterationen von Spiel B spiele, habe ich eine Chance von 0,0027%, unvorstellbar reich zu werden (ungefähr 10 ^ 30 x das, womit ich angefangen habe) ... und eine Chance von 99,73%, bankrott zu gehen. Obwohl der Durchschnitt besser ist als für Spiel A, ist dies keine gute Option.

Für diese Art von stark iteriertem Spiel ist es besser, als zu versuchen, meine erwarteten Gewinne in jedem Spiel zu maximieren, den erwarteten Wert von ln zu maximieren (Gesamtvermögen nach Spiel / Gesamtvermögen vor Spiel). Dies sichert ein langfristiges Wachstum, ohne ausgelöscht zu werden.

Wenn die Einsätze für jedes Spiel im Verhältnis zu meinem Gesamtvermögen gering sind, entspricht dies ungefähr der Maximierung der erwarteten Gewinne in jedem Spiel.

Wenn Sie also viele Spiele spielen und nie einen großen Teil Ihres aktuellen Vermögens riskieren, sagt Ihnen der erwartete Wert des Glücksspiels alles, was Sie wissen müssen. In fast jeder anderen Situation müssen Sie auch über andere Dinge nachdenken.