Zufallsvariablen, für die Markov- und Chebyshev-Ungleichungen eng sind

Ich bin daran interessiert, Zufallsvariablen zu konstruieren, für die Markov- oder Chebyshev-Ungleichungen eng sind.

Ein triviales Beispiel ist die folgende Zufallsvariable.

$P(X=1)=P(X=-1) = 0.5$ . Sein Mittelwert ist Null, die Varianz ist 1 und . Für diese Zufallsvariable ist chebyshev eng (gilt mit Gleichheit).$P(|X| \ge 1) = 1$

$$P(|X|\ge 1) \le \frac{\text{Var}(X)}{1^2} = 1$$

Gibt es interessantere (uneinheitliche) Zufallsvariablen, für die Markov und Chebyshev eng sind? Einige Beispiele wären toll.

Die Verteilungsklasse, für die der Grenzfall der Chebyshev-Bindung gilt, ist bekannt (und nicht so schwer zu erraten). Normalisiert für Standort und Skalierung

$$Z=\begin{cases}-k,&{\text{with probability }}{\:\frac {1}{2k^2}}\\\:0,&{\text{with probability }}1-\frac {1}{k^2}\\\:k,&{\text{with probability }}{\:\frac {1}{2k^2}}\end{cases}$$

Dies ist (maßstabsgetreu) die auf der Wikipedia-Seite angegebene Lösung für die Chebyshev-Ungleichung .

[Sie können eine Folge von Verteilungen schreiben (indem Sie mehr Wahrscheinlichkeit in die Mitte stellen, wobei dieselbe gleichmäßig von den Endpunkten entfernt wird), die die Ungleichung genau erfüllen und sich diesem Grenzfall so genau wie gewünscht nähern.]$\epsilon>0$

Lassen Sie sich: Jede andere Lösung kann nach Ort und Umfang Verschiebungen dieser erhalten wird .$X=\mu+\sigma Z$

Für die Markov-Ungleichung seiSie haben also die Wahrscheinlichkeit bei 0 und bei . (Man kann hier einen Skalierungsparameter einführen, aber keinen Standortparameter)$Y=|Z|$$1-1/k^2$$1/k^2$$k$

Moment-Ungleichungen - und in der Tat viele andere ähnliche Ungleichungen - haben tendenziell diskrete Verteilungen als Grenzfälle.

Ich glaube, dass es unmöglich sein kann, eine kontinuierliche Verteilung über die gesamte reale Achse zu erreichen, die genau der Grenze von Chebyshev folgt.

Angenommen, der Mittelwert und die Standardabweichung einer kontinuierlichen Verteilung sind 0 und 1, oder machen Sie dies durch Neuskalierung. Dann benötige . Betrachten Sie der Einfachheit halber ; Die negativen Werte werden symmetrisch definiert. Dann ist die CDF der Verteilung . Und so ist das pdf, die Ableitung des cdf, . Offensichtlich muss dies wegen der Diskontinuität nur für definiert werden . Tatsächlich kann dies nicht überall zutreffen, oder das Integral des PDF ist nicht endlich. Wenn Diskontinuitäten vermieden werden sollen (z. B. die PDF-Katze ist nur 0 für ), muss das PDF stückweise gleich für sein$P(\mid X\mid >x)=1/x^2$$x>0$$1-1/x^2$$2/x^3$$x>0$$\mid x \mid <\alpha$$\mid x \mid^3$$\mid x\mid \geq \alpha$ .

Diese Verteilung verfehlt jedoch die Hypothese - sie hat keine endliche Varianz. Um eine kontinuierliche Verteilung über die reale Achse mit einer endlichen Varianz zu erhalten, müssen die erwarteten Werte von und endlich sein. Bei der Untersuchung inverser Polynome führen Schwänze, die wie , zu einem endlichen , aber zu einem undefinierten da dies ein Integral mit asymptotisch logarithmischem Verhalten beinhaltet.$x$$x^2$$x^{-3}$$E[x]$$E[x^2]$

Chebychevs Bindung kann also nicht genau erfüllt werden. Sie können jedoch für beliebig kleines benötigen . Der Schwanz des PDFs geht wie und hat eine definierte Varianz in der Größenordnung von .$P(\mid X \mid > x ) = x^{-(2+\epsilon)}$$\epsilon$$x^{-(3+\epsilon)}$$1/\epsilon$

Wenn Sie bereit sind, die Verteilung nur auf einem Teil der realen Linie leben zu lassen, aber dennoch kontinuierlich zu sein, definieren Sie für funktioniert für und oder eine lineare Skalierung davon - aber dies ist im Grunde , was kein großer Bereich ist. Und es ist zweifelhaft, ob diese Einschränkung noch der ursprünglichen Motivation entspricht.$pdf(x) = 2/\mid x \mid^3$$\epsilon < \mid x \mid < \Lambda$

$$\epsilon = \sqrt{2 \left( 1 - \frac{1}{\sqrt{e}} \right) }$$ 0,887<| x| < $$\Lambda = \epsilon = \sqrt{2 \left( \sqrt{e} - 1 \right) }$$ $0.887 < |x| < 1.39$