Was ist die Intuition hinter einer Indikatorfunktion?

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Was ist eine Indikatorfunktion?
Was ist die Intuition hinter einer Indikatorfunktion?
Warum ist die Anzeigefunktion $I_A$ im folgenden Beispiel benötigt?
Kann das folgende Beispiel ohne Verwendung der Anzeigefunktion umgeschrieben werden?

Lassen $A$ sei irgendein Ereignis. Wir können schreiben $\Bbb P(A)$ als Erwartung wie folgt:

Definieren Sie die Anzeigefunktion:

$I_{A} = {\begin{cases} 1, & if event A occurs \\ 0, & otherwise \end{cases}$ $I_A = \begin{cases} 1, & \text{if event $A$ occurs} \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}$
Dann $I_A$ ist eine Zufallsvariable und

$E (I_{A}) = \sum_{r = 0}^{1} r \cdot P (I_{A} = r) = P (A) .$ $\Bbb E(I_A) = \sum_{r=0}^1 r \cdot \Bbb P(I_A = r) \\ = \Bbb P(A).$
Somit

$P (A) = E (I_{A}) .$ $\Bbb P(A) = \Bbb E(I_A).$

probability random-variable indicator-function

— user366312
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Hier ist ein Artikel von Knuth über das verwandte Konzept einer Iverson-Klammer. Einfach ausgedrückt: Indikatorfunktionen sind nützliche "Schalter", ähnlich wie eine if()Anweisung bei der Programmierung nützlich ist.

— JM ist kein Statistiker

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Ich glaube nicht, dass Sie intuitiver vorgehen können, als noch einmal zu sagen, was es tut: Es kehrt zurück $1$ für etwas, das dich interessiert, und $0$ für alle anderen Fälle.

Wenn Sie also blauäugige Personen zählen möchten, können Sie die Indikatorfunktion verwenden, die für jede blauäugige Person Einsen und ansonsten Null zurückgibt und die Ergebnisse der Funktion summiert.

In Bezug auf die in Bezug auf Erwartung und Indikatorfunktion definierte Wahrscheinlichkeit: Wenn Sie die Anzahl (oder Summe der Einsen) durch die Gesamtzahl der Fälle dividieren, erhalten Sie die Wahrscheinlichkeit. Peter Whittle schreibt in seinen Büchern Wahrscheinlichkeit und Wahrscheinlichkeit über Erwartung viel über die Definition einer solchen Wahrscheinlichkeit und betrachtet die Verwendung des Erwartungswerts und der Indikatorfunktion sogar als einen der grundlegendsten Aspekte der Wahrscheinlichkeitstheorie.

Wie zu deiner Frage im Kommentar

Ist die Zufallsvariable nicht da, um denselben Zweck zu erfüllen? Mögen $H=1$ und $T=0$ ?

Nun ja, das ist es! In der Statistik verwenden wir die Indikatorfunktion, um neue Zufallsvariablen zu erstellen. Stellen Sie sich beispielsweise vor, Sie haben normal verteilte Zufallsvariablen $X$ Dann können Sie beispielsweise mithilfe der Indikatorfunktion eine neue Zufallsvariable erstellen

I_{2 < X < 3} = {\begin{cases} 1 & if 2 < X < 3 \\ 0 & otherwise \end{cases}

$I_{2<X<3} = \begin{cases} 1 & \text{if} \quad 2 < X < 3 \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$

oder Sie können eine neue Zufallsvariable mit zwei verteilten Bernoulli-Zufallsvariablen erstellen $A,B$ ::

I_{A \neq B} = {\begin{cases} 0 & if & A = B, \\ 1 & if & A \neq B \end{cases}

$I_{A\ne B} = \begin{cases} 0 & \text{if } & A=B, \\ 1 & \text{if } & A \ne B \end{cases}$

... natürlich können Sie auch jede andere Funktion verwenden, um eine neue Zufallsvariable zu erstellen. Die Anzeigefunktion ist hilfreich, wenn Sie sich auf ein bestimmtes Ereignis konzentrieren und signalisieren möchten, wann dies geschieht.

Stellen Sie sich für eine physikalische Indikatorfunktion vor, Sie hätten eine der Wände sechsseitiger Würfel mit roter Farbe markiert, sodass Sie jetzt rote und nicht rote Ergebnisse zählen können. Es ist nicht weniger zufällig, dass sie die Würfel selbst sind, während es eine neue Zufallsvariable ist, die die Ergebnisse unterschiedlich definiert.

Vielleicht möchten Sie auch etwas über das Dirac-Delta lesen , das in Wahrscheinlichkeits- und Statistikverfahren als kontinuierliches Gegenstück zur Indikatorfunktion verwendet wird.

Siehe auch: Warum 0 für Misserfolg und 1 für Erfolg in einer Bernoulli-Distribution?

— Tim
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Ich denke, ein wichtiger Hinweis ist, dass (blau + blau + nicht blau) / 3 völlig bedeutungslos ist, aber (1 + 1 + 0) / 3 = 2/3.

— Cliff AB

@CliffAB, dient die Zufallsvariable nicht demselben Zweck? Mögen

H = 1

$H=1$ und

T = 0

$T=0$ ?

— user366312

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@anonymous: Es gibt nichts, was besagt, dass eine Zufallsvariable einen numerischen Wert annehmen muss oder dass "Erfolg" gleich 1 ist. Der springende Punkt der Indikatorfunktion ist, dies zu formalisieren. Und stellen Sie sich vor, Sie möchten die Wahrscheinlichkeit kennen, dass die Zufallsvariable X = 2. Mit der von Ihnen vorgeschlagenen Notation müssen wir sagen, dass 2 = 1 ist, was keine gute Notation ist.

— Cliff AB

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Indikator-Zufallsvariablen sind nützlich, da sie eine nahtlose Verbindung zwischen Wahrscheinlichkeit und Erwartung herstellen. Überlegen Sie, wie einfach es ist, Markovs Ungleichung mithilfe von Indikator-Zufallsvariablen zu beweisen: let $X$ eine nichtnegative Zufallsvariable sein, $\alpha > 0$ und dann beachten Sie die triviale Ungleichung $\alpha I_{\{ X \geq \alpha \}} \leq X$ . Wir können dann einfach eine Erwartung von beiden Seiten annehmen und etwas Algebra machen, um sie zu bekommen $P(X \geq \alpha) \leq \text{E}(X) / \alpha$ . Andere Beweise, wie der der Einschluss-Ausschluss-Formel, nutzen diesen Zusammenhang ebenfalls. Tatsächlich kann aus diesem Grund die gesamte Theorie der bedingten Wahrscheinlichkeit aus der Theorie der bedingten Erwartung entwickelt werden.

Sie sind auch insofern nett, als sie eine idempotente Bedeutung haben $I_A^2 = I_A$ Dies erleichtert die Berechnung von Abweichungen. Produkte von Indikator-Zufallsvariablen sind selbst Indikator-Zufallsvariablen, deren Erwartung die Wahrscheinlichkeit des Schnittpunkts ist.

Obwohl Indikatorfunktionen nicht wirklich probabilistisch sind, sind sie eine gute Möglichkeit, boolesche Operationen in arithmetische zu übersetzen, was für allgemeine Programmierzwecke hilfreich ist. Zum Beispiel, $I_{A \cup B} = \max(I_A, I_B)$ und $I_{A \cap B} = \min(I_A, I_B)$ .

— dsaxton
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Für die Programmierung (oder zumindest für die Beschreibung des Algorithmus) gibt es auch die Iverson-Klammer- Notation, die flexibler sein kann. (Ich denke, es wurde von Knuth beworben, und Varianten scheinen in vielen modernen Programmiersprachen zu sein, obwohl ich nicht sicher bin, wie weit verbreitet es als "mathematische" Notation ist.)

— GeoMatt22