Bedingte Verteilung einer einheitlichen Zufallsvariablen bei gegebener Auftragsstatistik

Ich habe folgende Frage zur Hand:

Angenommen, $U,V$ sind iid Zufallsvariablen nach Unif $(0,1)$ . Was ist die bedingte Verteilung von $U$ bei $Z:=\max(U,V)$ ?

Ich habe versucht, Z = \ Bbb {I} \ cdot V + (1- \ Bbb {I}) \ cdot U zu schreiben, $Z=\Bbb{I}\cdot V+(1-\Bbb{I})\cdot U$wobei $\Bbb{I}=\begin{cases}1&U<V\\0&U>V\end{cases}$

Aber ich komme nicht weiter.

Ein Bild könnte helfen. Unabhängige Gleichverteilungen auf dem Intervall können als Gleichverteilung auf dem Einheitsquadrat . Ereignisse sind Regionen auf dem Platz und ihre Wahrscheinlichkeiten sind ihre Bereiche.$[0,1]$$I^2 = [0,1]\times [0,1]$

Sei ein beliebiger möglicher Wert von . Der Satz von Koordinaten mit bildet den oberen und rechten Rand eines Quadrats der Seite . Sei eine kleine positive Zahl. Der Satz von Koordinaten dessen Maximum zwischen und bildet eine enge Verdickung dieses Quadrats, wie in der Figur schattiert. Seine Fläche ist die Differenz der Flächen zweier Quadrate, eines von Seite und das andere von Seite , woher$z$$\max(U,V)$$(U,V)$$\max(U,V)=z$$z$$dz$$(U,V)$$z$$z+dz$$z+dz$$z$

$$\Pr(z \le Z \le z+dz) = (z+dz)^2 - z^2 = 2z\,dz + (dz)^2.\tag{1}$$

Sei ein möglicher Wert von : In den Figuren ist er mit einer vertikalen gestrichelten Linie markiert. $u$$U$

Das linke Feld zeigt einen Fall, in dem : Die Wahrscheinlichkeit, dass der Bereich links von dieser Linie ist (gleich ); aber das Ereignis, dass und zwischen und ist nur der braun schattierte Bereich. Es ist ein Rechteck, also ist seine Fläche die Breite mal die Höhe . Somit,$u \le z$$U\le u$$u$$U\le u$ $Z$$z$$z+dz$$u$$dz$

$$\Pr(U \le u, z \le Z \le z+dz) = u\,dz.\tag{2}$$

Das rechte Feld zeigt einen Fall, in dem . Nun besteht die Chance, dass und aus zwei Rechtecken besteht. Die obere hat die Basis und die Höhe ; Die rechte hat Basis und Höhe . Deshalb$z \lt u \le z+dz$$U \le u$$z \lt Z \le z+dz$$u$$dz$$(u-z)$$z+dz$

$$\Pr(U \le u, z \le Z \le z+dz) = u\, dz + (u-z)(z+dz).\tag{3}$$

Per Definition sind die bedingten Wahrscheinlichkeiten diese Chancen geteilt durch die in oben angegebene Gesamtwahrscheinlichkeit von . Teilen Sie und durch diesen Wert. Wenn infinitesimal ist und der Standardteil des Ergebnisses beibehalten wird , ergeben sich die Chancen, die von abhängig sind . Wenn also ,$z \le Z \le z+dz$$(1)$$(2)$$(3)$$dz$$Z=z$$0 \le u \le z$

$$\Pr(U \le u\,|\, Z=z) = \frac{u\,dz}{2z\,dz + (dz)^2} = \frac{u}{2z + dz} \approx \frac{u}{2z}.$$

Wenn , schreibe für und berechne$z \lt u \le z+dz$$u = z + \lambda dz$$0 \lt \lambda \le 1$

$$\Pr(U \le u|Z=z) = \frac{u\, dz + (u-z)(z+dz)}{2z\,dz + (dz)^2} = \frac{(z + \lambda dz)dz + (\lambda dz)(z+dz)}{2z\,dz+(dz)^2}\approx\frac{1+\lambda}{2}.$$

Schließlich ist für der braune Bereich im rechten Feld gewachsen, um dem grauen Bereich zu entsprechen, von wo aus ihr Verhältnis .$u \gt z+dz$$1$

Diese Ergebnisse zeigen, dass die bedingte Wahrscheinlichkeit linear von auf wächst, wenn von auf wächst , und dann im infinitesimalen Intervall zwischen und linear von auf . bleibt dann bei für alle größeren . Hier ist eine Grafik:$0$$z/(2z)=1/2$$u$$0$$z$$1/2$$1$$z$$z+dz$$1$$u$

Da infinitesimal ist, ist es nicht mehr möglich, visuell von zu unterscheiden : Der Plot springt aus einer Höhe von bis .$dz$$z$$z+dz$$1/2$$1$

Wenn wir das Vorstehende zu einer einzigen Formel zusammenfassen, die auf jedes angewendet werden soll, für das , könnten wir die bedingte Verteilungsfunktion als schreiben$z$$0 \lt z \le 1$

$$F_{U|Z=z}(u) = \left\{\begin{array}{ll} 0 & u \le 0 \\ \frac{u}{2z} & 0 \lt u\le z \\ 1 & u \gt z. \end{array} \right.$$

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Dies ist eine vollständige und strenge Antwort. Der Sprung zeigt, dass eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion die bedingte Verteilung bei dem Wert nicht angemessen beschreibt . An allen anderen Punkten gibt es jedoch eine Dichte . Es ist gleich für , für (die Ableitung von in Bezug auf ) und für . Sie können eine "verallgemeinerte Funktion" verwenden , um dies in einer dichteartigen Form zu schreiben. Sei die "verallgemeinerte Dichte", die einen Sprung der Größe ergibt$U=z$$f_{U|Z=z}(u)$$0$$u\le 0$$1/(2z)$$0 \le u \lt z$$u/(2z)$$u$$0$$u \gt z$$\delta_z$$1$bei : das heißt, es ist die "Dichte" eines Atoms der Einheitswahrscheinlichkeit, das sich bei . Dann wird die Dichte bei generali geschrieben werden die Tatsache zum Ausdruck zu bringen , dass eine Wahrscheinlichkeit von bei konzentriert . In vollem Umfang konnten wir schreiben$z$$z$$z$$\frac{1}{2}\delta_z$$1/2$$z$

$$f_{U|Z=z}(u) = \left\{\begin{array}{ll} 0 & u \le 0 \\ \frac{1}{2z} & 0 \lt u\lt z \\ \frac{1}{2}\delta_z(u) & u=z \\ 0 & u \gt z. \end{array} \right.$$

Betrachten Sie zunächst die Verteilung des Maximums Bedingung von . Das Maximum wird gleich für den Fall, dass mit bedingter Wahrscheinlichkeit . Andernfalls nimmt einen Wert größer als gleich . Die bedingte Gesamtverteilung ist somit eine Mischung zwischen einer Punktmasse bei (der Größe u) und einer gleichmäßigen Dichte bei (Integration zu ). Die verallgemeinerte Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (gpdf) dieser bedingten Verteilung repräsentiert die Punktmasse durch die Dirac-Delta-Funktion $Z$$U=u$$Z$$u$$V<u$$u$$Z$$u$$V$$u$$(u,1)$$1-u$

$$f_{Z|U=u}(z) = u\delta(z-u) + \begin{cases} 1 & \text{for }u<z<1 \\ 0 &\text{otherwise}. \end{cases}$$ case Das gemeinsame gpdf von und ist dann Das PDF des Maximums ist . Daher ist die bedingte gpdf von die maximale gegebenen wird $Z$$U$ $$\begin{align} f_{Z,U}(z,u) &= f_{Z|U=u}(z)f_U(u) \\ &= u\delta(z-u) + \begin{cases} 1 & \text{for }0<u<z<1 \\ 0 &\text{otherwise}. \end{cases} \end{align}$$ $f_Z(z)=2z$$U$$Z$ $$\begin{align} f_{U|Z=z}(u) &= \frac{f_{Z,U}(z,u)}{f_Z(z)} \\ &= \frac12\delta(z-u) + \begin{cases} \frac1{2z} & \text{for }0<u<z \\ 0 &\text{otherwise}, \end{cases} \end{align}$$ $z$mit der Wahrscheinlichkeit 1/2 und einer gleichmäßigen Dichte auf die sich zu 1/2 integriert.$(0,z)$