Ich habe über Blackwells Wettparadoxon im Futility-Schrank gelesen . Hier ist die Zusammenfassung: Sie erhalten zwei Umschläge, und . Die Umschläge enthalten einen zufälligen Geldbetrag, aber Sie wissen nichts über die Verteilung des Geldes. Sie öffnen eine, prüfen, wie viel Geld sich dort befindet ( ) und müssen wählen: Nehmen Sie den Umschlag oder ?
Futility Closet bezieht sich auf einen Mathematiker namens Leonard Wapner: "Unerwartet gibt es etwas, das Sie tun können, ohne den anderen Umschlag zu öffnen, um sich selbst eine bessere Chance zu geben, es richtig zu machen."
Die Idee, die mir falsch scheint, ist wie folgt: eine Zufallszahl wählen . Wenn , nimm . Wenn , wählen Sie .
Wapner: „Wenn d zwischen x und y liegt, ist Ihre Vorhersage (wie durch d angegeben) garantiert korrekt. Angenommen, dies tritt mit der Wahrscheinlichkeit p auf. Wenn d kleiner als x und y ist, ist Ihre Vorhersage nur dann korrekt, wenn Ihre gewählte Zahl x die größere der beiden ist. Hier besteht eine 50-prozentige Chance. Wenn d größer als beide Zahlen ist, ist Ihre Vorhersage nur dann korrekt, wenn Ihre gewählte Zahl die kleinere der beiden ist. Dies geschieht ebenfalls mit einer Wahrscheinlichkeit von 50 Prozent. “
Wenn die Wahrscheinlichkeit, dass in ist, größer als Null ist, ist der durchschnittliche Erfolg dieser Methode . Dies würde bedeuten, dass uns die Beobachtung einer unabhängigen Zufallsvariablen zusätzliche Informationen liefert.
Ich denke, dass das alles falsch ist und dass das Problem in der Wahl einer zufälligen Ganzzahl liegt. Was bedeutet es? Wie eine ganze Zahl? In diesem Fall ist die Wahrscheinlichkeit dass zwischen und liegt, Null, da sowohl als auch endlich sind.d x y x y
Wenn wir sagen, dass es ein Limit für den maximalen Geldbetrag gibt, sagen wir , oder wir wählen mindestens d aus , dann läuft das Rezept auf den trivialen Ratschlag hinaus, wählen, wenn und wähle wenn .1 ... M E y x < M / 2 E x x > M / 2
Vermisse ich hier etwas?
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OK, jetzt beginne ich zu sehen, woher das scheinbare Paradox kommt. Es schien mir unmöglich, dass eine unabhängige Zufallsvariable zusätzliche Informationen liefern kann.
Beachten Sie jedoch, dass wir bewusst eine Verteilung von d wählen müssen . Wählen Sie zum Beispiel die Grenzen für eine gleichmäßige Verteilung oder der Poissionschen Verteilung usw. Wenn wir für Erdnüsse spielen, haben wir die Verteilung von d für als gleichförmig gewählt Dollar, . Diese letzte Wahrscheinlichkeit wird in erster Linie auf unserem Urteil abhängen , was kann in den Umschlägen sein.[ 10 9 , 2 ≤ 10 9 ] P ( d ≤ ( x , y ) ) = 0
Mit anderen Worten, wenn die Technik funktioniert, wird die Annahme verletzt, dass wir nicht wissen, wie sich das Geld in den Umschlägen verteilt (wie der Geldbetrag für die Umschläge gewählt wurde). Wenn wir jedoch wirklich nicht wissen, was sich in den Umschlägen befindet, verlieren wir im schlimmsten Fall nichts, wenn wir sie anwenden.
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Ein anderer Gedanke. Bei gegebenem wählen wir zum Zeichnen von eine kontinuierliche nicht negative Verteilung, so dass . Das dürfen wir, habe ich recht? Wir gehen wie angewiesen vor - wenn , behalten wir den Umschlag, wenn , ändern wir den Umschlag. Die Argumentation ändert sich nicht, je nachdem, wie wir die Verteilung wählen, kann es sein, dass (oder irre ich mich?).d P ( d < x ) = P ( d > x ) d < x d > x P ( d ∈ [ x , y ] ) > 0
Angesichts der Auswahl der Verteilung entspricht das, was wir jetzt tun, einem Münzwurf. Wir werfen eine Münze, und wenn es Köpfe sind, wechseln wir Umschläge, wenn es Schwänze sind, halten wir uns an den Umschlag, den wir halten. Wo irre ich mich
EDIT 3 :
OK, ich verstehe es jetzt. Wenn wir die Wahrscheinlichkeitsfunktion von auf stützen (z. B. wir aus einer gleichmäßigen Verteilung im Bereich , dann ist die Wahrscheinlichkeit nicht unabhängig von .x d ( 1 , 2 ≤ x ) P ( d ≤ ( x , y ) ) P ( richtige Entscheidung | d ≤ ( x , y ) )
Wenn also (mit der Wahrscheinlichkeit ), ist die Schätzung wie zuvor immer richtig. Wenn jedoch die niedrigere Zahl ist und , dann hat eine höhere Wahrscheinlichkeit, niedriger als als höher als , so dass wir zu einer falschen Entscheidung voreingenommen sind. Gleiches gilt, wenn die höhere der beiden Zahlen ist.p x d ∉ ( x , y ) d x x x
Das heißt, wir müssen den Prozess des Zeichnens von unabhängig von wählen . Mit anderen Worten, wir müssen raten, aus welchen Verteilungsparametern und gezogen werden. Das Schlimmste, was passiert, ist, dass wir immer noch zufällig raten, aber das Beste, was passiert, ist, dass unsere Vermutung richtig war - und dann haben wir einen Vorteil. Wie sollte das besser sein, als zu raten, "x und y werden, denke ich, mindestens 1 $ sein , aber höchstens 10 $ . Wenn also , behalten wir es, und wenn nicht, tauschen wir es", bin ich noch dran sehen.x x y x > 5
Ich war durch die Pop-Sci-Formulierung des Problems in Wapners Buch ( Unerwartete Erwartungen: Die Kuriositäten einer mathematischen Kristallkugel ) irregeführt , in der es heißt
„Mit welchen Mitteln auch immer, wählen Sie eine zufällige positive ganze Zahl“ (Wapner legt eine geometrische Verteilung - werfen Münzen , bis die ersten Köpfe kommen, um den Prozess zu wiederholen , wenn ) „Wenn höher erraten und wenn guess niedriger. (...) Sie werden mehr als 50 Prozent der Zeit richtig erraten, weil mehr als 50 Prozent der Zeit richtig zeigt! "d > x d < x