Warum gilt beim Apple-Aktienkurs das Gesetz der großen Zahlen nicht?

Hier ist der Artikel in New York Times mit dem Titel "Apple konfrontiert das Gesetz der großen Zahlen" . Es wird versucht, den Anstieg des Apple-Aktienkurses mit dem Gesetz großer Zahlen zu erklären. Welche statistischen (oder mathematischen) Fehler macht dieser Artikel?

Hier ist das Problem: Apple ist so groß, dass es gegen das Gesetz der großen Zahlen verstößt.

Das Gesetz, das auch als goldenes Theorem bezeichnet wird und dem Schweizer Mathematiker Jacob Bernoulli aus dem 17. Jahrhundert zugeschrieben wird, besagt, dass eine Variable über eine große Stichprobe von Ergebnissen zu einem Mittelwert zurückkehren wird. Bei den größten Unternehmen deutet dies darauf hin, dass sich das hohe Gewinnwachstum und der rasche Anstieg des Aktienkurses verlangsamen werden, wenn diese Unternehmen immer größer werden.

Dieses Wirrwarr bezieht sich tatsächlich auf drei verschiedene Phänomene!

1. Die (verschiedenen) Gesetze der großen Zahlen sind in der Wahrscheinlichkeitstheorie von grundlegender Bedeutung für die Charakterisierung von Situationen, in denen zu erwarten ist, dass große Stichproben zunehmend bessere Informationen über einen Prozess oder eine Population liefern, für die eine Stichprobe erstellt wird. In der Tat erkannte Jacob Bernoulli als erster die Notwendigkeit, einen solchen Satz aufzustellen und zu beweisen, der 1713 in seinem posthumen Ars Conjectandi (herausgegeben von Neffe Nicholas Bernoulli) erschien.

   Es gibt keine offensichtlich gültige Anwendung eines solchen Gesetzes auf das Wachstum von Apple.

2. Die Regression zum Mittelwert wurde erstmals von Francis Galton in den 1880er Jahren erkannt. Es wurde jedoch von Wirtschaftsanalysten häufig unterschätzt. Zum Beispiel veröffentlichte Horace Secrist Anfang 1933 (in den Tiefen einer Weltwirtschaftskrise) sein Magnum Opus, den Triumph des Mittelmaßes in der Wirtschaft. Darin untersuchte er ausgiebig Geschäftszeitreihen und fand in jedem Fall Hinweise auf eine Regression zum Mittelwert. Aber dies nicht als unausweichlich mathematisch zu erkennenPhänomen, behauptete er, dass er eine grundlegende Wahrheit der Geschäftsentwicklung aufgedeckt hatte! Dieser Irrtum, ein rein mathematisches Muster mit dem Ergebnis einer zugrunde liegenden Kraft oder Tendenz zu verwechseln (heute oft als "Regressions-Irrtum" bezeichnet), erinnert an die zitierte Passage.

   (Es ist bemerkenswert, dass Secrist ein prominenter Statistiker war, Autor eines der beliebtesten Statistiklehrbücher, die zu dieser Zeit veröffentlicht wurden. Auf JSTOR finden Sie eine aufschlussreiche Rezension von Triumph ... von Harold Hotelling, veröffentlicht in JASA Ende 1933.) Ein anschließender Briefwechsel mit Secrist, schrieb Hotelling

   Meine Rezension ... war in erster Linie der Warnung der Leser gewidmet, nicht zu dem Schluss zu kommen, dass Unternehmen dazu neigen, mittelmäßig zu werden ... Solch ein mathematisches Ergebnis durch eine kostspielige und langwierige numerische Studie "zu beweisen" ... ist analog zum Beweis der Multiplikation Tabelle durch Anordnung von Elefanten in Zeilen und Spalten, und dann das gleiche für zahlreiche andere Arten von Tieren. Obwohl die Aufführung vielleicht unterhaltsam ist und einen gewissen pädagogischen Wert hat, ist sie weder für die Zoologie noch für die Mathematik ein wichtiger Beitrag.

   [JASA Vol. 29, Nr. 186 (Juni 1934), S. 198 und 199].

   Die Passage der NY Times scheint den gleichen Fehler mit Apples Geschäftsdaten zu machen.

3. Wenn wir jedoch im Artikel weiterlesen, entdecken wir bald die beabsichtigte Bedeutung des Autors:

   Wenn der Aktienkurs von Apple in den nächsten zehn Jahren sogar um 20 Prozent pro Jahr steigen würde, was weit unter seinem derzeitigen rasanten Tempo liegt, würde seine Marktkapitalisierung von 500 Milliarden US- Dollar bis 2022 mehr als 3 Billionen US- Dollar betragen .

   Dies ist natürlich eine Aussage über die Extrapolation des exponentiellen Wachstums. Als solches enthält es Echos von Vorhersagen der malthusianischen Bevölkerung . Die Gefahren einer Extrapolation beschränken sich jedoch nicht auf ein exponentielles Wachstum. Mark Twain (Samuel Clements) prangerte mutwillige Extrapolatoren im Leben am Mississippi an (1883, Kapitel 17):

   Wenn ich nun einer dieser schwerfälligen Wissenschaftler sein und beweisen wollte, was in ferner Zukunft durch das geschehen ist, was in den letzten Jahren geschehen ist, was für eine Chance ist das hier! ... Bitte beachten Sie: -

   Innerhalb von einhundertsechsundsiebzig Jahren hat sich der Lower Mississippi zweihundert und zweiundvierzig Meilen verkürzt. Das ist ein Durchschnitt von einer Kleinigkeit über einer Meile und einem Drittel pro Jahr. Daher kann jeder ruhige Mensch, der nicht blind oder idiotisch ist, sehen, dass in der „alten Oolitic Silurian-Periode“ vor nur einer Million Jahren im nächsten November der Lower Mississippi River über eine Million dreihunderttausend Meilen lang war und feststeckte raus über den Golf von Mexiko wie eine Angelrute. Und aus dem gleichen Grund kann jeder sehen, dass der Lower Mississippi in siebenhundert und zweiundvierzig Jahren nur noch eine Meile und drei Viertel lang sein wird, und dass Kairo und New Orleans ihre Straßen zusammengeschlossen haben und bequem unter einem Dach dahinschleichen werden ein einziger Bürgermeister und ein gemeinsamer Rat der Ratsherren. Wissenschaft hat etwas Faszinierendes.Aus einer so unbedeutenden Investition der Tatsachen erwächst eine solche Massenrendite der Vermutungen. "

   (Hervorhebung hinzugefügt.) Twains Satire vergleicht sich positiv mit dem Zitat des Artikels über den Wirtschaftsanalytiker Robert Cihra:

   Wenn Sie weit genug in die Zukunft extrapolieren, müsste Apple ein iPhone an jeden Mann, jede Frau, jedes Kind, jedes Tier und jeden Stein auf dem Planeten verkaufen, um dieses Wachstum aufrechtzuerhalten.

   (Leider scheint es, dass Cihra seinen eigenen Rat nicht beachtet: Er bewertet diese Aktie als "Kauf". Er könnte recht haben, nicht in der Sache, sondern aufgrund der Theorie des größeren Narren .)

Wenn wir den Artikel so verstehen, dass wir uns davor hüten, das bisherige Wachstum in die Zukunft zu extrapolieren, werden wir viel davon haben. Investoren, die dieses Unternehmen für einen guten Kauf halten, weil die PE-Quote niedrig ist (zu der auch einige der in dem Artikel genannten namhaften Geldmanager gehören), sind nicht besser als die "schwerfälligen Wissenschaftler", die Twain vor über einem Jahrhundert aufgespießt hat.

Eine bessere Bekanntschaft mit Bernoulli, Hotelling und Twain hätte die Genauigkeit und Lesbarkeit dieses Artikels verbessert, aber am Ende scheint es, als hätte es die Nachricht richtig verstanden.

Humorvollerweise habe ich gerade einen Blogbeitrag zu diesem Thema geschrieben: http://confounding.net/2012/03/12/thats-not-how-the-law-of-large-numbers-works/

Das Gesetz der großen Zahlen besagt im Wesentlichen, dass sich der Mittelwert dieser Versuche mit zunehmender Anzahl von Versuchen eines zufälligen Prozesses dem tatsächlichen Mittelwert (oder der Erwartung für komplexere Verteilungen) annähert. Wenn Sie also einmal eine Münze werfen und Köpfe erhalten, ist Ihre Wahrscheinlichkeit für Köpfe = 1,0, und wenn Sie immer mehr Münzen werfen, nähern Sie sich immer mehr 0,50.

Der Autor argumentiert, dass Apple in Zukunft Probleme haben wird, weil etwas nicht wirklich mit dem Gesetz der großen Zahlen zu tun hat. Das heißt, wenn Apple größer wird, wird es in absoluten Dollars schwerer, den gleichen prozentualen Anstieg von Aktienkurs, Gewinn usw. zu erreichen. Grundsätzlich muss Apple immer größere Treffer erzielen, um auf Kurs zu bleiben.

Um dies mit dem Verhalten eines zufälligen Prozesses in Verbindung zu bringen, der sich einem Mittelwert annähert, ist ernsthafte mentale Gymnastik erforderlich . Soweit ich das beurteilen kann, ist die Behauptung, dass "Die Großartigkeit Ihrer Produkte" ein zufälliger Prozess ist, und während Apple eine Serie von "Überdurchschnittlich" hervorgebracht hat, werden sie sich irgendwann einem Mittelwert von "Mittelwert" annähern müssen ". Aber das ist wirklich gemeinnützig für den Autor.

Nur weil 500 Milliarden eine große Zahl sind, heißt das nicht, dass das "Gesetz der großen Zahlen" das ist, was darauf einwirkt.

Es gibt keinen Grund zu der Annahme, dass Aktienkursveränderungen für ein bestimmtes Unternehmen unabhängige, identisch verteilte Zufallsvariablen darstellen.