Es scheint, dass die Ersteller dieses speziellen R-Befehls davon ausgehen, dass man mit den ursprünglichen Dickey-Fuller-Formeln vertraut ist, und daher keine relevante Dokumentation für die Interpretation der Werte bereitgestellt haben. Ich fand, dass Enders eine unglaublich hilfreiche Ressource war (Applied Econometric Time Series 3e, 2010, S. 206-209 - ich stelle mir vor, dass auch andere Ausgaben in Ordnung wären). Im Folgenden werde ich als Beispiel Daten aus dem URCA-Paket verwenden, das reale Einkommen in Dänemark.
> income <- ts(denmark$LRY)
Es kann nützlich sein, zuerst die 3 verschiedenen Formeln zu beschreiben, die Dickey-Fuller verwendet, um verschiedene Hypothesen zu erhalten, da diese mit den Optionen "Typ" von ur.df übereinstimmen. Enders gibt an, dass in all diesen drei Fällen der konsistente Term Gamma ist, der Koeffizient für den vorherigen Wert von y, der Verzögerungsterm. Wenn gamma = 0 ist, gibt es eine Einheitswurzel (Random Walk, nicht stationär). Wenn die Nullhypothese gamma = 0 ist und p <0,05 ist, lehnen wir die Null ab (bei 95%) und nehmen an, dass es keine Einheitswurzel gibt. Wenn wir die Null nicht ablehnen (p> 0,05), nehmen wir an, dass eine Einheitswurzel existiert. Von hier aus können wir mit der Interpretation der Tau und Phi fortfahren.
1) Typ = "keine": (Formel aus Enders S. 208)Δy(t)=γ∗y(t−1)+e(t)
(wobei der Fehlerterm ist, der als weißes Rauschen angenommen wird; von ; bezieht sich auf den vorherigen Wert von y, so ist der Verzögerungsterm)e(t)γ=a−1y=a∗y(t−1)+e(t)y(t−1)
Für Typ = "keine" ist tau (oder tau1 in der R-Ausgabe) die Nullhypothese für gamma = 0. Unter Verwendung des Einkommensbeispiels für Dänemark erhalte ich "Wert der Teststatistik ist 0,7944" und die "kritischen Werte für Teststatistiken sind : tau1 -2.6 -1.95 -1.61. Da sich die Teststatistik in allen drei Regionen (1%, 5%, 10%) befindet, in denen wir die Null nicht ablehnen, sollten wir davon ausgehen, dass es sich bei den Daten um einen zufälligen Spaziergang handelt Eine Einheitswurzel ist vorhanden. In diesem Fall bezieht sich das tau1 auf die Gamma = 0-Hypothese. Das "z.lag1" ist der Gamma-Term, der Koeffizient für den Lag-Term (y (t-1)), der p = ist 0,431, was wir nicht als signifikant ablehnen, was einfach impliziert, dass Gamma für dieses Modell statistisch nicht signifikant ist. Hier ist die Ausgabe von R.
> summary(ur.df(y=income, type = "none",lags=1))
>
> ###############################################
> # Augmented Dickey-Fuller Test Unit Root Test #
> ###############################################
>
> Test regression none
>
>
> Call:
> lm(formula = z.diff ~ z.lag.1 - 1 + z.diff.lag)
>
> Residuals:
> Min 1Q Median 3Q Max
> -0.044067 -0.016747 -0.006596 0.010305 0.085688
>
> Coefficients:
> Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
> z.lag.1 0.0004636 0.0005836 0.794 0.431
> z.diff.lag 0.1724315 0.1362615 1.265 0.211
>
> Residual standard error: 0.0251 on 51 degrees of freedom
> Multiple R-squared: 0.04696, Adjusted R-squared: 0.009589
> F-statistic: 1.257 on 2 and 51 DF, p-value: 0.2933
>
>
> Value of test-statistic is: 0.7944
>
> Critical values for test statistics:
> 1pct 5pct 10pct
> tau1 -2.6 -1.95 -1.61
2) type = "drift" (Ihre spezifische Frage oben) (Formel aus Enders S. 208)Δy(t)=a0+γ∗y(t−1)+e(t)
(wobei a0 "eine Sub-Null" ist und sich auf die Konstante oder den Driftterm bezieht) Hier wird die Ausgabeinterpretation schwieriger. "tau2" ist immer noch die Nullhypothese . In diesem Fall, in dem die erste Teststatistik = -1,4462 im Bereich liegt, in dem die Null nicht verworfen werden kann, sollten wir erneut eine Einheitswurzel annehmen, nämlich .γ=0γ=0
Der Ausdruck phi1 bezieht sich auf die zweite Hypothese, bei der es sich um eine kombinierte Nullhypothese von a0 = gamma = 0 handelt. Dies bedeutet, dass BEIDE Werte gleichzeitig auf 0 getestet werden. Wenn p <0,05 ist, lehnen wir die Null ab und nehmen an, dass MINDESTENS einer davon falsch ist - dh einer oder beide der Begriffe a0 oder gamma sind nicht 0. Wenn diese Null nicht abgelehnt wird, bedeutet dies, dass BEIDE a0 UND gamma = 0, Dies impliziert 1) dass Gamma = 0 ist, daher ist eine Einheitswurzel vorhanden, UND 2) a0 = 0, so dass es keinen Driftterm gibt. Hier ist der R-Ausgang
> summary(ur.df(y=income, type = "drift",lags=1))
>
> ###############################################
> # Augmented Dickey-Fuller Test Unit Root Test #
> ###############################################
>
> Test regression drift
>
>
> Call:
> lm(formula = z.diff ~ z.lag.1 + 1 + z.diff.lag)
>
> Residuals:
> Min 1Q Median 3Q Max
> -0.041910 -0.016484 -0.006994 0.013651 0.074920
>
> Coefficients:
> Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
> (Intercept) 0.43453 0.28995 1.499 0.140
> z.lag.1 -0.07256 0.04873 -1.489 0.143
> z.diff.lag 0.22028 0.13836 1.592 0.118
>
> Residual standard error: 0.0248 on 50 degrees of freedom
> Multiple R-squared: 0.07166, Adjusted R-squared: 0.03452
> F-statistic: 1.93 on 2 and 50 DF, p-value: 0.1559
>
>
> Value of test-statistic is: -1.4891 1.4462
>
> Critical values for test statistics:
> 1pct 5pct 10pct
> tau2 -3.51 -2.89 -2.58
> phi1 6.70 4.71 3.86
3) Schließlich für den Typ = "Trend": (Formel aus Enders S. 208)Δy(t)=a0+gamma∗y(t−1)+a2(t)+e(t)
(wobei a2 (t) ein Zeittrendterm ist) Die Hypothesen (aus Enders S. 208) lauten wie folgt: tau: gamma = 0 phi3: gamma = a2 = 0 phi2: a0 = gamma = a2 = 0 Dies ist ähnlich wie der R-Ausgang. In diesem Fall beträgt die Teststatistik -2,4216 2,1927 2,9343. In all diesen Fällen fallen diese in die Zonen "Null nicht ablehnen" (siehe kritische Werte unten). Was tau3 wie oben impliziert, ist, dass wir die Null der Einheitswurzel nicht ablehnen, was impliziert, dass eine Einheitswurzel vorhanden ist. Wenn phi3 nicht abgelehnt wird, bedeutet dies zwei Dinge: 1) gamma = 0 (Einheitswurzel) UND 2) es gibt keinen Zeittrendterm, dh a2 = 0. Wenn wir diese Null ablehnen, würde dies bedeuten, dass einer oder beide dieser Begriffe nicht 0 sind. Wenn phi2 nicht abgelehnt wird, bedeutet dies drei Dinge: 1) gamma = 0 UND 2) kein Zeittrendterm UND 3) kein Driftterm, dh dieser Gamma = 0, dass a0 = 0 und dass a2 = 0.
Hier ist der R-Ausgang
> summary(ur.df(y=income, type = "trend",lags=1))
>
> ###############################################
> # Augmented Dickey-Fuller Test Unit Root Test #
> ###############################################
>
> Test regression trend
>
>
> Call:
> lm(formula = z.diff ~ z.lag.1 + 1 + tt + z.diff.lag)
>
> Residuals:
> Min 1Q Median 3Q Max
> -0.036693 -0.016457 -0.000435 0.014344 0.074299
>
> Coefficients:
> Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
> (Intercept) 1.0369478 0.4272693 2.427 0.0190 *
> z.lag.1 -0.1767666 0.0729961 -2.422 0.0192 *
> tt 0.0006299 0.0003348 1.881 0.0659 .
> z.diff.lag 0.2557788 0.1362896 1.877 0.0665 .
> ---
> Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
>
> Residual standard error: 0.02419 on 49 degrees of freedom
> Multiple R-squared: 0.1342, Adjusted R-squared: 0.08117
> F-statistic: 2.531 on 3 and 49 DF, p-value: 0.06785
>
>
> Value of test-statistic is: -2.4216 2.1927 2.9343
>
> Critical values for test statistics:
> 1pct 5pct 10pct
> tau3 -4.04 -3.45 -3.15
> phi2 6.50 4.88 4.16
> phi3 8.73 6.49 5.47
In Ihrem obigen speziellen Beispiel bedeutet dies für die d.Aus-Daten, dass beide Teststatistiken innerhalb der Zone "Nicht ablehnen" liegen, dass gamma = 0 UND a0 = 0 ist, was bedeutet, dass es eine Einheitswurzel gibt, aber kein Driftterm.
