Erwarteter Wert des Verhältnisses korrelierter Zufallsvariablen?

Für unabhängige Zufallsvariablen und gibt es einen Ausdruck in geschlossener Form für $\alpha$ $\beta$

$\mathbb E \left[ \frac{\alpha}{\sqrt{\alpha^2 + \beta^2}} \right]$

in Bezug auf die erwarteten Werte und Varianzen von und ? Wenn nicht, gibt es eine gute Untergrenze für diese Erwartung? $\alpha$ $\beta$

Update: Ich kann auch erwähnen, dass und . Ich kann die Varianz von und steuern , und ich denke an eine Einstellung, bei der die Varianzen von und im Vergleich zu ziemlich klein sind . Möglicherweise sind beide Standardabweichungen kleiner als 0,3. $\mathbb E[\alpha] = 1$ $\mathbb E[\beta] = 0$ $\alpha$ $\beta$ $\alpha$ $\beta$ $\mathbb E[\alpha]$

— Jeff
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Wahrscheinlich nicht. Haben Sie explizite Formulare für ?

α, β

$\alpha,\beta$

— Alex R.

Leider nicht. Ich habe nur Mittel und Obergrenzen für ihre Abweichungen. Irgendwelche Gedanken zu einer analytischen Untergrenze der Erwartung? Es ist immer zwischen 0 und 1. Ich dachte daran, etwas mit Chebyshevs Ungleichung zu tun, fragte mich aber, ob es einen besseren Weg gibt.

— Jeff

Kennen Sie die gemeinsame Verteilung von und ? Z.B. Multiivariate normal?

α

$\alpha$

β

$\beta$

— Matthew Gunn

Nein, ich kann nicht davon ausgehen, dass sie multivariat normal sind. Ich habe nur, dass sie unabhängig sind. Ich erwarte, dass sie alle ungefähr normal sind, aber darauf kann ich mich nicht verlassen. Ich brauche eine echte Untergrenze. Danke, dass Sie gefragt haben!

— Jeff

Ich dachte an eine Untergrenze, obwohl ich nicht denke, dass sie sehr eng ist. Ich wähle einfach einen beliebigen Wert, der kleiner als der Mittelwert von und einen anderen beliebigen Wert um den Mittelwert von . Da die Erwartung einer nicht negativen Zufallsvariablen ist und und unabhängig sind, $\alpha$ $\beta^2$ $\alpha$ $\beta$

$\mathbb E \left[ \frac{\alpha}{\sqrt{\alpha^2 + \beta^2}} \right] \ge \frac{1}{\sqrt{2}}\mathbb P(\alpha \ge \frac{1}{2}) \mathbb P(\beta^2 \le\frac{1}{4})$ .

Durch Chebyshevs Ungleichung,

$\mathbb P(\alpha \ge \frac{1}{2}) = \mathbb P(\alpha - 1 \ge -\frac{1}{2}) \ge \mathbb P(|\alpha - 1| \le \frac{1}{2}) = 1 - \mathbb P(|\alpha - 1| \ge \frac{1}{2}) \ge 1 - 4\mathrm{var}(\alpha)$

Durch Markovs Ungleichung

$\mathbb P(\beta^2 \le\frac{1}{4}) = 1 - \mathbb P(\beta^2 \ge\frac{1}{4}) \ge 1 - 4 \mathbb E[\beta^2] = 1 - 4\mathrm{var}(\beta)$

Deshalb,

$\mathbb E \left[ \frac{\alpha}{\sqrt{\alpha^2 + \beta^2}} \right] \ge \frac{1}{\sqrt{2}} (1 - 4 * 0.3^2) (1 - 4 * 0.3^2) > 0.28$

Ist eine standardmäßige / systematische Methode, um das zu tun, was ich hier mache, eine engere Bindung?

— Jeff
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Ich glaube nicht an diese Untergrenze von . Nehmen wir als Gegenbeispiel den Wert mit der Wahrscheinlichkeit und mit der Wahrscheinlichkeit , so dass sein Mittelwert . Sei im Wesentlichen Null (im Vergleich zu ). Dann nimmt den Wert mit der Wahrscheinlichkeit und mit der Wahrscheinlichkeit und macht seine Erwartung . Die Auswahl von zeigt, dass die Erwartung nur durch begrenzt ist

0.28

$0.28$

α

$\alpha$

(1 + p) / (1 - p)

$(1+p)/(1-p)$

1 - p

$1-p$

- 1

$-1$

p

$p$

1

$1$

β

$\beta$

| α |

$|\alpha|$

α / \sqrt{α^{2} + β^{2}}

$\alpha/\sqrt{\alpha^2+\beta^2}$

- 1

$-1$

p

$p$

1

$1$

1 - p

$1-p$

1 - 2 p

$1-2p$

p \approx 1

$p\approx 1$

- 1

$-1$ , und dies ist die bestmögliche Untergrenze.

— whuber

@whuber - Wenn auf 1 geht, geht die Varianz von in Ihrem Gegenbeispiel nicht unendlich? In der Frage ist die Varianz von und jedoch durch . Tut mir leid, dass ich das nicht klarer in die Frage geschrieben habe.

p

$p$

α

$\alpha$

α

$\alpha$

β

$\beta$

0.3

$0.3$

— Jeff

Ich habe einen Fehler in meiner Antwort bemerkt: Ich habe aber das ist falsch. Eher , wie Sie bemerken. Ich frage mich, ob die Antwort korrigiert werden kann.

α / \sqrt{α^{2} + β^{2}} \geq 0

$\alpha / \sqrt{\alpha ^2 + \beta^2} \ge 0$

α / \sqrt{α^{2} + β^{2}} \geq - 1

$\alpha / \sqrt{\alpha ^2 + \beta^2} \ge -1$

— Jeff

Sie können ein Infimum erreichen wenn die Varianz von IST . Machen Sie dies, indem Sie identisch auf Null setzen und zwei Werte annehmen lassen: Einer ist infinitesimal, aber negativ, mit der Wahrscheinlichkeit ; der andere Wert ist .

- σ^{2} (2 + σ^{2})

$-\sigma^2(2+\sigma^2)$

α

$\alpha$

σ^{2}

$\sigma^2$

β

$\beta$

α

$\alpha$

(1 + σ^{2}) / (2 + σ^{2})

$(1+\sigma^2)/(2+\sigma^2)$

2 + σ^{2}

$2+\sigma^2$

— whuber

Ich denke, das löst mein Problem. Thabks viel. Würden Sie es als Antwort posten, damit ich es akzeptieren kann?

— Jeff