Varianz des Maximums der Gaußschen Zufallsvariablen

Wenn Zufallsvariablen aus , definieren Sie $X_1,X_2, \cdots, X_n$ $\sim \mathcal{N}(0, \sigma^2)$

Z = max_{i \in {1, 2, \dots, n}} X_{i}

$Z = \max_{i \in \{1,2,\cdots, n \}} X_i$

Wir haben das $\mathbb{E}[Z] \le \sigma \sqrt{2 \log n}$ . Ich habe mich gefragt, ob es Ober- / Untergrenzen für $\text{Var}(Z)$ .

— Teufel
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Um Ihnen den Einstieg zu erleichtern, werden Sie wahrscheinlich feststellen, dass

V a r (Z) \leq σ^{2}

$Var(Z) \le \sigma^2$ (Gleichheit wird bei n = 1 erreicht) und Var (Z) mit zunehmendem n abnimmt. Ich überlasse es Ihnen, diese engere Bindung als Funktion von n bereitzustellen.

— Mark L. Stone

Die Stichprobe max minus der Stichprobe min wird als studentisierter Bereich bezeichnet und folgt der Verteilung des studentisierten Bereichs, wenn die zugrunde liegenden Zufallsvariablen IID-normal sind. Das hängt zumindest vage mit dem zusammen, was Sie fragen ... (könnte einen Ausgangspunkt für das Lesen geben). Zurück zu Ihrer speziellen Frage, ich bin sicher, Sie könnten eine Monte-Carlo-Simulation ziemlich einfach schreiben, um eine praktische Antwort zu finden.

— Matthew Gunn

Beide Antworten auf stats.stackexchange.com/questions/105745 liefern Annäherungen an die Standardabweichung (und damit an die Varianz) unter Verwendung von Analysen, die möglicherweise Ober- oder Untergrenzen ergeben.

— whuber

Siehe auch

— kjetil b halvorsen

Antworten:

Sie können die Obergrenze erhalten, indem Sie die Talagrand-Ungleichung anwenden: Schauen Sie sich Chatterjees Buch an (zum Beispiel das Phänomen der Superkonzentration).

Es sagt Ihnen, dass . ${\rm Var}(f)\leq C\sum_{i=1}^n\frac{\|\partial_if\|_2^2}{1+\log( \|\partial_i f||_2/\|\partial_i f\|_1)}$

Für das Maximum erhalten Sie , und durch Integrieren in Bezug auf das Gaußsche Maß auf Sie nach Symmetrie. (Hier wähle ich alle meine RV iid mit Varianz eins). $\partial_if=1_{X_i=max}$ $\mathbb{R}^n$ $\|\partial_if\|_2^2=\|\partial_if\|_1=\frac{1}{n}$

Dies ist die wahre Reihenfolge der Varianz: Da Sie eine Obergrenze für die Erwartung des Maximums haben, sagt Ihnen dieser Artikel von Eldan-Ding Zhai (Über mehrere Spitzen und moderate Abweichung des Gaußschen Supremums), dass
${\rm Var}(\max X_i)\geq C/(1+\mathbb{E}[\max X_i])^2$

Es ist auch möglich, eine scharfe Konzentrationsungleichheit zu erhalten, die diese an die Varianz gebunden widerspiegelt: Sie können http://www.wisdom.weizmann.ac.il/mathusers/gideon/papers/ranDv.pdf oder einen allgemeineren Gaußschen Prozess betrachten , in meinem Artikel https://perso.math.univ-toulouse.fr/ktanguy/files/2012/04/Article-3-brouillon.pdf

Im Allgemeinen ist es ziemlich schwierig, die richtige Größenordnung der Varianz eines Gaußschen Supremums zu finden, da die Werkzeuge aus der Konzentrationstheorie für die maximale Funktion immer suboptimal sind.

Warum brauchen Sie solche Schätzungen, wenn ich fragen darf?

— Tanguy Kevin
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Beachten Sie, dass die Talagrand-Ungleichung eine Verbesserung der Poincaré-Ungleichung darstellt, die durch das Standard-Gauß-Maß erfüllt wird. Mehr dazu in Cordero-Ledoux 'Artikel "Hyperkontraktive Maßnahmen, Talagrands Ungleichheit und Einflüsse".

— Tanguy Kevin

Vielen Dank. Das hilft sehr. Ich habe mich mit dem Problem befasst, bei dem ich versucht habe, die Fehlerwahrscheinlichkeit bei der Schätzung der Länge von Läufen von 0 in einem Bitstrom aus Beobachtungen über einen Löschkanal zu begrenzen. Nach einer Gaußschen Näherung schien das Maximum ein natürlicher Schätzer zu sein, und ich fand es ziemlich trivial, seine Leistung zu begrenzen. In meinem speziellen Problem konnte ich einen Weg finden, indem ich es auf ein Gaußsches MMSE-Schätzproblem reduzierte.

— Teufel

Im Allgemeinen hängt die Erwartung und Varianz des Bereichs davon ab, wie fett der Schwanz Ihrer Verteilung ist. Für die Varianz ist es wobei von Ihrer Verteilung abhängt ( für Uniform, für Gauß und für Exponential). Siehe hier . Die folgende Tabelle zeigt die Größenordnung für den Bereich. $O(n^{-B})$ $B$ $B = 2$ $B = 1$ $B = 0$

— Vincent Granville
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